Квадратные корни
Рассмотрение метода извлечения квадратного корня подробно, который описан древнегреческим ученым Героном Александрийским. Определение сущности иррациональных чисел. Ознакомление со свойствами квадратных корней. Анализ способов упрощения выражений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2017 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа: «Квадратные корни»
Содержание
1. О квадратных корнях
2. Свойства квадратных корней
Задания для исследования
Литература
1. О квадратных корнях
С давних пор наряду с отысканием площади квадрата по известной длине стороны приходилось решать и обратную задачу: «Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась ?» Такую задачу умели решать еще 4 тыс. лет тому назад вавилонские ученые. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел.
Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения квадратного корня, состоял в следующем. Пусть - некоторое число (имеется в виду натуральное число ), не являющееся полным квадратом. Представляя в виде суммы, где достаточно мало по сравнению с получали
Например, если
Проверка показывает, что 10.6
Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским (в. н.э.).
В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом R(корень), он же (редис) - корнеплод, а затем сокращенно буквой R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня).
Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень.
Позднее вместо точки стали ставить ромбик. Впоследствии V и над выражением , из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и « Всеобщей арифметике» Ньютона.
Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Роля (1652-1719).
Я заинтересовался квадратными корнями в 8 классе, когда мы проходили эту тему.
Что же это такое «Квадратные корни?»
Задача о нахождении стороны квадрата.
Если известна сторона квадрата, то можно найти его площадь. В то же время приходится решать и обратную задачу - по известной площади квадрата находить его сторону.
Например, если площадь квадрата 100 см , его сторона равна 10 см. 10 - это число, квадрат которого равен заданному значению площади. Но таких чисел два: это 10 и - 10.
Т. к. сторона квадрата может быть только положительным числом, его сторона равна 10.
· Если сторона квадрата равна , то его площадь S можно вычислить по формуле
S= Чтобы вычислить сторону квадрата в математике вводится знак.
- это неотрицательное число, квадрат которого равен S.
Итак, сторона квадрата а, площадь которого равна S, находится по формуле: а =.
Пример: S = 64. Тогда а =. Так как 64=8 , то =8.
Пусть площадь квадрата равна 2-м, тогда сторона квадрата а =, а =. Это число нельзя представить ни в виде квадрата целого, ни в виде квадрата дробного числа. Чисел, обладающих таким же свойством, очень много даже среди натуральных чисел. Такие числа называют иррациональными.
Рассмотрю вопрос. Сколько квадратных корней существует из произвольно взятого числа а? Построю в одной системе координат параболу - множество точек, координаты которых связаны зависимостью . В этой же системе координат проведу прямую , где, а некоторое число.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
По рисунку 1 видно, что при а >0 прямая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси у.
При а = 0 прямая имеет с параболой одну общую точку, оно касается параболы в начале координат.
При а < 0 прямая и парабола не имеют общих точек.
Итак , при > 0 существует два квадратных корня из числа ; они равны по модулю и имеют разные знаки: и
При = 0 имеется единственный квадратный корень, равный нулю пишут ;
При < 0 квадратных корней из числа не существует.
Неотрицательный квадратный корень из числа называют арифметическим квадратным корнем из числа а.
Если а >0 ,то уравнение имеет два корня : и -
Если =0 , то уравнение имеет единственный корень - число 0;
Если < 0, то уравнение
корней не имеет.
Примеры:
Решить уравнение 1.
2.
;
2. Свойства квадратных корней
Я изучил свойства квадратных корней, позволяющих во многих случаях значительно упрощать выражения, содержащие корни. По определению арифметического квадратного корня для любого неотрицательного числа а,
1.Свойство.
Следовательно, чтобы убедиться в том что равенство, верно, нужно проверить выполнение двух условий:
у
у
Доказательство:
- первое условие выполняется при любом а;
- второе условие выполняется при любом а.
Оба условия выполняются при любом а, значит, при любом, а равенство
верно, что и требовалось доказать.
Примеры:
2.Свойство.
Доказательство:
Т.к. допустимыми значениями являются только неотрицательные значения переменных а и в значит при этих значениях и,следовательно;
Значит
Оба условия выполняются при любых допустимых значениях а и в, значит равенство .
Если подкоренное выражение содержит несколько неотрицательных множителей, то и в этом случае корень из произведения равен произведению корней из множителей.
Примеры:
3.Свойство.
Если числитель дроби неотрицателен, а знаменатель положителен, то корень из дроби равен частному корней из ее числителя и знаменателя.
Примеры:
=7,2
Задания для закрепления материала:
1.Вынести множитель из-под знака корня в выражении:
а) а-любое число и
б) и любое число;
в) и -любые числа и
а)
б)
в) ;
2. Внести множитель под знак корня:
а)
б)
в) любое число.
а)
б) 3
в) -4
3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
.
Умножу сначала числитель и знаменатель дроби на Получу:
Умножу теперь числитель и знаменатель полученной дроби на
Упражнения для самостоятельного решения:
Задания с выбором ответа.
1. Упростите выражение
А. Б. 2 В. 2 Г. 8
2.Выберите выражение, равное
А. Б. В. 3-
Задания для исследования
Задание 1
Упростить выражение: 21-12.
Попытаюсь записать двойной радикал в более простом виде, например, в том же виде , что и подкоренное выражение, т.е. в виде Х +У,подберу такие числа Х и У, чтобы оно было верным.
Это равенство перепишу в виде
21-12=
21-12=Х
21-12= + 2Х У
Отсюда видно, что достаточно подобрать такие целые числа Х и У, чтобы выполнялись равенства
Х=21; 2ХУ= -12
Методом переборов найду возможные пары, удовлетворяющие этим двум равенствам.
Результаты оформлю в виде таблицы:
|
Х |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
|
|
3У |
21 |
20 |
17 |
12 |
5 |
|
|
У |
7 |
--- |
--- |
4 |
||
|
Х |
0 |
1 |
2 |
|||
|
У |
--- |
--- |
--- |
--- |
||
|
3ХУ |
--- |
--- |
--- |
12 |
--- |
Таким образом, есть только одна возможность: Х=9, У=4. Учитывая второе равенство
2ХУ= -12, ХУ= 6,
Делаю вывод, что равно либо 3-2, либо 2- 3.
Однако 3 меньше 2 , значит 3 - 2 меньше нуля, а 2-3 больше нуля , и поэтому=2 - 3 .
Но не всякое выражение вида можно представить в виде Х +У ,где Х и У целые числа.
Рассмотрю выражение , попытаюсь представить его в виде где Х и У- натуральные числа:
=,
5+2=Х + 2 +У.
Значит Х + У = 5, 2ХУ =2, ХУ=6
Данные занесу в таблицу
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
У |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
ХУ |
--- |
--- |
6 |
6 |
--- |
Значит .
Ответ у задачи один, т.к.+=
Проверка: +2
Вывод: Чтобы упростить выражение вида необходимо подкоренное выражение представить в виде квадрата двучлена и используя свойство упростить данное выражение.
Пример:
Упростить выражение:
1.
2.
Задание 2
Упростить выражение:
Проблема: Как зависит результат от слагаемых .
1 проба.
1+
2 проба
3 проба.
=
4 проба.
++
Проведя пробы я выдвигаю гипотезу, что данная сумма равна квадратному корню из последнего слагаемого, стоящего в знаменателе без единицы. иррациональный число александрийский
Проверка гипотезы:
Гипотеза получила подтверждение.
Проверка гипотезы еще на одном шаге.
+ +
-1++
Следовательно, согласно гипотезе значение суммы
Возвращаясь к проблемной задаче, получаю
Проверю справедливость гипотезы на шаге ==.
Гипотез получила подтверждение.
Задание 3
Заметить закономерность и записать следующие три числа последовательности:
2
Проверить равенства :
; ;
Пробные значения оформлю в виде таблицы.
|
Проба |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
Целая часть |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Числитель |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Знаменатель |
3 |
8 |
15 |
24 |
35 |
48 |
63 |
80 |
|
|
Дробь |
В результате исследования я заметил закономерность:
Если представить данную дробь в виде неправильной дроби, то числитель этой дроби равен кубу числителя первоначальной дроби, а знаменатель неправильной дроби-разности, полученной из квадрата числителя первоначальной дроби и единицы.
Проверю данное предположение:
Числитель 3 ,знаменатель 8 = 3-1
Числитель 4 , знаменатель 15=4-1…..
Числитель 9 . знаменатель 80=9-1….
Неправильные дроби:
Числитель 8 =2 27 = 3 ; 64 = 4; 125 = 5 ; 216 =6; 343 =7; 512 =8; 729=9
Проверю гипотезу ,сделав еще пробы:.
10;
12;
Запишу данные выражение в общем виде:
Найду значение корня из этого выражения
Проверю равенства согласно гипотезе:
;
=
…
Мне очень понравилось заниматься исследовательской работой т. к. в процессе работы узнал для себя много полезного по данной теме: «Квадратные корни»
В результате исследования я решил трудные задачи, которые меня заинтересовали давно, но решить я их раньше не мог. А теперь я их решил.
Литература
1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нежков, С.Б. Суворова под ред. Теляковского «Алгебра 8 кл.», учебник. М. Просвещение. 2005 год.
2. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра», дополнительные главы к школьному учебнику 8-го класса. М. Просвещение. 1998 год.
3. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунемович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева «Математика: алгебра. Функции. Анализ данных», учебник. М. Просвещение. 2005 год.
4. К.С.Муравин, Г.К.Муравин «Алгебра» учебник 7-9 кл. М. Просвещение. 1994 год.
5. А.Г. Мордкович. «Алгебра 8-го». Учебник для классов с углубленным изучением математики. М. Мнемозина. 2004 г.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Извлечение квадратного корня - операция нахождения квадратного корня из неотрицательного числа. Сравнительный анализ способов приближенного извлечения квадратных корней. Характеристика арифметического способа. Вавилонский способ (первый метод Герона).
реферат [48,7 K], добавлен 15.05.2012Понятие и математическая сущность квадратного корня, его назначение и методика вычисления. Теоремы, отображающие свойства квадратного коря, их обоснование и доказательство. Применение характеристик квадратных корней в решении геометрических задач.
реферат [132,1 K], добавлен 05.01.2010История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010Система линейных алгебраических уравнений. Основные формулы Крамера. Точные, приближенные методы решения линейных систем. Алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5. Влияние мерности, обусловленности матрицы.
контрольная работа [76,6 K], добавлен 27.04.2011Историческая справка об иррациональных уравнениях. Решение иррациональных уравнений. Преобразование иррациональных выражений. Уравнения с радикалом третьей степени. Введение нового неизвестного.
реферат [81,3 K], добавлен 09.04.2005Определение количества способов, которыми можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек. Построение таблицы истинности без предварительного упрощения функции по данному логическому выражению. Упрощение логических выражений с помощью карты Карно.
контрольная работа [81,1 K], добавлен 25.08.2013Доказательства существования иррациональных чисел. Арифметический подход Евклида к множеству иррациональных чисел. Рассуждения Дедекинда о непрерывности области вещественных чисел, неявном понятии точной верхней грани. Анализ бесконечно малых величин.
реферат [1,9 M], добавлен 08.05.2012Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Метод Гаусса, LU-разложение. Прогонка для решения линейных систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов. Метод квадратного корня для решения систем: краткая характеристика, теоретическая основа, реализация, тестирование и листинг программы.
курсовая работа [340,9 K], добавлен 15.01.2013Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Изучение процесса появления действительных чисел, которые стали основой арифметики, а также способствовали возникновению рациональных и иррациональных чисел. Арифметика в трудах мыслителей Древней Греции. И. Ньютон и определение действительного числа.
реферат [16,4 K], добавлен 15.10.2013История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.
реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013Основные понятия и определения кубических уравнений, способы их решения. Формула Кардано и тригонометрическая формула Виета, сущность метода перебора. Применение формулы сокращенного умножения разности кубов. Определение корня квадратного трехчлена.
курсовая работа [478,4 K], добавлен 21.10.2013Краткое математическое описание циклических кодов с точки зрения алгебры конечных полей, которого вполне достаточно для решения задачи нахождения порождающего полинома кода, используя корни. Полиномиальное представление двоичных чисел. Определение поля.
контрольная работа [690,0 K], добавлен 01.01.2011Ознакомление с историей появления метода золотого сечения. Рассмотрение основных понятий и алгоритма выполнения расчетов. Изучение метода чисел Фибоначчи и его особенностей. Описание примеров реализации метода золотого сечения в программировании.
курсовая работа [416,0 K], добавлен 09.08.2015Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011
