Методы обработки экспериментальных данных, оценка распределений и их параметров, проверка гипотез о распределениях
Характеристика методов обработки экспериментальных данных. Оценка распределений, проверка гипотез о распределениях. Оценка математического ожидания и дисперсии случайной величины. Расчет доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.10.2017 |
| Размер файла | 306,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Цель работы:
Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениванию распределений и их параметров и проверки гипотез о распределениях.
Содержание работы
1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,95.
3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал [0,7, 1).
4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности (1-) = 0,9.
5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности. . f(x) 1-=0,95
F(x) 1-=0,8.
7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения
8. Используя критерий согласия 2 и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.
Задание
распределение математический дисперсия
Результаты измерений приведены в таблице:
|
0,72 |
0,51 |
1,03 |
1,08 |
2,29 |
-0,98 |
-1,08 |
0,12 |
1,24 |
-0,83 |
|
|
1,19 |
1,22 |
1,15 |
0,91 |
-0,19 |
1,78 |
0,62 |
0,84 |
1,02 |
1,95 |
|
|
1,79 |
0,83 |
1,29 |
1,43 |
0,04 |
1,31 |
0,1 |
0,17 |
0,15 |
0,03 |
|
|
1,19 |
2,09 |
1,87 |
0,47 |
2,19 |
1,48 |
0,56 |
0,19 |
0,50 |
-0,69 |
|
|
0,74 |
2,24 |
0,71 |
-0,43 |
1,41 |
-1,57 |
1,51 |
-0,35 |
1,44 |
0,44 |
|
|
2,58 |
0,85 |
2,12 |
3,92 |
1,16 |
0,61 |
1,0 |
1,50 |
-0,88 |
0,37 |
|
|
2,09 |
-0,69 |
0,21 |
-0,19 |
0,37 |
-1,83 |
-0,27 |
0,68 |
0,75 |
-0,11 |
|
|
1,45 |
-0,04 |
1,06 |
1,19 |
1,75 |
1,36 |
-0,79 |
0,57 |
0,58 |
-0,73 |
|
|
0,54 |
2,62 |
1,48 |
1,94 |
0,79 |
-0,04 |
0,02 |
2,05 |
1,86 |
1,52 |
|
|
1,96 |
2,05 |
2,05 |
2,22 |
-0,53 |
1,09 |
-0,36 |
1,73 |
0,74 |
0,43 |
1. Оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х
Для математического ожидания выборочное среднее находим по формуле:
Для дисперсии находим исправленную дисперсию:
Дисперсию рассчитываем по формуле
2. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,95
Доверительная вероятность (1-)=0,95, тогда по таблице значений функции Лапласа находим =1,96, следовательно, доверительные интервалы будут иметь вид:
-для математического ожидания:
M1<MX<M2
М1=0,81; М2=1,03
0,81<MX<1,03
-для дисперсии:
D1<DX<D2
D1=0,79; D2=1,38
0,79<DX<1,38
3. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал [0,7, 1)
Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал [0,7, 1) = [0,58, 0,83). Так как в этот интервал попало m =51 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:
4. Доверительный интервал для (x)=0,1, соответствующий заданной доверительной вероятности (1-) = 0,9
Доверительная вероятность (1-)=0,9, тогда по таблице значений функции Лапласа находим =1,65. Для вероятности Р=0,1 доверительный интервал имеет вид:
P1=0,43; P2=0,60
5. Построение гистограммы и эмпирической функции распределения случайной величины Х
Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (700,1360)и разбиваем его на 12 равных разрядов каждый длиной в 55.
Таблица 1
|
Разряд (Хi-1,Xi) |
ni |
Частота попадания случайной величины Х в разряд (Хi-1,Xi) |
Значение гистограммы Г(х) |
|
|
(700, 755) |
1 |
0,01 |
0,00018 |
|
|
(755,810) |
2 |
0,02 |
0,00036 |
|
|
(810,865) |
3 |
0,03 |
0,00055 |
|
|
(865,920) |
14 |
0,14 |
0,00255 |
|
|
(920,975) |
19 |
0,19 |
0,00345 |
|
|
(975,1030) |
22 |
0,22 |
0,00400 |
|
|
(1030,1085) |
17 |
0,17 |
0,00309 |
|
|
(1085,1140) |
16 |
0,16 |
0,00291 |
|
|
(1140,1195) |
3 |
0,03 |
0,00055 |
|
|
(1195,1250) |
1 |
0,01 |
0,00018 |
|
|
(1250,1305) |
1 |
0,01 |
0,00018 |
|
|
(1305,1360) |
1 |
0,01 |
0,00018 |
значение гистограммы Г(x) (Таблица 1):
,
где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а - его длина. (Рис.1)
частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
;
где - число экспериментальных точек, лежащих левее х. (Рис.3)
Рис 1
6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности
f(x) 1-=0,95
F(x) 1-=0,8.
а) На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле (пункт 4.) с заменой величины соответственно на . В данном случае общее число разрядов r = 12 плюс 2 полу бесконечных разряда , r = 14. Выбираем доверительную вероятность (1-), равную 0,95 , из условия:
и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,915.
i = 1...r
плотность на i-ом разряде;
доверительные границы для плотности , которая находится по формуле:
, ; длина разряда (Таблица 2),(Рис 2).
б) Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:
, где - число экспериментальных точек, лежащих левее x.
По таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,8. Она равна =1,07. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):
(Рис.3).
Таблица 2
|
разряд |
доверительные границы для плотности распределения f(x) |
||
|
0 |
0 |
0,00148 |
|
|
0 |
0 |
0,00148 |
|
|
(700, 755) |
0,00002 |
0,00181 |
|
|
(755,810) |
0,00006 |
0,00212 |
|
|
(810,865) |
0,00012 |
0,00240 |
|
|
(865,920) |
0,00127 |
0,00510 |
|
|
(920,975) |
0,00193 |
0,00618 |
|
|
(975,1030) |
0,0235 |
0,00681 |
|
|
(1030,1085) |
0,00166 |
0,00575 |
|
|
(1085,1140) |
0,00153 |
0,00554 |
|
|
(1140,1195) |
0,00012 |
0,00240 |
|
|
(1195,1250) |
0,00002 |
0,00181 |
|
|
(1250,1305) |
0,00002 |
0,00181 |
|
|
(1305,1360) |
0,00002 |
0,00181 |
|
|
0 |
0 |
0,00148 |
|
|
0 |
0 |
0,00148 |
Рис.2
Рис.3
7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения
Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:
-для плотности распределения:
-для функции распределения:
(Рис.4),
где Ф - функция Лапласа от .
8. Используя критерий согласия 2 и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости
а) Для проверки гипотезы выберем уровень значимости б = 0,1 и используем критерий согласия . Экспериментальное значение
вычисляется по формуле:
где для нормального распределения определяется следующим образом:
Рис.4
Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле
= 12,457
Значение зависит от двух величин (б,s). Уровень значимости б = 0,1; число степеней свободы:
S = r - 1 - k
k = 2 , так как нормальное распределение, тогда
s = 14-1-2 = 11
Значит, теоретическое значение (по табл.)
Таким образом,
<
гипотеза является правдоподобной
б) Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:
Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:
Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости б = 0,1 (по таблице Колмогорова) равно (1-б = 0,9):
1,22
Таким образом, , следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие вариационного ряда, статистического распределения. Эмпирическая функция и основные характеристики математического ожидания выборочной дисперсии. Точечные и интервальные оценки распределений. Теория гипотез - аналог теории доверительных интервалов.
контрольная работа [172,9 K], добавлен 22.11.2013Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности. Оценка статистических характеристик случайного процесса.
курсовая работа [744,3 K], добавлен 07.06.2010Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012Закон распределения суточного дохода трамвайного парка, оценка доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии суточного дохода. Особенности определения математического ожидания рассматривающейся случайной величины при решении задач.
курсовая работа [69,5 K], добавлен 02.05.2011Определение математической вероятности правильного набора, если на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры. Использование классического определения вероятности. Расчет математического ожидания и дисперсии для очков, выпавших на игральных костях.
контрольная работа [90,2 K], добавлен 04.01.2011Выборки к генеральной совокупности: оценка параметра и построение доверительных интервалов. Интервальный статистический ряд. Оценивание параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Гипотеза о нормальном распределении случайной величины.
контрольная работа [391,1 K], добавлен 23.06.2012Среднее арифметическое наблюдаемых значений, служащее оценкой для математического ожидания. Состоятельность оценки, следующая из теоремы Чебышева. Условия возникновения систематической ошибки, ликвидация смещения. Точечные параметры оценки величин.
презентация [62,3 K], добавлен 01.11.2013Первичный анализ и основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез.
дипломная работа [850,9 K], добавлен 18.01.2016Методы регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. Обзор задач математической статистики. Закон распределения случайной величины. Проверка правдоподобия гипотез.
презентация [113,3 K], добавлен 01.11.2013Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Распределение случайной величины c помощью закона Пуассона. Вычисления математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия. Асимметрия распределения Пуассона, его дополнительные характеристики, точечная и интервальная оценка параметра.
презентация [710,3 K], добавлен 01.11.2013Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение математического ожидания и дисперсии параметров распределения Гаусса. Расчет функции распределения случайной величины Х, замена переменной. Значения функций Лапласа и Пуассона, их графики. Правило трех сигм, пример решения данной задачи.
презентация [131,8 K], добавлен 01.11.2013Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010
