Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Институт Электронной Техники

(Технический университет)

Курсовая работа

По теории вероятностей и математической статистике.

Выполнила: Черепкова Ю.В. Гр. ЭКТ-23

Проверила: Ремарова Т.Л.

Москва, 2004

Вводимые данные

Х	Y	Остатки
16,89	18,52	-0,4125
17,63	19,96	0,4650
17,11	18,84	-0,2597
17,16	18,89	-0,2477
17,23	18,94	-0,2509
17,16	20,14	1,0023
15,92	18,25	0,0548
18,37	19,55	-0,5074
18,98	21,23	0,7089
16,64	18,74	-0,0025
18,33	20,86	0,8330
19,95	21,11	-0,1483
18,21	19,91	-0,0258
16,41	17,74	-0,8277
17,19	19,37	0,2095
17,26	17,94	-1,2737
16,17	17,86	-0,5253
15,85	18,36	0,2180
16,37	19,63	1,0927
17,66	19,76	0,2422
16,32	18,28	-0,2193
17,31	18,91	-0,3417
15,31	17,80	0,0684
17,51	18,38	-1,0238
18,33	20,64	0,6130
16,14	18,96	0,5975
16,09	18,36	0,0355
18,17	19,86	-0,0454
15,04	16,69	-0,8364
17,71	19,59	0,0342
17,35	19,86	0,5779
18,00	19,93	0,1538
18,33	20,28	0,2530
18,39	19,72	-0,3526
15,37	18,21	0,4328
17,35	19,61	0,3279
16,04	17,91	-0,3764
17,51	19,16	-0,2438
18,00	19,49	-0,2862
15,60	18,25	0,2980
19,04	20,33	-0,2367
18,46	19,34	-0,7858
17,09	18,94	-0,1445
17,08	18,97	-0,1069
17,20	19,81	0,6419
17,58	18,70	-0,7570
15,52	17,85	-0,0412
16,18	18,72	0,3271
17,36	20,23	0,9403
16,24	18,59	0,1515

Теоретическая часть. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора

Пусть (x_i,y_i), i = 1,2,......,n,- выборка объема n из наблюдений случайного двумерного вектора (X,Y). Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости с выбранной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания.

Построить диаграмму рассеяния нанести на нее уравнения регресси Y на X

y=^*₀ +^*₁x и X на Y x=^*₀ +^*₁y.

Сначала вычислим суммы

x_i, y_i,x²_i,y²_i, x_iy_i, (x_i+y_i)²

Для контроля правильности вычислений используется тождество

(x_i+y_i)²= x²_i + 2 x_iy_i + y²_i

Выборочные средние находятся по формулам

x^*=^*_1,0=(1/n) x_i, y^*=^*_0,1=(1/n) y_i. (1)

Затем вычисляются суммы квадратов отклонений от среднего и произведений отклонений от средних:

Q_x=(x_i - x^*)²=x²_i - (x)²_i/n, (2)

Q_y=(y_i - y^*)²=y²_i - (y)²_i/n, (3)

Q_xy=(x_i - x^*)(y_i - y^*)=x_iy_i - (x _i)(y_i )/n, (4)

Отсюда

D^*_x= (1/n) Q_x, D^*_y= (1/n) Q_y,

R=(^*_1,1)/ (D^*_x D^*_y)^1/2= (Q_xy)/( Q_x Q_y)^1/2 (5)

Выборочная линейная регрессия Y на X по выборке (x_i, y_i ), i= 1,......, n определяется уравнением

y=^*₀ +^*₁x= y^* + r (D^*_x / D^*_y ) (x - x^*)

Коэффициенты ^*₀ и ^*₁ называются выборочными коэффициентами регрессии. Они вычисляются по формулам

₁^*=[n x_iy_i - (x _i)(y_i )]/(n x²_i - (x_i)² ) = Q_xy / Q_x (6)

₀^* = y^*- ₁^*x^* (7)

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия X на Y:

x=^*₀ +^*₁y = x^* + r (D^*_x / D^*_y ) (y - y^*)

₁^*=[n x_iy_i - (x _i)(y_i )]/(n y²_i - (y_i)² ) = Q_xy / Q_y (8)

₀^*= x^*- ^*₁y^* (9)

Для контроля правильности расчетов используют соотношение

(₁^*₁^*)^1/2= r (10)

Прямые

y=^*₀ +^*₁x, x=^*₀ +^*₁y

Пересекаются в точке с координатами (x^*, y^* )

Функция y=^*₀ +^*₁x

Определяет выборочную (эмпирическую ) регрессию Y на x. Последняя является оценкой предполагаемой (теоретической) регрессии по результатам наблюдений. Разности между наблюдаемыми значениями переменной Y при x=x_i, i=1,2,....,n, и расчетными значениями y_i=^*₀ +^*₁x называются остатками и обозначаются e_i:

e_i = y_i - y _i, i = 1,2,......,n. Все остатки приведены в таблице 1. (11)

Качество аппроксимации результатов наблюдений (x_i,y_i), i = 1,2,......,n, выборочной регрессии определяется величиной остаточной дисперсии, вычисляемой по формуле

S²= e²_i /(n-2)=1/(n-2) [ y_i - (^*₀ +^*₁x_i)]²=Q_e/(n-2) (12)

Величина Q_e определяемая выражением

Q_e = e²_i= (y_i - y _i) (13)

Называется остаточной суммой квадратов.

В практических вычислениях остаточную сумму квадратов получают из тождества

(y_i - y^*_i)² = (y_i - y^*_i )² + (y_i - y_i) ² (14)

Которое записывается в виде

Q_y = Q_r + Q_e, где

Q_y= (y_i - y^*_i)²= (y²_i - n*y^*_i),

Q_r = (y_i - y^*_i )²=^*₁ Q_xy=^2*₁ Q_x= Q²_xy/ Q_x (15)

Величина Q_r называется суммой квадратов, обусловленной регрессией регрессией.

Полезной характеристокой линейной регрессии является коэффициент детерминации R², вычисляемый по формуле

R²= Q_r / Q_y =1 - (Q_e / Q_y) (16)

Коэффициент детерминации R² равен той доле разброса результатов наблюдений (x_i,y_i), i = 1,2,......,n, относительно горизонтальной прямой y=y^*, которая объсняется выборочной регрессией. Величина R= + (R²)^1/2 является оценкой коэффициента корреляции между результатами наблюдений y_i и вычисленными значениями y_i, предсказываемыми регрессией, т.е.

R= p^*_yy= r_yy

В случае линейной регрессии Y на x (одной независимой переменной x) между коэффициентом R и выборочным коэффициентом корреляции r_xy имеется следующее соотношение:

r_xy = ( знак ^*₁ ) R.

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок ( групп ), полученных из l нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют, вообще говоря, различные средние m₁, m₂,....., m_l и равные дисперсии ². Проверяется гипотеза о равенстве средних H₀ m₁= m₂ =..... =m_l. На практике такая задача возникает при исследованиии влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на l различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае на синтересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку ( гипотеза H₀ ). При l=2 для проверки гипотезы H₀ используется известные критерии значимости. Если l>2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный анализ, суть которого состоит в следующем.

Пусть x_ik обозначает i-й элемент k-й выборки, i = 1,2,......,n, k = 1,2,......,n, x^*_k-выборочное среднее k-й выборки, т.е.

x^*_k=(1/n_k) x_ik = (1/n) x._.k,

k^*- общее выборочное среднее, т.е.

x^*= x_ik = (1/n) x..,

где n - общее число наблюдений, n= n_k

Общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего x^* может быть предтавлена так:

( x_ik - x^*)²= n_k ( x^*_k - x^*)²+ ( x_ik - x^*_k)² (17)

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

Q=Q₁+Q₂ (18)

Где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, Q₁ - сумма квадратов отклонений выборочных средних x^*_k от общего среднего x^* (между группами), Q₂-сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних групп (внутри групп).

Тождество (1) легко проверяется, если воспользоваться очевидным равенством

( x_ik - x^*)= [( x^*_k - x^*)+ ( x_ik - x^*_k)]

и учесть, что

( x_ik - x^*_k) ( x^*_k - x^*)=0

в силу определения средних x^*_k и x^*

Если верна гипотеза H₀: m₁= m₂ =.....= m_l, то статистики Q_1/² и Q₂/² независимы и имеют распределение ² с l-1 и n-l степенями свободы. Следовательно, статистики S²₁₌ Q₁/(l-1) и S²₂₌ Q₂/(n-l) являются несмещенными оценками неизвесной дисперсии ². Оценка S²₁ характеризует рассеяние групповых средних, а оценка S²₂-рассеяние внутри групп, которое обусловленно случайными вариациями результатов наблюдений. Значительное превышение величины S²₁ над значением величины S²₂ можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с l-1 и n-l степенями свободы, т.е.

S²₁/S²₂₌ Q₁/(l-1)Q₂/(n-l)=F(l-1,n-l)

Статистика используется для проверки гипотезы H₀: m₁= m₂ =.....= m_l. Гипотеза H₀ не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение F_в статистики меньше квантили F_1-(l-1,n-l), т.е. если F_в< F_1-(l-1,n-l). В этом случае x^* и Q₂/(n-l) являются несмещенными оценками параметров m и ².Если F_в< F_1-(l-1,n-l), то гипотеза H₀ отклоняется и следует считать, что среди средних m₁, m₂,....., m_l имеется хотя бы два не равных друг другу.

Линейные контрасты

Если гипотеза о равенстве средних отклоняется, то требуется определить, какие именно группы имеют значимое различие средних. Для этих целей используется метод линейных контрастов. Линейный контраст Lk определяется как линейная комбинация

Lk=c_km_k

где c_k k = 1,2,......,l- константы, однозначно определяемые из формулировки проверяемых гипотез, причем c_k = 0. Оценка Lk равна Lk^* =c_kx^*_k, а оценка дисперсии Lk^* равна

S²_LK = D[Lk^*] = ^*2 (c²_k/n_k) = Q₂/(n-l) (c²_k/n_k)

Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^* S_LK [(n-l) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

Практическая часть.

Построить диаграмму рассеяния нанести на нее уравнения регресси Y на X

y=?₀ +^?₁x и X на Y x=^?'₀ +?'₁y.

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 858,11

y_i = 956,97

x²_i = 14783,31

y²_i = 18361,90

x_iy_i =16466,47

Тогда по формуле (1)

x?=858,11/50= 17,1622, y^?=956,97/50=19,1394

Для контроля правильности вычислений используется тождество

(x_i+y_i)²= 66078,15

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 14783,31+2*16466,47+18361,90=66078,15

Следовательно, вычисления проведены верно. Предварительно найдем

Q_x=14783,31- (858,11)²/50= 56,2589

Q_y=18361,90- (956,97)²/50= 46,0647

Q_xy=16466,47- (858,11)( 956,97)/50= 42,7608

Окончательно из соотношений (5) получаем

D?_x=1,1252, D?_y = 0,9213

R=0,8400

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁= 42,7608/ 56,2589= 0,7601

₀ = 19,1394- 0,7601*17,1622 = 6,0949

'₁= 42,7608/ 46,0647=0,9283

'₀=17,1622 - 0,9283 *19,1394= -0,6045.

Таким образом, выборочная линейная регрессия имеет вид

y=6,0949 +0,7601*x

x=-0,6045+0,9283 *y

Точка пересечения (17,1622 ;19,1394)

e_i = y_i - y? _i, i = 1,2,......,n. Все остатки приведены в таблице 1.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e = e²_i=13,5634

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регреccией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 46,0647-13,5634=32,5012

Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна

S²=13,5634/(50-2)=0,2826

s=0,5316

Значение квантили

t_1-/2(n-2)= t_1-/2(48) = 1,684

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ?₀

?₀ t_1-/2(n-2) * s * [x²_i/(n*Q_x)]^1/2 =6,0949 1,684* 0,5316* [(14783,31/(50*56,2589)]^1/2= 6,0949 2,0523

для коэффициента ?₁

₁ t_1-/2(n-2) * s * [1/Q_x]^1/2 = 0,7601 1,684 * 0,5316 (1/56,2589)^1/2=0,7601 0,1259

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀ t_1-/2(n-2) * s *[1/n + {(x₀-x)²/Q_x}]^1/2= y₀ 1,684 * 0, 0,5316*[1/50 + {(x₀- 17,1622)²/56,2589}]^1/2 = y₀ 0,8952*[1/50 + {(x₀- 17,1622)²/56,2589}]^1/2

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

[(n-2)* s²]/²_1-/2(n-2) < ² < [(n-2)*s²]/²_/2(n-2)

[48*0,2826]/73,2< ² < [48*0,2826]/33,4

0.1853< ² < 0,4061

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= 1 - (13,563446,0647)=0,7056

Этот результат означает, что полученное уравнение регрессии на 70,56% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой y=19,1394. Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= + (0,7056)^1/2=0,8400

3)Однофакторный дисперсионный анализ

Задача заключается в проверке гипотезы H₀: m₁=m₂. В нашем случае l=2 n=100.

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

дисперсионный регрессия анализ вектор

Lk = x_ik=858,11+956,97=1815,08

x²_ik=14783,31+ 18361,90 =33145,21

Далее из (17) и (18) получаем

Q=33145,21- (1815,08)² /100= 200,0565

Q₁=[(858,11²+956,97²)/50 ] - (1815,08)² /100 =97,7330

Q₂ = Q - Q₁=102,3235

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S²₁= Q₁(l-1)= 97,7330

S²₂= Q₂/(n-1)= 102,3235/ 98=1,0441

Найдем выборочное значение статистики H₀

F_в= ( n-2 ) Q₁ / [Q₂ (l-1)]= S²₁ / S²₂ = 93,60

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9(1,98)=2,77,что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости = 0,1. Таким образом, линейная регрессия Y на X статистически значима.

Вводимые данные	ДXІ	ДYІ	Произведение величин	Остатки	Остаточная сумма квадратов
X	Y	(X-ср(y))І	(Y-ср(y))І	XІ	YІ	XY	(X+Y)І	ei	Qe
16,89	18,52	0,0741	0,3837	285,2721	342,9904	312,8028	1253,8681	-0,4125	0,1702
17,63	19,96	0,2188	0,6734	310,8169	398,4016	351,8948	1413,0081	0,4650	0,2163
17,11	18,84	0,0027	0,0896	292,7521	354,9456	322,3524	1292,4025	-0,2597	0,0675
17,16	18,89	0,0000	0,0622	294,4656	356,8321	324,1524	1299,6025	-0,2477	0,0614
17,23	18,94	0,0046	0,0398	296,8729	358,7236	326,3362	1308,2689	-0,2509	0,0630
17,16	20,14	0,0000	1,0012	294,4656	405,6196	345,6024	1391,2900	1,0023	1,0045
15,92	18,25	1,5431	0,7910	253,4464	333,0625	290,5400	1167,5889	0,0548	0,0030
18,37	19,55	1,4588	0,1686	337,4569	382,2025	359,1335	1437,9264	-0,5074	0,2575
18,98	21,23	3,3044	4,3706	360,2404	450,7129	402,9454	1616,8441	0,7089	0,5026
16,64	18,74	0,2727	0,1595	276,8896	351,1876	311,8336	1251,7444	-0,0025	0,0000
18,33	20,86	1,3638	2,9605	335,9889	435,1396	382,3638	1535,8561	0,8330	0,6939
19,95	21,11	7,7718	3,8833	398,0025	445,6321	421,1445	1685,9236	-0,1483	0,0220
18,21	19,91	1,0979	0,5938	331,6041	396,4081	362,5611	1453,1344	-0,0258	0,0007
16,41	17,74	0,5658	1,9583	269,2881	314,7076	291,1134	1166,2225	-0,8277	0,6850
17,19	19,37	0,0008	0,0532	295,4961	375,1969	332,9703	1336,6336	0,2095	0,0439
17,26	17,94	0,0096	1,4386	297,9076	321,8436	309,6444	1239,0400	-1,2737	1,6224
16,17	17,86	0,9845	1,6369	261,4689	318,9796	288,7962	1158,0409	-0,5253	0,2759
15,85	18,36	1,7219	0,6075	251,2225	337,0896	291,0060	1170,3241	0,2180	0,0475
16,37	19,63	0,6276	0,2407	267,9769	385,3369	321,3431	1296,0000	1,0927	1,1941
17,66	19,76	0,2478	0,3851	311,8756	390,4576	348,9616	1400,2564	0,2422	0,0587
16,32	18,28	0,7093	0,7386	266,3424	334,1584	298,3296	1197,1600	-0,2193	0,0481
17,31	18,91	0,0218	0,0526	299,6361	357,5881	327,3321	1311,8884	-0,3417	0,1168
15,31	17,80	3,4306	1,7940	234,3961	316,8400	272,5180	1096,2721	0,0684	0,0047
17,51	18,38	0,1210	0,5767	306,6001	337,8244	321,8338	1288,0921	-1,0238	1,0481
18,33	20,64	1,3638	2,2518	335,9889	426,0096	378,3312	1518,6609	0,6130	0,3758
16,14	18,96	1,0449	0,0322	260,4996	359,4816	306,0144	1232,0100	0,5975	0,3571
16,09	18,36	1,1496	0,6075	258,8881	337,0896	295,4124	1186,8025	0,0355	0,0013
18,17	19,86	1,0157	0,5193	330,1489	394,4196	360,8562	1446,2809	-0,0454	0,0021
15,04	16,69	4,5037	5,9996	226,2016	278,5561	251,0176	1006,7929	-0,8364	0,6995
17,71	19,59	0,3001	0,2030	313,6441	383,7681	346,9389	1391,2900	0,0342	0,0012
17,35	19,86	0,0353	0,5193	301,0225	394,4196	344,5710	1384,5841	0,5779	0,3339
18,00	19,93	0,7019	0,6250	324,0000	397,2049	358,7400	1438,6849	0,1538	0,0237
18,33	20,28	1,3638	1,3010	335,9889	411,2784	371,7324	1490,7321	0,2530	0,0640
18,39	19,72	1,5075	0,3371	338,1921	388,8784	362,6508	1452,3721	-0,3526	0,1243
15,37	18,21	3,2120	0,8638	236,2369	331,6041	279,8877	1127,6164	0,4328	0,1873
17,35	19,61	0,0353	0,2215	301,0225	384,5521	340,2335	1366,0416	0,3279	0,1075
16,04	17,91	1,2593	1,5114	257,2816	320,7681	287,2764	1152,6025	-0,3764	0,1417
17,51	19,16	0,1210	0,0004	306,6001	367,1056	335,4916	1344,6889	-0,2438	0,0594
18,00	19,49	0,7019	0,1229	324,0000	379,8601	350,8200	1405,5001	-0,2862	0,0819
15,60	18,25	2,4405	0,7910	243,3600	333,0625	284,7000	1145,8225	0,2980	0,0888
19,04	20,33	3,5261	1,4175	362,5216	413,3089	387,0832	1549,9969	-0,2367	0,0560
18,46	19,34	1,6843	0,0402	340,7716	374,0356	357,0164	1428,8400	-0,7858	0,6175
17,09	18,94	0,0052	0,0398	292,0681	358,7236	323,6846	1298,1609	-0,1445	0,0209
17,08	18,97	0,0068	0,0287	291,7264	359,8609	324,0076	1299,6025	-0,1069	0,0114
17,20	19,81	0,0014	0,4497	295,8400	392,4361	340,7320	1369,7401	0,6419	0,4120
17,58	18,70	0,1746	0,1931	309,0564	349,6900	328,7460	1316,2384	-0,7570	0,5730
15,52	17,85	2,6968	1,6626	240,8704	318,6225	277,0320	1113,5569	-0,0412	0,0017
16,18	18,72	0,9647	0,1759	261,7924	350,4384	302,8896	1218,0100	0,3271	0,1070
17,36	20,23	0,0391	1,1894	301,3696	409,2529	351,1928	1413,0081	0,9403	0,8841
16,24	18,59	0,8505	0,3018	263,7376	345,5881	301,9016	1213,1289	0,1515	0,0230
?X	?Y	?ДX	?ДY	?XІ	?YІ	?XY	?(X+Y)І	?ei	?eiІ
858,11	956,97	56,26	46,06	14783,31	18361,90	16466,47	66078,15	0,0000	13,5634
Среднее значение X	Среднее значение Y
ср(x)	ср(y)
17,1622	19,1394
Сумма квадратов отклонений от среднего и произведений отклонений от средних	Дисперсии и коэффициент корреляции	Выборочные коэффициенты регрессии Y на X и X наY соответственно
Qx	Qy	Qxy	Dx(уІx)	Dy(уІy)	r	в№y	вєy	в№x	вєx
56,2589	46,0647	42,7608	1,1252	0,9213	0,8400	0,7601	6,0949	0,9283	-0,6045

Остаточная дисперсия	Коэффициент детерминации	Сумма квадратов,обусловленная регрессией	Коэффициент корреляции
sІ	RІ	Qr	rxy
0,2826	0,7056	32,5012	0,8400

Константа Стьюдента	Квантили хи-квдрат распределения	Сумма чисел в выборках	Сумма квадратов отклонений:от общего среднего,между группами,внутри групп.
t0.95(48)	ч20.95(48)	ч20.05(48)	??Xk	Q	Q1	Q2
1,6840	73,2000	33,4000	1815,0800	200,0565	97,7330	102,3235

Рассеяние групповых средних	Рассеяние внутри групп	Распределение Фишера
S12	S22	Fb
97,7330	1,0441	93,60

Доверительные интервалы:
Для параметров линейной регрессии	для дисперсии ошибок наблюдений
minв1	maxв1	minв0	maxв0	minу2	maxу2
0,6407	0,8920	4,0427	8,1471	0,1853	0,4061

Размещено на Allbest.ru

...