Теория линейного обнаружения
Практические примеры проверка статистических гипотез. Распределение эффектов одного фонового шума, суммы полезного сигнала. Плотности распределения, лемма Неймана–Пирсона. Уравнение согласованной фильтрации. Математическое ожидание статистики, дисперсия.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.10.2017 |
| Размер файла | 871,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ВВЕДЕНИЕ
Теория линейного обнаружения импульсного сигнала в аддитивном гауссовом шуме разработана прекрасно [6], [7]. Теория импульсного обнаружения сигнала базируется на лемме Неймана-Пирсона, потому что в соответствии с ЛНП отношение правдоподобия обеспечивает минимальную величину вероятности пропуска сигнала (максимальную вероятность правильного обнаружения) при условии, что вероятность ложной тревоги не превышает заданной величины. Окончательной характеристикой обнаружителя является его рабочая характеристика.
Любое устройство моделируется с помощью вычислительной техники. Для того, чтобы построить модель линейного обнаружителя необходимо построить генератор шума и записать в виде программы алгоритм обнаружения. Известны три способа генерирования шума:
метод скользящего суммирования;
метод рекуррентных разностных уравнений;
метод сингулярного разложения корреляционной матрицы.
Возникает вопрос о точности моделирования с использованием того или много метода генерирования шума.
Целью работы является необходимость исследовать вопрос о погрешностях моделирования модели с использованием генирирования шума методом скользящего суммирования.
1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
В математической статистике задача обнаружения сигнала формулируется как проверка гипотезыH0 против гипотезы H1:
, (1)
где, -- сигнал на входе, -- шумовая составляющая сигнала, -- полезный информационный сигнал.
Если известны функции корреляции шума, форма, амплитуда, время прихода и длительность сигнала T, то гипотезы называются простыми: неизвестно лишь, была ли на входе сумма сигнала и шума или наблюдался только шум (рис. 1):
(2)
где- сигнал на входе; - функция корреляции.
Рис. 1
Как и любая задача математической статистики, задача проверки гипотез решается поиском оптимальной для данной задачи статистики:
(3)
Пусть статистика (3) получена в простейшей форме - в виде случайного числа.
Статистическая теория принятия решений исходит из следующих положений:
сигнал подлежащий обнаружению, появляется всегда на фоне шума, уровень которого случайно меняется во времени;
подобным образом случайно меняется во времени и эффективность сигнала;
поскольку эти два процесса являются случайными, они могут быть представлены кривыми нормального распределения;
чтобы получить результат действия полезного сигнала, подлежащего обнаружению, надо сложить распределение эффектов, производимых только фоновым шумом и только одним сигналом (поскольку сигнал никогда не может появится без шума).
Эти положения дают возможность определить два нормальных распределения:
а) распределение эффектов одного фонового шума;
б) распределение эффектов суммы полезного сигнала и фонового шума.
Поскольку два влияния (сигнал и шум) суммируются следовательно их можно изобразить в одних и тех же координатах (см. рис. 1).
Рис. 2 -- Плотности распределения
В задачах по обнаружению сигнала необходимо принять решение: была ли на входе смесь сигнала и шума или наблюдался только шум. Отсюда сразу становится очевидным, что принять решения легче, если указанные распределения расположены на большем расстоянии друг от друга (как это бывает при очень сильном сигнале), чем в том случае, когда они расположены близко друг к другу.
Интересны с точки зрения статистических гипотез случаи, где кривые расположены близко друг к другу. В такой ситуации необходимо установить некоторый критерий, чтобы решить был ли на входе только сигнал или смесь сигнала и шума.
2. ЛЕММА НЕЙМАНА-ПИРСОНА
Всё множество значений статистики может быть разбито значением на области принятия решения в пользу гипотезы при или гипотезы при (рис. 3-а).
Рис. 3
Так как в общем случае плотности пересекаются, возможны ошибки принятия решений. Вероятность ошибки первого рода (гипотеза отвергается, когда она верна)
(4)
вероятность ошибки второго рода (гипотеза отвергается, когда она верна)
(5)
В статистической радиотехнике вероятности F и D называются соответственно вероятностью ложной тревоги и вероятностью обнаружения.
На рис. 4-а вероятности ошибок показаны заштрихованными площадями.
Пусть вероятность ложной тревоги (4) задана соответствующим выбором критического уровня . Тогда наилучшее решение задачи состоит в минимизации пропуска сигнала (ошибки второго рода) (5), или в максимизации вероятности обнаружения
(6)
Вероятность D максимальна при таком разбиении пространства что отношение правдоподобия
(7)
максимально при условии Это записывается в виде неравенства (леммы Неймана-Пирсона)
(8)
- критический уровень отношения правдоподобия (рис. 3-б).
В математической статистике для проверки статистических гипотез применяется правило Неймана-Пирсона: максимизируется вероятность обнаружения D при фиксированной вероятности ошибки первого рода F. Правило (критерий) Неймана-Пирсона является основным и при решении задачи обнаружения в статистической радиотехнике.
Пример 1. Плотности распределения статистики изображены на рис. 3-а: . Отношение правдоподобия (7) (рис. 3-б)
Если задать критический уровень то из равенства , следует значение критического уровня статистики (рис. 3-а) определяющее вероятности
Обратно: задание вероятности F = 0,1164 определяет критический уровень что задаст единственное значение вероятности D = 0,4234.
Разбиению пространства отношения правдоподобия на области и принятия решения в соответствии с неравенством (8) соответствует разбиение пространства значений статистики критическим уровнем (рис. 3.2).
В данном однопороговом примере значения вероятностей F и D связаны функционально, поэтому максимизация вероятности D невозможна: заданная вероятность F однозначно определяет значение которое также однозначно задаёт вероятность Правило Неймана-Пирсона в таком случае выглядит вырожденным. Если же задача имеет двухпороговоерешение, правило Неймана-Пирсона применяется в полном объёме.
3. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
статистический гипотеза сигнал фильтрация
Оптимальное правило формирования статистики проверки простых гипотез описывается интегральным уравнением
(9)
называемым также уравнением согласованной фильтрация которого - функция корреляции шума, правая часть - обнаруживаемый сигнал . Решение уравнения определяет статистику
(10)
(11)
обладающую свойством
(12)
Математическое ожидание статистики (10)
(13)
(14)
дисперсия статистики
(15)
Дисперсия и математическое ожидание имеют различные размерности. Здесь равенство дисперсии статистики её математическому ожиданию объясняется безразмерностью интегральных уравнений Фредгольма.
Исходя из уравнения (12) и (15) можно определить величину отношение сигнал-шум как
(16)
Тогда определим статистику (10) как
Статистика (10) формируется на выходе согласованного фильтра - линейного фильтра с весовой функцией
(17)
Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра
(18)
в момент окончания сигнала равен
(19)
Статистика (10 сравнивается с критическим уровнем и при принимается решение в пользу гипотезы
Список литературы
1. Ануфриев И. и др. MATLAB 7. -СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 1104 с.
2. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. - СПб.: Питер, 2001. - 480 с.
3. Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP 1/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. - М.: СОЛОН - Пресс, 2005. - 576 с.
4. Кендалл М, Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. - 899 с.
5. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. -М.: Высшая школа, 1984. - 248 с.
6. Хелетром К. Статистическая теория обнаружения сигналов.-М.: Сов. радио, 1963.
7. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. -М.:Радио и связь, 1983.
8. Воробьев С.Н., Гирина Н.В., Осипов Л.А. Гистограммное оценивание плотности распределения. Учебн. пособ. - СПб.: ГУАП , 2008. - 92 с.
9. Воробьёв С.Н., Осипов Л.А. Линейные системы. Расчёт и моделирование. - СПб.: ГУАП, 2004. - 122 с.
10. Воробьёв С.Н. и др. Статистическое моделирование информационных систем. Часть первая. Учебн. пособ. - СПб.: ГУАП, 2010. - 152 с.
11. Воробьёв С.Н. Эффективное обнаружение детерминированных сигналов. - СПб.: ГУАП, 2003. -139 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Основные понятия математической статистики, интервальные оценки. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения при помощи критерия Пирсона. Свойства оценок, непрерывные распределения.
курсовая работа [549,1 K], добавлен 07.08.2013Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012Примеры пространства элементарных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий. Функция распределения F(x,y) системы случайных величин. Расчет математического ожидания и дисперсии. Закон генеральной совокупности и его параметры.
контрольная работа [178,1 K], добавлен 15.06.2012Моделирование входного заданного сигнала, построение графика, амплитудного и фазового спектра. Моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея, оценка дисперсии отсчетов шума и проверка адекватности модели шума по критерию Пирсона.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 25.11.2011Доверительное оценивание параметров законов распределения (дисперсия, математическое ожидание), классический регрессионный анализ. Проверка гипотез, методики расчета доверительных интервалов и критериев согласия для различных числовых характеристик.
курсовая работа [302,9 K], добавлен 25.07.2013Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Числовые характеристики случайной функции: математическое ожидание, дисперсия, квадрат разности, корреляционная функция. Расчет среднего выборочного и несмещенной выборочной дисперсии, проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию согласия.
контрольная работа [666,1 K], добавлен 02.06.2010Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Теория вероятностей. Коэффициенты использования рабочего времени. Закон распределения случайной величины. Функция плотности. Математическое ожидание. Закон распределения с математическим ожиданием. Статистика. Доверительный интервал. Выборочная средняя.
контрольная работа [178,3 K], добавлен 24.11.2008Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
контрольная работа [106,1 K], добавлен 23.06.2009Понятие непрерывной случайной величины, её значения на числовых промежутках. Определение закона распределения, его функции. Плотность распределения числовых характеристик вероятности. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
лекция [575,9 K], добавлен 17.08.2015Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Ознакомление с механизмом проверки гипотезы для случая единственной выборки, двух и нескольких независимых выборок. Проверка совпадений карт, выбор фильмов разных жанров. Обоснование результатов, полученных после проверки статистических гипотез.
курсовая работа [726,2 K], добавлен 26.02.2015Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Использование вероятностной модели для описания неопределенностей. Распределение Пирсона, Стьюдента и Фишера при статистической обработке данных. Использование "Хи-квадрата" при оценивании дисперсии, проверке гипотез согласия качественных переменных.
контрольная работа [794,7 K], добавлен 02.02.2011Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010Первичный анализ и основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез.
дипломная работа [850,9 K], добавлен 18.01.2016Рассмотрение в теории вероятностей связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Основные формулы математического ожидания дискретного распределения, целочисленной величины, абсолютно непрерывного распределения и случайного вектора.
презентация [55,9 K], добавлен 01.11.2013
