Решение нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Решение нелинейного уравнения методом хорд

Постановка задачи: Найти корень нелинейного уравнения методом хорд с точностью .

Краткая теория: Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то , , ;

если на , то , ,

Приближенное решение и погрешность приближения : , Первый способ вычисления погрешности: ,.

Другой способ: , .

Блок-схемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Текст программы

нелинейный уравнение хорда касательная

Program MetodHord;

Const Eps=0.0001; h=0.1;

Var alfa,beta,X,dX, x1,x2,y1,y2:Real; k:integer;

Function F(xf:Real):Real;

Begin

F:=Sqr(xf)*xf-1.2*xf+1;

End;

Function d2F(x1,x2:Real):Real;

Function ddF(xf:Real):Real;

Begin

ddF:=6*xf

End;

Var S:Real;

Begin

S:=0;

While x1<=x2 do

Begin

S:=S+ddF(x1); x1:=x1+h/2;

End;

d2F:=S;

End;

Function XA(a,xn:Real):Real;

Begin

XA:=Xn-(F(Xn)/( F(a)-F(Xn) ))*(a-Xn)

End;

Function XB(b,Xn:Real):Real;

Begin

XB:=Xn-(F(Xn)/(F(b)-F(Xn)))*(b-Xn)

End;

Procedure MH(a,b:Real; Var Xn,dX1:Real;var k:integer);

Var y,Xn1:Real;

Begin

If F(b)*d2F(a,b)>0

Then

Begin

Xn:=a; y:=F(Xn);

Repeat

Xn1:=Xb(b,xn); y:=F(Xn1); Xn:=Xn1;inc(k);

Until Abs(Xn-Xn1)<=Eps;

dX1:=Abs(Xn-Xn1);

End;

If F(a)*d2F(a,b)>0

Then

Begin

Xn:=b; y:=F(Xn);

Repeat

Xn1:=Xa(a,xn); y:=F(Xn1); Xn:=Xn1; inc(k);

Until Abs(Xn-Xn1)<=Eps ;

dX1:=Abs(Xn-Xn1);

End

End;

Begin {отделение корней}

Write(`Введите отрезок : '); ReadLn(Alfa,Beta);

x1:=alfa;

x2:=x1+h;

y1:=F(x1);

While x2<=beta do

Begin

y2:=F(x2);

If y1*y2<=0

Then

Begin

WriteLn(`Корень определен на промежутке ( ',x1:4:1,' ; ',x2:4:1,' )');

MH(x1,x2,X,dX,k);

WriteLn('X = ',X:10:8,' +- ',dX:10:8); WriteLn(k);

End;

If y1*y2=0

Then

Begin

x2:=x2+h;

y2:=F(x2);

End;

x1:=x2;

x2:=x1+h;

y1:=y2;

End;

If X=0 Then WriteLn(`На этом промежутке нет корней.');

End.

Тестовый пример

Найти корень нелинейного уравнения F(x) ? x2-4 = 0

x1=-2 & x2=2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол

Проверка и вывод

Решение задачи:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол

Проверка и вывод

График функции пересекает ось абсциссы на [-2;-1]. Уточним его методом хорд. Для этого определим знаки функции и второй её производной на этом отрезке [-2;-1].

; ,

для любого x из [-2;-1].

Поскольку , то применяем формулу

где - неподвижная точка, . Получим следующую таблицу.



Приблизительная схема применения метода:

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка [-2;-1], поэтому для любого .

Тогда используя оценку погрешности

для любого .

Получим ,

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ:.

2. Метод касательных (Ньютона)

Тема: Решение нелинейного уравнения методом касательных (Ньютона).

Постановка задачи: Найти корень нелинейного уравнения методом касательных с точностью .

Краткая теория: Дано нелинейное уравнение F(x) =0, где функция у = F(x) определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. F(a) · F(b) < 0.

Приближенное решение о ; и погрешность приближения До; находятся по следующей схеме: если F(b) · F"(x) > 0 на [a,b], то ;

если F(a) · F"(x) > 0 на [a,b], то ;

, .

Приближенное решение о, и погрешность приближения До:

, .

Блок-схемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Текст программы

Program Metod_Kasateln;

Const Eps=0.0001; H=0.25;

Var alfa,beta,X,dX, x1,x2,y1,y2:Real; k:integer;

Function F(xf:Real):Real;

Begin

F:=Cos(xf-1)-Sqr(xf)/3

End;

Function dF(Xf:Real):Real;

Begin

dF:=-Sin(xf-1)-2/3*xf

End;

Function d2F(x1,x2:Real):Real;

Function ddF(xf:Real):Real;

Begin

ddF:=-Cos(xf-1)-2/3

End;

Var S:Real;

Begin

S:=0;

While x1<=x2 do

Begin

S:=S+ddF(x1);

x1:=x1+H/2;

End;

d2F:=S;

End;

Procedure M_Kas(a,b:Real; Var Xn,dX1:Real;var k:integer);

Var Xn1:Real;

Begin

If F(a)*d2F(a,b)>0

Then Xn:=a

Else Xn:=b;

dX1:=1;

While Abs(dx1)>EPS do

Begin

Xn1:=Xn;

Xn:=Xn1-F(Xn1)/dF(Xn1);

dX1:=Xn1-Xn; inc(k);

End;

End;

Begin {Отделение корней}

Write('Введите промежуток : '); ReadLn(Alfa,Beta);

x1:=alfa;

x2:=x1+H;

y1:=F(x1);

While x2<=beta do

Begin

y2:=F(x2);

If y1*y2<=0

Then

Begin

WriteLn('Корень определен на промежутке ( ',x1:0:2,' ; ',x2:0:2,' )');

M_Kas(x1,x2,X,dX,k);

WriteLn('X = ',X:10:8,' +- ',dX:10:8); WriteLn(`Количество итерации=',k);

End;

If y1*y2=0

Then

Begin

x2:=x2+H; y2:=F(x2);

End;

x1:=x2; x2:=x1+H; y1:=y2;

End;

If X=0 Then WriteLn('На этом промежутке корней НЕ СУЩЕСТВУЕТ.');

End.

Тестовый пример

Найти корень нелинейного уравнения 0

x1=1.00.

Второй и третий корень мнимый.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол

Проверка и вывод

Решение задачи

0.

График уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол

Отделим корни уравнения графически (и программно). Для этого построим график функции и и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: .

Проверка и вывод

В качестве примера рассмотрим первый и второй корень.

Уточним корни методом касательных:

1). Для этого определим знаки функции и второй её производной на этом отрезке [-2,25;-1,75].

-9,000911882<0 ,

0,754516003>0

Тогда

Применяем формулу .



Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка [-2,25;-1,75], поэтому для любого .

Тогда используя оценку погрешности

для любого .

Получим ,

Следовательно, приближенное значение первого корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

. Округлим до .

Получим , с погрешностью округления . .

Найдем число верных знаков для . . . . . Следовательно .

Ответ:

2). Для этого определим знаки функции и второй её производной на этом отрезке .

0,239664717>0

-0,11375516<0

.

Тогда

Применяем формулу .

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для любого .

Тогда используя оценку погрешности

для любого .

Получим ,

Следовательно, приближенное значение второго корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

. Округлим до .

Получим , с погрешностью округления . .

Найдем число верных знаков для . . Следовательно .

Ответ:.

3. Комбинированный метод хорд и касательных

Тема: Решение нелинейного уравнения методом хорд и касательных.

Постановка задачи: Найти корень нелинейного уравнения методом хорд с точностью .

Краткая теория:

Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то ,

, , ;

если на , то ,,

,,.

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

Блок-схемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Текст программы

Program Metod_KiH;

Const Eps=0.0001;h=0.25;

Var alfa,beta,X,dX, x1,x2,y1,y2:Real;

Function F(xf:Real):Real;

Begin

F:=xf*xf*xf-5*xf*xf+xf-3.2;

End;

Function dF(xf:Real):Real;

Begin

dF:=3*xf*xf-10*xf+1;

End;

Function ddF(xf:Real):Real;

Begin

ddF:=6*xf-10;

End;

Procedure MC(a,b:Real;Var x1,dx1:Real);

Var xn1, xn2,xp1,xp2:Real;

Begin

If F(a)*ddF(a)>0

Then

Begin

xn1:=b; xn2:=a;

End

Else

Begin

xn1:=a; xn2:=b;

End;

dx1:=1;

While Abs(dx1)>EPS do

Begin

xp1:=xn1; xp2:=xn2; xn1:=xp1-(F(xp1)/(F(xp2)-F(xp1)))*(xp2-xp1);

xn2:=xn2-F(xp2)/dF(xp2); dx1:=Abs((xn2-xn1)/2);

End;

x1:=(xn1+xn2)/2;

End;

Begin {Отделение корней}

Write('Введите промежуток : '); ReadLn(Alfa,Beta);

x1:=alfa; x2:=x1+h;

y1:=F(x1);

While x2<=beta do

Begin

y2:=F(x2);

If y1*y2<=0

Then

Begin

WriteLn('Корень определен на промежутке ( ',x1:0:2,' ; ',x2:0:2,' )');

MC(x1,x2,X,dX);

WriteLn('X = ',X:10:8,' +- ',dX:10:8);

End;

If y1*y2=0

Then

Begin

x2:=x2+h; y2:=F(x2);

End;

x1:=x2; x2:=x1+h; y1:=y2;

End;

If X=0 Then WriteLn('На этом промежутке корней НЕ СУЩЕСТВУЕТ.');

End.

Тестовый пример:

Найти корень нелинейного уравнения 0

x1=2.00 & x2=-1+i& x3=-1-i.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол

Проверка и вывод

Решение задачи:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Протокол



График уравнения

Отделим корни уравнения графически. Для этого построим график функции и и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: .

Уточним корни методом касательных:

1). Для этого определим знаки функции и второй её производной на этом отрезке

-8,825<0 ,

8,940625>0

. Тогда

Применяем формулы

, , ,

Процесс продолжаем до выполнения условия |, тогда за приближенное значение корня можно взять значение

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для любого .

Тогда используя оценку погрешности

для любого .

Получим ,

Следовательно, приближенное значение корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

. Округлим до .

Получим , с погрешностью округления . .

Найдем число верных знаков для . .

Следовательно, .

Ответ:.

Размещено на Allbest.ru

...