Метод дополнительного аргумента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Постановка начальной задачи

2. Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы

3. Доказательство эквивалентности систем (8) и (26)

4. Доказательство существования решения задачи Коши

5. Постановка задачи численного расчёта

6. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями

7. Программа и её описание. Результаты вычислений

Заключение

Литература

эквивалентность коша итерация дискретизация



Введение

Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, всем известный классический метод характеристик, метод Галеркина, метод потоков. Как и любой метод, каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. Нельзя выделить какой-либо метод, позволяющий решать любые дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Каждый из известных методов хорошо применим только к определенному классу уравнений. Если, например, обратиться к тому же самому методу характеристик, то оказывается, что он с успехом применяется лишь в случае, когда коэффициенты перед производными не содержат неизвестных функций. А для систем квазилинейных дифференциальных уравнений или решения нелинейных дифференциальных уравнений реально его применять довольно сложно. В первую очередь, это связано с тем, что при применении метода характеристик для таких уравнений в соответствующем интегральном уравнении появляется суперпозиция неизвестных функций. В последнее время широкое развитие получил, в частности, метод дополнительного аргумента. Он позволяет свести решение исходной задачи к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений. В этом уравнении неизвестная функция зависит от трех независимых переменных, но сами уравнения достаточно простые по своей структуре. Для них достаточно просто доказать существование дифференцируемого решения, исследовать качественные свойства решения, а также построить численное решение. В частности, для этого можно использовать метод последовательных приближений. Сущность метода дополнительного аргумента, его применение к решению нелинейных дифференциальных уравнений рассматриваются далее.



1. Постановка начальной задачи

В области и рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение:

И пусть задано следующее начальное условие

Продифференцируем данное уравнение по х:

Обозначим Тогда уравнение (3) перепишется в виде:

Исходное уравнение (1) в наших новых обозначениях перепишется так:

Преобразуем его так:



Запишем характеристическую систему для уравнения (1) относительно неизвестных функций :

Таким образом, нелинейное уравнение (1) м свели к системе из двух квазилинейных уравнений (8). С учётом (2) зададим начальное условие для функции :

Покажем, что функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2). Для этого достаточно показать, что

Продифференцируем первое уравнение системы по x:

(10)

Вычтем из получившегося равенства второе уравнение системы:

(11)

Обозначим через , тогда из равенство (11) перепишется в виде:



или:

При всех и функция ограничена. Кроме того,

.

Значит, можно определить константу , что при . А это и означает, что

, а значит функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2), что и требовалось доказать.

2. Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы

Применяя метод характеристик к обоим уравнениям системы (8), получим следующую систему из трёх уравнений:

(13)

Исследуем начальную задачу (8), (2), (9) при помощи метода дополнительного аргумента. Введём следующие обозначения:

То есть рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций :

Второе уравнение системы (14) можно рассматривать как линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно функции , которая зависит от . Тогда методом Эйлера (метод интегрирующего множителя) можно найти :

Далее, будем искать такое решение системы, которое при перейдёт в точку , то есть

Также будем учитывать и другие начальные условия:



Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница из первого уравнения системы (14) получим следующее интегральное уравнение:

Из условия (15) , поэтому уравнение (18) можно переписать в виде:

= (19)

Из второго уравнения системы (14) аналогично получим следующее интегральное уравнение:

Из (17) , а из (19) при получим =, а значит и уравнение (20) перепишется в виде:

Снова используя формулу Ньютона-Лейбница, получим = и . Поэтому (21) можно переписать так:

Совершенно аналогично переходим от третьего уравнения системы (14) к уравнению (23):

Из (23) вытекает, что

Аналогично из (22):

Итак, мы перешли к следующей системе из двух уравнений:

3. Доказательство эквивалентности систем (8) и (26)

Покажем, что если решением системы уравнений (26) являются непрерывно-дифференцируемые и ограниченные вместе со своими первыми производными функции и , то функции , будут решением задачи Коши (8), (2), (9) при где .

Продифференцируем (22) по :

Умножим второе равенство на :

Получившееся равенство сложим с первым:

Обозначим через , а через тогда последнее равенство перепишется в виде:



Аналогично продифференцируем (23) по :

Умножим второе равенство на :

Сложим получившееся равенство с первым:



Последнее равенство с учётом обозначений , перепишем в виде:

Итак, получили два уравнения от двух неизвестных функций и :

Обозначим через:

Тогда из (27) и (28):

Меняя порядок интегрирования, будем иметь:

Обозначим через , тогда для всех

Обозначим через , тогда:

Складывая, получаем:

Обозначим через . Очевидно, что для любого



Обозначим через значение t, при котором . Тогда для любых t из промежутка , то есть , следовательно, что для любого выполняются тождества:

Подставим функции

С учётом равенств (29) и (24), получим тождество:

Аналогично для второго уравнения системы:

Учитывая (30) и (25), получим тождество:



Проверим, что функции удовлетворяют начальным условиям (2) и (9). Для этого подставим в (26) .

В результате приходим к равенствам:

которые подтверждают, что решение системы (26) удовлетворяет начальным условиям (2), (9).

Итак, мы доказали, что решение задачи (8), (2), (9) даёт решение системы (26), и наоборот, непрерывно дифференцируемое решение системы (26) при ) будет решением задачи (8), (2), (9). То есть эквивалентность двух систем показана.

4. Доказательство существования решения задачи Коши (1)-(2)

Осталось доказать существование ограниченного непрерывно дифференцируемого решения системы уравнений (26), тем самым будет доказано существование классического решения задачи Коши (1), (2).

Введём некоторые обозначения и определения.

Будем обозначать ) и - пространства функций определённых и непрерывных (соответственно со своими производными до порядка по му аргументу, ) на некотором подмножестве евклидова пространства, .

Введём следующие обозначения:



где - произвольно зафиксированное положительное число,

Также будем пользоваться ранее введённым обозначением:

Для произвольной функции и мы положим:

Лемма 1. Пусть , причем и подобраны таким образом, что выполняются неравенства

Пусть, далее - положительный корень уравнения

где - любое число из интервала (0,)

и для любого

где



Тогда при система уравнений (26) имеет единственное решение.

Доказательство.

Будем доказывать существование решения системы уравнений (26) методом последовательных приближений. Положим:

и будем строить последовательности функций

таким образом, что для всех

В силу (31), (32) из (34) и (33) все , будут ограничены:



Будем доказывать, что последовательные приближения сходятся. Найдём разность:

Заметим, что функция имеет ограниченные производные на , поскольку, а

следовательно, удовлетворяет условию Липшица с константой :

где , а значит

Аналогично для функции



Из этого равенства выводим, что

Из двух последних слагаемых (36):

С учётом этих равенств получим из (36)

Аналогично из (35):



Сложим последние равенства (37) и (38):

Рассмотрим вектор . Будем доказывать, что последовательные приближения сходятся по норме к вектору . За норму вектора положим сумму норм и :

Тогда с учётом введённых обозначений равенство (39) перепишется в виде:

Пусть - положительный корень уравнения . Тогда при любом ряд сходится к вектору . Именно, мы можем представить в виде суммы:



мажорируется сходящимся (так как рядом

(здесь взято .

Это означает, что его частичная сумма сходится к вектору по норме.

А это и означает, что ряды и также сходятся соответственно к функциям и по норме. Перейдя к пределу в равенствах (33) и (34), получим, что функции и , будут удовлетворять системе (26).

Единственность следует из того факта, что для разности двух возможных решений системы (26) будет выполняться неравенство вида

где.

Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 , .

Доказательство.

Согласно (25) функция



непрерывна и ограничена в (так как она получается из известных непрерывных и ограниченных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций).

С учётом этого функция

также непрерывна и ограничена в .

Чтобы доказать существование, непрерывность и ограниченность частных производных функций и продифференцируем по соотношения, определяющие соответствующие последовательные приближения:

С учетом того, что



получаем:

Приводя подобные, получаем:

Аналогично для функции :

Складывая получившиеся равенства, получаем:

Вспоминая, что



а также, что

получаем:

Обозначая за

Снова введём в рассмотрение вектор . За его норму положим сумму норм и

Тогда получаем:

При имеем

Далее, так как , а , , то , поэтому

Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:

А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательности и .

Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейные интегральные уравнения относительно неизвестных функций и и рассмотрим вектор

С помощью метода последовательных приближений доказывается, что уравнения (39) и (40) имеют решения, принадлежащие пространству .

Из равенств (42) и (43):



Аналогично из равенств (41) и (44):



В силу сходимости и ограниченности и при всех для любого можно определить такой номер , что для всех будет:

Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем

Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что

получаем, что для всех будет выполняться неравенство:

При имеем , поэтому из предыдущего неравенства вытекает:



Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:

В силу того, что для любого числа можно определить такой номер , что для всех будет

Этим самым мы доказали, что последовательность при , а значит и последовательности и сходятся соответственно к функциям и .

Точно также доказывается сходимость последовательностей и к некоторым функциям и :

Складывая получившиеся неравенства, получаем:



Обозначим

Тогда неравенство перепишется в виде:

То есть

При имеем

Далее, так как , а , , то , поэтому

Обозначим

Тогда неравенство перепишется в виде:

Увеличивая число , получаем:

Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:

А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательности и .

Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейное интегральное уравнение относительно неизвестных функций и и рассмотрим вектор

где

где

Аналогично для последовательности :

где

В силу сходимости и ограниченности и при всех для любого можно определить такой номер , что для всех будет:



Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем

Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что

получаем, что для всех будет выполняться неравенство:



При имеем , поэтому из предыдущего неравенства вытекает:

Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:

В силу того, что для любого числа можно определить такой номер , что для всех будет

Этим самым мы доказали, что последовательность при , а значит и последовательности и сходятся соответственно к функциям и .

В результате для последовательностей {} и {} установлены следующие свойства:

Имеем: последовательность , при любом сходится по норме этого пространства. В силу полноты и замкнутости пространства имеем, что , а значит, обладает частными производными по , причём

Аналогично , а значит

Таким образом, лемма 2 доказана.

На основе этих двух лемм и всего вышеизложенного, можно сформулировать общую теорему:

Теорема 1. Пусть на области и задано нелинейное дифференциальное уравнение:

И пусть задано следующее начальное условие

Если:

Функция непрерывна, ограничена, дважды непрерывно дифференцируема по переменным и все вторые, а также смешанные производные удовлетворяют по этим переменным условию Липшица и ограничены при всех значениях аргументов.

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на , а её вторая производная ограничена и удовлетворяет условию Липшица.

Тогда существует такая константа , что при задача (1) - (2) имеет единственное непрерывное и ограниченное вместе со своими первыми производными решение, которое совпадает при с функцией , определяемой из системы интегральных уравнений (26).

5. Постановка задачи численного расчёта

Для решения исходной задачи воспользуемся системой (26) и, для удобства, третьим уравнением

Решение будем рассматривать в области

Рассмотрим несколько примеров с конкретными значениями параметров и заданной функцией .

Пример 1. В качестве функции выберем . Тогда исходное уравнение примет вид:

В качестве начального условия возьмём функцию

Дифференцируя (47) по и полагая , , получаем следующее уравнение:

Используя метод характеристик, получаем:

А значит,

Следовательно, , .

Из равенства

cледует .

При а значит,

То есть

Выразив , получаем:

Как видно, решение получилось глобальное, т.е. определена для любого .

Интегрируя, получаем решение исходной задачи - функцию :

Очевидно, что чем больше значение , тем ближе значения функции к нулю. Также можно заметить, что график функции будет симметричен относительно плоскости или .

Теперь найдём решение исходного уравнения с помощью метода дополнительного аргумента.

Имеем:

Второе уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно. Тогда



Подставляя , получаем

Вспоминая, что получаем:

Т.е.

Третье уравнение можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно переменной.

Помножим обе части уравнения на

Тогда левая часть уравнения будет производной функции :

И

Тогда, интегрируя, получаем:

Следовательно, функция будет равна

Подставляя находим постоянную :

Тогда

Итак, для программы численного решения исходного уравнения, потребуется три уравнения:

Возьмём , тогда:

Программа численного решения будет основываться на методе последовательных приближений. Поэтому запишем начальные функции, которые будут использоваться для вычисления начальных приближений (подставляем в эти три уравнения ):

Уравнение

не содержит функции , поэтому можно ограничиться вычислением , и затем, пользуясь результатами вычислений , найти из уравнения:

6. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями

Для нахождения функции будут использоваться приближённые сеточные функции. Для простоты воспользуемся равномерной сеткой.

Задача численных расчётов - найти значения функции в узлах сетки и воспроизвести результат на графике. Конечной целью является графическое воспроизведение функции .

Введём три индексные переменные , соответствующие переменным , где - число значений , а число значений . Также необходимо ввести не только индексные, но и физические ограничения. Для абсциссы это будет число , а для времени - . Значения хранятся в массиве

Для того чтобы находить значения функции в конкретной точке , необходимо инициализировать три массива:

- массив значений функции

- массив значений функции

- массив значений функции

Зная, что функции определены на равномерной сетке нетрудно вычислить шаг сетки по и по :

Опишем метод, на котором основано численное интегрирование сеточных функций. Пусть дана следующая задача:

где - известная функция, а - неизвестная функция, которую нужно определить. Сама функция представляетя собой некоторый график:

Известно, что физический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Будем рассматривать метод трапеций как наиболее точный при небольшой затрате процессорного времени на вычисления. Зададим сеточные функции и , будем считать параметром массива, притом . Очевидно, что при большом значении , а, следовательно, при большем количестве узлов, мы получим более точное решение. Итак, как известно, площадь трапеции определяется по формуле:

где - стороны трапеции. В нашем случае мы будем иметь следующую формулу:

Теперь можно записать окончательную формулу для :

В нашей программе, соответсвенно, все интегралы будем считать с помощью цикла .

7. Программа и её описание. Результаты вычислений

Текст основной программы приведён ниже.

Программа 1.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h> //необходимые заголовочные файлы

#include <conio.h>

#include <fstream>

using namespace std;

double U(double t,double x,double u)

{

return u;

}

double fi(double x)

{

return pow(x,2)/2; //функция , первое приближение

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double T0=5; //определяем физические ограничения по t

const int nt=25;//число значений t

double T[nt]; //массив значений t

double S[nt]; //массив значений s

double dt=T0/(nt-1);//шаг по переменной t

T[0]=0;//начальное значение t, первый элемент массива

S[0]=0;

for (int i=1;i<nt;i++)

{

T[i]=T[i-1]+dt;//заполнение массива значений по t

S[i]=S[i-1]+dt;

}

double X0=20;//определяем ограничения по x

const int nx=20;//число значнеий x

double X[nx];//массив значений x

double dx;

dx=X0/(nx-1);//шаг по переменной x

X[0]=-X0/2;//первый элемент массива

for (int i=1;i<nx;i++)//заполнение массива значений по x

{

X[i]=X[i-1]+dx;

}

/*Массивы значений функций (V1 и V - два соседних приближения)*/

double u[nt][nx];

double (*eta)[nt][nx];

eta=new double[nt][nt][nx];

double (*eta1)[nt][nx];

eta1=new double[nt][nt][nx];

double (*V)[nt][nx];

V=new double[nt][nt][nx];

double (*W)[nt][nx];

W=new double[nt][nt][nx];

double (*V1)[nt][nx];

V1=new double[nt][nt][nx];

for (int i=0;i<nx;i++) /*заполнение массивов при (начальное условие )*/

{

u[0][i]=fi(X[i]);

eta[0][0][i]=X[i];

V[0][0][i]=u[0][i];

}

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

V[i][j][k]=fi(X[k]); //заполнение массива

}

}

}

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

u[j][k]=fi(X[k]); //определение функции

}

}

ofstream out("fi.txt");

out<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out<<u[j][i]<<"\t"; //запись значений функции в файл

}

out<<endl;

}

out.close();

/* определение переменных, с помощью которых обеспечивается выход из программы и сходимость последовательных приближений */

double sumst=0,sumst1=0,sumst2=0,sum0s=0,sum0s1=0,sum0s2=0;

double e=0.0001;

double dif=11;

double dif1=0;

double difeta=15;

double difeta1=0;

double dif2=0;

for (int n=0;n<5;n++)

{

for (int n=0;n<5;n++)

{

dif=0;//max raznost

difeta=0;//max raznost

//заполнение массива eta

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

if (i<=j)

{

sumst=0;

//вычисление интеграла

for (int s1=i;s1<j;s1++)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]-sumst;

}

if (i>j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1>j;s1--)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]+sumst;

}

difeta1=fabs(eta1[i][j][k]-eta[i][j][k]);

if (difeta1>difeta) difeta=difeta1;

}

}

}

cout<<"difeta = "<<difeta<<endl;

//заполнение массива V [i][j][k] и W[i][j][k]

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V1[i][j][k]=eta1[0][j][k]*exp(-2.0*i);

sum0s=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sum0s+=exp(2.0*s2)*V1[s2][j][k]*V1[s2][j][k]*dt;

}

W[i][j][k]=exp(-2.0*i)*(eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k]*0.5+sum0s);

dif1=fabs(V1[i][j][k]-V[i][j][k]);

if (dif1>dif) dif=dif1;

}

}

}

cout<<dif<<endl;

if (fabs(dif2-dif)<e) break;

dif2=dif;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V[i][j][k]=V1[i][j][k]; /*последнее приближение становится предыдущим и цикл продолжается */

eta[i][j][k]=eta1[i][j][k]; //аналогично

}

}

}

}

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=W[j][j][k]; /*присваиваем функции u значения массива W[j][j][k] */

}

}

}

ofstream out2("u.txt");

out2<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out2<<u[j][i]<<"\t"; //запись результатов в файл

}

out2<<endl;

}

out2.close();

/* запись файла значений известной функции u */

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=(X[k]*X[k])/(4*exp(2.0*T[j])-2); }

}

ofstream out3("fu.txt");

out3<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out3<<u[j][i]<<"\t";

}

out3<<endl;

}

out3.close();

delete []eta;

delete []eta1;

delete []V;

delete []V1;

getch();

return 0;

}

Результаты вычислений записываются в три файла. Первый файл содержит значения функции . Графически её можно представить так:

Во второй файл записываются результаты вычислений в самой программе. Функция выглядит так:

В третий файл записываются значения функции , зная что

Тогда графически это будет иметь вид:

Таким образом, графики функций, построенные по результатам вычислений в программе и непосредественно, почти совпадают.

Пример 2. Рассмотрим более сложное уравнение. В качестве функции выберем



Тогда исходное уравнение примет вид:

В качестве начального условия возьмём функцию

Тогда

Уравнения системы (26) перепишутся в виде:

Аналогично составляем программу численного решения. Заметим, что в этом случае не получится непосредственно вычислить . Придётся находить значения обеих функций и по их предыдущим приближениям.

Возьмём следующие значения параметров: Тогда функция f примет вид:

При увеличении значений значения функции стремятся к нулю.

Таким образом, в программе используются следующие уравнения:



Программа 2.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <fstream>

using namespace std;

double U(double t,double x,double u)

{

return u;

}

double fi(double x)

{

return exp(-pow(x,2));

}

double fi1(double x)

{

return -2*x*exp(-pow(x,2));

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double T0=5;

const int nt=25;

double T[nt];

double S[nt];

double dt=T0/(nt-1);

T[0]=0;

S[0]=0;

for (int i=1;i<nt;i++)

{

T[i]=T[i-1]+dt;

S[i]=S[i-1]+dt;

}//return 2.0;

double X0=20;

const int nx=20;

double X[nx];

double dx;

dx=X0/(nx-1);

//cout<<dx<<endl;

X[0]=-X0/2;

for (int i=1;i<nx;i++)

{

X[i]=X[i-1]+dx;

}

double u[nt][nx];

double (*eta)[nt][nx];

eta=new double[nt][nt][nx];

double (*eta1)[nt][nx];

eta1=new double[nt][nt][nx];

double (*V)[nt][nx];

V=new double[nt][nt][nx];

double (*W)[nt][nx];

W=new double[nt][nt][nx];

double (*V1)[nt][nx];

V1=new double[nt][nt][nx];

double (*W1)[nt][nx];

W1=new double[nt][nt][nx];

for (int i=0;i<nx;i++)

{

u[0][i]=fi(X[i]);

eta[0][0][i]=X[i];

V[0][0][i]=u[0][i];

}

//V0(s,t,x)=fi(x)

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

V[i][j][k]=fi(X[k]);

//cout<<V[i][j][k]<<endl;

}

}

}

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

u[j][k]=fi(X[k]);

}

}

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

W[i][j][k]=fi1(X[k]);

//cout<<V[i][j][k]<<endl;

}

}

}

ofstream out("fi.txt");

out<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out<<u[j][i]<<"\t";

}

out<<endl;

}

out.close();

double sumst=0,sumst1=0,sumst2=0,sum0s=0,sum0s1=0,sum0s2=0;

double e=0.0001;

double dif=11;

double dif1=0;

double difeta=15;

double difeta1=0;

double dif2=0;

for (int n=0;n<5;n++)

{

for (int n=0;n<5;n++)

{

dif=0;//max raznost

difeta=0;//max raznost

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

if (i<=j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1<j;s1++)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]-sumst;//sumst=integral ot s(i) do t(j) ot Vn-1=sum(V*dt)

}

if (i>j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1>j;s1--)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]+sumst;//sumst=integral ot s(i) do t(j) ot Vn-1=sum(V*dt)

}

difeta1=fabs(eta1[i][j][k]-eta[i][j][k]);

if (difeta1>difeta) difeta=difeta1; //нахождение максимальной разности между приближениями eta

}

}

}

cout<<"difeta = "<<difeta<<endl;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sumst1+=(2/((1+V[s2][j][k])*(1+V[s2][j][k]))-2/((1+V[s2][j][k])*(1+V[s2][j][k])))*dt;

}

W1[i][j][k]=exp(-eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k])*(-2*(eta1[0][j][k]))*sumst1;

sum0s=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sum0s+=(2/(1+V[s2][j][k])-2/(1+V[s2][j][k]))*dt;

}

sumst2=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sumst2+=(W[s2][j][k]*W[s2][j][k])*dt;

}

V1[i][j][k]=exp(-eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k])+sum0s+sumst2;

//V1[i][j][k]=fi(X[k])*exp(-sum0s);

dif1=fabs(V1[i][j][k]-V[i][j][k]);

cout<<"ijk"<<"\t"<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<k<<"\t"<<V1[i][j][k]<<"\t"<<V[i][j][k]<<"\tdif"<<dif<<endl;

if (dif1>dif) dif=dif1; //нахождение максимальной разности между соседними приближениями

}

}

}

cout<<dif<<endl;

if (fabs(dif2-dif)<e) break; //Условие завершения программы

dif2=dif;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V[i][j][k]=V1[i][j][k];

W[i][j][k]=W1[i][j][k];

eta[i][j][k]=eta1[i][j][k];

}

}

}

}

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=V[j][j][k];

}

}

}

ofstream out2("u.txt");

out2<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out2<<u[j][i]<<"\t";

}

out2<<endl;

}

out2.close();

delete []eta;

delete []eta1;

delete []W;

delete []W1;

delete []V;

delete []V1;

getch();

return 0;

}

Результаты вычислений записываются в два файла. Первый файл содержит значения функции . Графически ( спомощью пакета для математических расчётов Scilab 5.2.2) её можно представить так:

Во второй файл записываются результаты вычислений в самой программе. Функция выглядит так:



Заключение

Таким образом, метод дополнительного аргумента может быть эффективно использован для приближённого решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В работе исходное дифференциальное уравнение преобразовано в систему из двух квазилинейных уравнений. А посредством метода дополнительного аргумента эта система сведена к системе интегральных уравнений, достаточно простых по структуре. Затем эта система решается с помощью численных методов с последующей реализацией на ПК. Получены трёхмерные графики функции

Доказательство существования решения задачи Коши (1) - (2) позволяет применять метод аргумента для решения уравнения (1) с различными функциями , что иллюстрируется примерами.



Литература

1. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному аналогу задачи протекания // Материалы IV научной конференции КРСУ, Бишкек, май 1997г. - Бишкек: КРСУ, 1997.-С.26.

2. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к системе нелинейных уравнений типа полной производной по времени // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 1997. - Вып.26. - С. 161-169.

3. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному варианту задачи протекания с краевыми условиями третьего типа для скорости // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 1998. - Вып.27. - С. 225-243.

4. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Решение системы уравнений в частных производных первого порядка с начально-краевыми условиями методом дополнительного аргумента // Традиции и новации в культуре университетского образования (КТУ): Сб. трудов международ. науч. конференц. - Бишкек: Технология, 1998. - С.106-112.

5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, Физматгиз. 1958.

6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. «Наука». М. 1970. 280 с.

Размещено на Allbest.ru

...