Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами

В.С. Елсуков, В.И Лачин, С.М. Липкин

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск

Аннотация: Предложен алгоритм синтеза законов управления ограниченно неопределенными нелинейными объектами n-го порядка с математической моделью в нормальной форме и произвольным относительным порядком. Причем объекты управления могут обладать неустойчивым состоянием равновесия, а их матрица выхода может содержать правые собственные значения. Предложенный алгоритм синтеза основан на применении комбинированного принципа управления по производной n-й переменной состояния объекта управления. При этом ее требуемый закон изменения определяется из желаемого уравнения движения соответствующей системы автоматического управления с помощью оценок переменных состояния ее объекта.

Ключевые слова: объект управления, неопределенность, нелинейность, закон управления, синтез.

Для управления линейными стационарными неминимально-фазовыми объектами в работах [1, 2] приведены алгебраические методы синтеза систем автоматического управления. В [3] предложен алгоритм робастного управления линейным неминимально-фазовым объектом с неопределенными в ограниченном диапазоне параметрами. Причем вектор состояния объекта управления должен быть доступен измерению. В работах [4-6] рассмотрены задачи адаптивного управления неминимально-фазовыми линейными и нелинейными объектами. Однако существующие методы адаптивного и робастного управления достаточно сложны как при синтезе алгоритмов управления указанными объектами, так и при их технической реализации [7-10].

В работе [11] предложен алгоритм аналитического синтеза систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком, но с левыми собственными значениями матрицы выхода. А в работе [12] - для аналогичных объектов, но уже с правыми собственными значениями матрицы выхода.

В настоящей статье предлагается достаточно простой алгоритм синтеза законов управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собственными значениями матрицы выхода и неустойчивым состоянием равновесия.

Постановка задачи

Рассматриваются объекты управления (ОУ), которые описываются дифференциальными уравнениями в нормальной форме:

(1)

где - ограниченно неопределенная нелинейная функция, причем скорость ее изменения тоже ограничена, т.е.

; ; (2)

x - вектор состояния, x=[x1,…, xn]T; u - управляющее воздействие; y - выходная величина; С - матрица выхода, C= [1, c1,…, cl], причем n > l ? 1 и некоторые коэффициенты матрицы C могут быть меньше нуля; b - постоянный коэффициент.

Необходимо найти такой закон управления , чтобы движение соответствующей системы автоматического управления (САУ) с объектом (1) удовлетворяло желаемому уравнению

которое эквивалентно следующему

, (3)

где g -сигнал задания, - постоянные коэффициенты, которые подлежат определению из условий [12-13]:

; (4)

, (5)

где A(p) - характеристический полином синтезируемой линеаризованной системы.

Алгоритм решения

Заметим, что желаемое уравнение движения САУ (3) определяет требуемый закон изменения производной n-й переменной состояния:

, (6)

Если подставить выражение для производной в уравнение ОУ (1) и учесть ограничения (2), то можно сформировать искомый закон управления:

, (7)

математический управление неопределенный нелинейный

где uk - компенсирующая составляющая управления, которая служит для компенсации функции и которую можно сформировать с помощью дифференциальной компенсирующей связи

(8)

где - оценка производной n-й переменной состояния; м - «малая» постоянная времени инерционного фильтра, который необходим для согласования по фазе сравниваемых сигналов.

Дифференциальная компенсирующая связь с сигналом (8) преобразует ОУ так, что он становится эквивалентным последовательному соединению n интеграторов и форсирующего звена с передаточной функцией . Для синтеза САУ с таким ОУ можно предложить следующий алгоритм.

1. Полагая, что ОУ уже преобразован подключением к нему дифференциальной компенсирующей связи, записать уравнение наблюдателя его переменных состояния

, (9)

где А - матрица преобразованного ОУ; B = [0, 0, …, b]T; K - искомая матрица постоянных коэффициентов.

2. Определить компоненты матрицы K по желаемому расположению корней характеристического полинома наблюдателя , приравняв его, например, полиному биномиальной формы .

3. На основании выражения (6) для производной и полученных с помощью наблюдателя оценок переменных состояния сформировать требуемый закон изменения производной n-й переменной состояния:

. (10)

4. Найти оценку производной n-й переменной состояния с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается к выходу объекта управления и соответствующим выходам наблюдателя переменных состояния:

. (11)

5. На основании уравнений (1), (7)-(11) найти характеристический полином синтезированной, алгоритмически линеаризованной системы

. (12)

6. С помощью полинома (12) и дополнительных условий (4) и (5) найти значения неизвестных до сих пор параметров [11-13]:

Пример синтеза. Рассмотрим синтез закона управления для нелинейного объекта с неустойчивым состоянием равновесия и правым собственным значением матрицы выхода, математическая модель которого имеет вид:

(13)

Необходимо найти такой закон управления , чтобы движение соответствующей САУ с объектом (13) и сигналом задания удовлетворяло желаемому уравнению:

, (14)

где g - сигнал задания, коэффициенты ф1 и ф2 подлежат определению из условий (4) и (5).

Согласно предложенному алгоритму на основании уравнения (14) формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния

(15)

искомый закон управления в общем виде

, (16)

и компенсирующую составляющую управления

 (17)

где - оценка производной второй переменной состояния, причем постоянную времени инерционного фильтра полагаем м=0,01.

Считая, что сигналы внутренних обратных связей объекта (13) компенсируются соответствующей составляющей закона управления, записываем для преобразованного объекта уравнение наблюдателя его переменных состояния

(18)

и его характеристический полином полагаем равным желаемому полиному:

Приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при одинаковых степенях оператора s справа и слева от знака равенства, определяем значения коэффициентов наблюдателя: k1=2200, k2=10000.

Оценку производной второй переменной состояния находим с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается входами к выходам объекта управления и наблюдателя переменных состояния:

. (19)

С помощью выражения (15) и оценок переменных состояния ОУ формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния:

(20)

На основании уравнений (13), (16)-(20) можно составить структурную схему синтезированной САУ и по ней найти ее характеристический полином

Из условий (4) и (5) с помощью полинома A(p) определяем неизвестные до сих пор параметры: ф1=0,2 и ф2=0,01.

Рис. 1. - Переходные процессы

Методом моделирования синтезированной САУ на ПК с помощью пакета Simulink получены переходные процессы по переменной состояния x1(t) и выходной величине y(t) (рис. 1) при отработке системой ступенчатого сигнала задания с начальными условиями: x1(0)=0,1 и x2(0)=0,5. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что синтезированная предложенным методом САУ для объекта (13) имеет требуемые показатели качества переходных процессов.

Предложен алгоритм управления ограниченно неопределенными нелинейными объектами n-го порядка с неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями матрицы выхода, отличающийся тем, что основан на применении комбинированного принципа управления по производной n-й переменной состояния.

Рассмотрен пример синтеза системы автоматического управления для объекта второго порядка указанного класса, результаты компьютерного моделирования которой свидетельствуют о том, что она обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.

1. Ким Д.П. Синтез неминимально-фазовых систем управления с заданным временем регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 4. С. 5-10.

2. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 360 с.

3. Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1. С. 89-94.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. 467 с.

5. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми объектами определенного класса // Проблемы управления. 2013. № 1. С.19-25.

6. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. № 3. С. 30- 37.

7. Целигоров Н.А., Мафура Г.М., Целигорова Е.Н. Математические модели неопределенностей систем управления и методы, используемые для их исследования // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2012/1277/.

8. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными Лагранжевыми динамическими системами // Инженерный вестник Дона, 2014, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251/.

9. Atassi A.N., Khalil H.K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. pp. 1672-1687.

10. Keller H. Verefacht Ljapunov - Synthese fur nichtlineare system // Automatisierung. 1990. N 3. pp. 11-113.

11. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком по выходу // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 88-90.

12. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собственными значениями матрицы выхода // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 5. С. 70-75.

13. Елсуков В.С., Лачин В.И., Демидов О.Ю. Синтез систем управления по выходу неминимально-фазовых нелинейных объектов с неустойчивым состоянием равновесия // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 1. С. 8-12.

References

1. Kim D.P. Mehatronika, avtomatizatsija, upravlenie. 2010. № 4. pp. 5-10.

2. Gayduk A.R. Teorija i metody analiticheskogo sinteza system avtomaticheskogo upravlenija [Theory and techniques for feedback systems analytical synthesis]. M.: FIZMATLIT, 2012. 360 p.

3. Grebenshikov D.E., Parscheva A.I., Zykunov A.M. Vestnik AGTU. Serija: Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika. 2010. № 1. pp. 89-94.

4. Andrievskiy B.R., Fradkov A.L. Izbrannye glavy teorii avtomaticheskogo upravlenija s primerami na jazyke MATLAB [Control theory elements with MATLAB samples]. SPb.: Nauka, 1999. 467 p.

5. Furtat I.B. Problemy upravlenija. 2013. № 1. pp. 19-25.

6. Furtat I.B. Izv. vuzov. Priborostroenie. 2013. № 3. pp. 30-37.

7. Zeligorov N.A., Mafura G.M., Zeligorova E.N. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2009, №1. URL: idon.ru/magazine/archive/n4y2012/1277/.

8. Andrashitov D.S., Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Zennykh B.M. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №1. URL: idon.ru/magazine /archive/n1y2014/2251/.

9. Atassi A.N., Khalil H.K. IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, № 9. pp. 1672-1687.

10. Keller H. Automatisierung. 1990. № 3. pp. 11-113.

11. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2014. № 1. pp. 88-90.

12. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2015. № 5. pp. 70-75.

13. Elsukov V.S., Lachin V.I., Demidov O.Yu. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tehn. nauki. 2017. № 1. pp. 8-12.

Размещено на Allbest.ru