Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный институт электронной техники

(Технический университет)

Курсовая работа

Тема: “Анализ данных в линейной регрессионной модели”

по курсу “ Теория вероятностей и математическая статистика ”

Преподаватель:Бардушкина И.В.

Студент: группа ЭКТ-23

Белоусов А.В.

Москва 2005

Содержание

1. Теоретическая часть

1.1 Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора

1.2 Линейная регрессия

1.3 Однофакторный дисперсионный анализ

2. Практическая часть

1. Теоретическая часть

линейный регрессия интервал дисперсионный

1.1 Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора

Пусть ,- выборка объема из наблюдений случайного двумерного вектора. Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости с выбранной декартовой системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания.

Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения , с вероятностями, равными . Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного случайного вектора дискретного типа.

Выборочная линейная регрессия на по выборке , определяется уравнением

Выборочные средние находятся по формулам

.

Вычислим суммы квадратов отклонений от среднего и произведений отклонений от средних:



Отсюда

Коэффициенты и называются выборочными коэффициентами регрессии. Они вычисляются по формулам

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия на :

коэффициенты и которой находятся по формулам

Для контроля правильности расчетов используют соотношение



Прямые регрессии пересекутся в точке .

1.2 Линейная регрессия

В регрессионном анализе изучается связь между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Пусть переменная зависит от одной переменной . При этом предполагается, что переменная принимает фиксированные значения, а зависимая переменная имеет случайный разброс из-за ошибок измерения, влияния неучтенных факторов и т.д. Каждому значению переменной соответствует некоторое вероятностное распределение случайной величины . Предположим, что случайная величина в среднем линейно зависит от значений переменной . Это означает, что условное математическое ожидание случайной величины при заданном значении переменной имеет вид

Функция переменной, определяемая правой частью формулы, называется линейной регрессией на , а параметры и - параметрами линейной регрессии. На практике параметры линейной регрессии неизвестны и их оценки определяют по результатам наблюдений переменных и .

Пусть проведено независимых наблюдений случайной величины при значениях переменной при этом измерения величины дали следующие результаты: Так как эти значения имеют «разброс» относительно регрессии, то связь между переменными и можно записать в виде линейной регрессионной модели:



где - случайная ошибка наблюдений, причем Значение дисперсии ошибок наблюдений неизвестно, и оценка ее определяется по результатам наблюдений.

Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по результатам наблюдений ,

-получить наилучшие точечные и интервальные оценки неизвестных параметров и модели;

-проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

-проверить достаточно ли хорошо модель согласуется с результатами наблюдений.

Разности между наблюдаемыми значениями переменной при ,и расчетными значениями называются остатками и обозначаются :

Качество аппроксимации результатов наблюдений , выборочной регрессии определяется величиной остаточной дисперсии, вычисляемой по формуле:

Величина , определяемая выражением

называется остаточной суммой квадратов.

В практических вычислениях остаточную сумму квадратов получают из тождества

которое записывается в виде

,

где

Величина называется суммой квадратов, обусловленной регрессией.

Полезной характеристикой линейной регрессии является коэффициент детерминации ,

вычисляемый по формуле

Коэффициент детерминации равен той доле разброса результатов наблюдений , относительно горизонтальной прямой , которая объясняется выборочной регрессией.

В случае линейной регрессии на между коэффициентом и выборочным коэффициентом корреляции имеется следующее соотношение:

.

1.3 Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть результаты наблюдений составляют независимых выборок, полученных нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние и равные дисперсии . Проверяется гипотеза о равенстве средних На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае нас интересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку.

Пусть обозначает -й элемент -й выборки, -выборочное среднее -й выборки, т.е.

;

- общее выборочное среднее, т.е.

где -общее число наблюдений,

Общая сумма квадратов отклонений от общего среднего может быть представлена так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

где -общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего , - сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних.

Данное тождество легко проверяется, если учесть, что

и

в силу определения и

Если верна гипотеза : , то статистики и независимы и имеют распределение с и степенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками дисперсии . Значительное превышение величины над значением величины можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с и степенями свободы, т.е.

Эта статистика используется для проверки гипотезы : . Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение статистики меньше квантили . В этом случае и являются несмещенными оценками параметров и . Если то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди средних имеется хотя бы два не равных друг другу.

2. Практическая часть

Выборочная линейная регрессия на по выборке , определяется уравнением

.

Тогда

.

,

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия на :

.

Найдем коэффициент корреляции:

Проверка:

Прямые

пересекутся в точке (4,1744; 2,765).

Вычислим остатки (см. таблицу),

где - расчетные значения.

Найдем остаточную сумму квадратов

.

Остаточная дисперсия

Сумма квадратов, обусловленная регрессией

Коэффициент детерминации

Коэффициент корреляции

Границы доверительных интервалов для параметров линейной регрессии имеют вид

Границы доверительного интервала для среднего значения , соответствующего заданному значению , определяются формулой

Доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений имеет вид

,

.

Используя однофакторный дисперсионный анализ, найти и дл проверки гипотезы

по выборке (уровень значимости ).

Сумма всех элементов (компонент) выборки

Найдем

Далее

Тогда

Выборочное значение статистики

.

Найдем по таблице квантиль . Так как , то гипотеза о равенстве средних возможно верна.

Вводимые данные	ДXІ	ДYІ	Произведение величин	Остатки	Остаточная сумма квадратов
X	Y	(X-ср(y))І	(Y-ср(y))І	XІ	YІ	XY	(X+Y)І	ei	Qe
5.72	4.04	2.3889	1.6256	32.7184	16.3216	23.1088	95.2576	0.1472	0.0217
2.27	1.25	3.6267	2.2952	5.1529	1.5625	2.8375	12.3904	-0.1254	0.0157
7.03	5.27	8.1545	6.2750	49.4209	27.7729	37.0481	151.2900	0.4213	0.1775
4.37	5.06	0.0383	5.2670	19.0969	25.6036	22.1122	88.9249	2.1523	4.6323
3.67	2.00	0.2544	0.5852	13.4689	4.0000	7.3400	32.1489	-0.3969	0.1576
3.7	2.8	0.2251	0.0012	13.6900	7.8400	10.3600	42.2500	0.3812	0.1453
0.25	0.36	15.4009	5.7840	0.0625	0.1296	0.0900	0.3721	0.4586	0.2103
1.82	1.14	5.5432	2.6406	3.3124	1.2996	2.0748	8.7616	0.0930	0.0086
6.55	5.6	5.6435	8.0372	42.9025	31.3600	36.6800	147.6225	1.1016	1.2135
3.71	1.93	0.2157	0.6972	13.7641	3.7249	7.1603	31.8096	-0.4961	0.2462
5.15	4.54	0.9518	3.1506	26.5225	20.6116	23.3810	93.8961	1.0631	1.1302
3.34	0.97	0.6962	3.2220	11.1556	0.9409	3.2398	18.5761	-1.1862	1.4070
4.56	0.35	0.1487	5.8322	20.7936	0.1225	1.5960	24.1081	-2.6964	7.2704
2.88	1.17	1.6755	2.5440	8.2944	1.3689	3.3696	16.4025	-0.6505	0.4232
3.83	2.53	0.1186	0.0552	14.6689	6.4009	9.6899	40.4496	0.0163	0.0003
6.31	2.64	4.5608	0.0156	39.8161	6.9696	16.6584	80.1025	-1.6833	2.8335
3.84	3.34	0.1118	0.3306	14.7456	11.1556	12.8256	51.5524	0.8190	0.6708
1.78	1.81	5.7332	0.9120	3.1684	3.2761	3.2218	12.8881	0.7921	0.6275
4.08	3.41	0.0089	0.4160	16.6464	11.6281	13.9128	56.1001	0.7139	0.5096
4.89	4.67	0.5121	3.6290	23.9121	21.8089	22.8363	91.3936	1.3828	1.9122
4.2	0.1	0.0007	7.1022	17.6400	0.0100	0.4200	18.4900	-2.6837	7.2021
2.59	1.96	2.5103	0.6480	6.7081	3.8416	5.0764	20.7025	0.3511	0.1233
5.68	3.51	2.2668	0.5550	32.2624	12.3201	19.9368	84.4561	-0.3536	0.1250
2.86	0.76	1.7276	4.0200	8.1796	0.5776	2.1736	13.1044	-1.0459	1.0939
3.79	2.12	0.1478	0.4160	14.3641	4.4944	8.0348	34.9281	-0.3645	0.1329
4.28	4.92	0.0112	4.6440	18.3184	24.2064	21.0576	84.6400	2.0779	4.3179
5.2	1.93	1.0519	0.6972	27.0400	3.7249	10.0360	50.8369	-1.5834	2.5070
4.01	3.82	0.0270	1.1130	16.0801	14.5924	15.3182	61.3089	1.1750	1.3805
5.59	5.3	2.0039	6.4262	31.2481	28.0900	29.6270	118.5921	1.5021	2.2562
4.22	0.4	0.0021	5.5932	17.8084	0.1600	1.6880	21.3444	-2.3983	5.7517
5.62	4.16	2.0898	1.9460	31.5844	17.3056	23.3792	95.6484	0.3402	0.1157
5.7	3.55	2.3275	0.6162	32.4900	12.6025	20.2350	85.5625	-0.3282	0.1077
4.5	3.57	0.1060	0.6480	20.2500	12.7449	16.0650	65.1249	0.5674	0.3220
0.2	2.69	15.7959	0.0056	0.0400	7.2361	0.5380	8.3521	2.8250	7.9809
5.12	3.73	0.8942	0.9312	26.2144	13.9129	19.0976	78.3225	0.2750	0.0756
3.71	3.67	0.2157	0.8190	13.7641	13.4689	13.6157	54.4644	1.2439	1.5472
5.33	4.01	1.3354	1.5500	28.4089	16.0801	21.3733	87.2356	0.4018	0.1614
5.98	4.16	3.2602	1.9460	35.7604	17.3056	24.8768	102.8196	0.0775	0.0060
3.47	1.73	0.4962	1.0712	12.0409	2.9929	6.0031	27.0400	-0.5210	0.2715
5.01	5.87	0.6982	9.6410	25.1001	34.4569	29.4087	118.3744	2.4953	6.2264
4.42	2.15	0.0603	0.3782	19.5364	4.6225	9.5030	43.1649	-0.7942	0.6308
2.55	0.24	2.6387	6.3756	6.5025	0.0576	0.6120	7.7841	-1.3397	1.7948
5.25	2.87	1.1569	0.0110	27.5625	8.2369	15.0675	65.9344	-0.6798	0.4622
5.36	1.87	1.4056	0.8010	28.7296	3.4969	10.0232	52.2729	-1.7601	3.0980
4.82	0.12	0.4168	6.9960	23.2324	0.0144	0.5784	24.4036	-3.1161	9.7100
4.47	2.46	0.0874	0.0930	19.9809	6.0516	10.9962	48.0249	-0.5207	0.2711
3.82	3.07	0.1256	0.0930	14.5924	9.4249	11.7274	47.4721	0.5636	0.3176
6.99	7.76	7.9276	24.9500	48.8601	60.2176	54.2424	217.5625	2.9405	8.6466
1.51	0.71	7.0990	4.2230	2.2801	0.5041	1.0721	4.9284	-0.1108	0.0123
2.72	0.16	2.1153	6.7860	7.3984	0.0256	0.4352	8.2944	-1.5438	2.3832
?X	?Y	?ДX	?ДY	?XІ	?YІ	?XY	?(X+Y)І	?ei	?eiІ
208.72	138.25	116.01	154.41	987.29	536.67	661.76	2847.49	0.0000	92.6447

Размещено на Allbest.ru

...