Визначення визначника методом Гауса
Використання комп'ютерних технологій в автоматизації обчислення математичних задач. Матриці та їх властивості. Визначники другого, третього та довільного порядків. Визначення визначника матриці, правило трикутника. Розробка програми на мові Turbo Pascal.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | украинский |
Дата добавления | 06.11.2017 |
Размер файла | 43,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Реферат
на тему:
Визначення визначника методом Гауса
Зміст
Вступ
1. Теоретичні відомості: Матриці та їх властивості
2. Текст програми на мові Turbo Pascal
3. Результат виконання програми
Висновок
Список використаної літератури
Вступ
Сучасні комп'ютерні технології дозволяють автоматизувати математичні задачі. Завдяки цьому їх використання стало простішим і доступнішим. В цій курсовій роботі я надаю приклад такої задачі.
1. Теоретичні відомості: Матриці та їх властивості
Визначники другого та третього порядків. Нехай є множина чотирьох чисел, розміщених у вигляді квадратної таблиці:
;
Такі таблиці називаються матрицями. В цьому випадку маємо квадратну матрицю, вона другого порядку.
Числа, з яких складаються матриці, називаються її елементам утворюють два горизонтальних і два вертикальних рядки, які називаються відповідно рядками та стовпцями матриці. Перший індекс кожного елемента вказує на номер рядка, в якому цей елемент розміщений, другий - на номер стовпця.
Елемент а11,а22 утворюють головну діагональ матриці, елемент а12,а21 - побічну. Визначником другого порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю:
;
(в останньому ланцюзі рівностей перші два вирази є позначенням зазначеного визначника). Розглянемо квадратну матрицю третього порядку:
;
Складається вона з дев'яти елементів, розміщених у трьох рядках і трьох стовпцях. Сутність індексів у елементах матриці така сама, як і в елементах квадратної матриці другого порядку. Елементи а11,а22,а33 - утворюють головну діагональ матриці a13, а22,а31 - побічну.
Визначником третього порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю:
Звертаємо увагу на те, що перші три доданки у правій частині становлять добуток елементів визначника, взятих по три.
Щоб дістати наступні три доданки у правій частині, потрібно перемножити елементи визначника по три, після чого знак кожного із знайдених добутків замінити на протилежний.
Це правило утворення доданків, що входять у праву частину, називається правилом трикутника. Воно дає змогу без напруження пам'яті обчислити визначник третього порядку з чисельно заданими елементами, не записуючи формули.
Властивості визначників другого та третього порядків
Ці властивості будемо доводити, користуючись означеннями визначника третього порядку.
1. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити його стовпцями, причому кожний рядок замінити стовпцем із тим самим номером, тобто
;
Комп'ютерний математичний визначник матриця
Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутника до лівої та правої частини рівності і порівняти одержані результати.
1. Властивість означає рівноправність рядків і стовпців визначника; тому всі наступні властивості визначника, властиві його рядка та стовпцям, достатньо сформулювати і довести або тільки для рядків, або тільки для стовпців.
2. Перестановка двох рядків визначника рівносильна множенню його на 1.
3. Якщо визначник має два однакових рядки, то він дорівнює нулю.
Справді, якщо однакові рядки поміняти місцями, то, з одного боку, значення визначника не зміниться (властивість 1), а з іншого - знак йог о значення зміниться на протилежний (властивість). Отже, для значення det визначника маємо det = -det, тобто 2det = 0, звідки det = 0.
4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка визначника містять спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Для доведення цієї властивості досить зазначити, що визначник подається у вигляді суми, кожний член якої містить один елемент із кожного рядка.
5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю. Ця властивість є частинним випадком попередньої.
6. Якщо відповідні елементи двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю. Справді, винісши спільний множник пропорційності за знак визначника, дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який за властивістю (3) дорівнює нулю.
7. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути зображений у вигляді суми двох визначників, у яких один у згаданому рядку має перші з заданих доданків, а інший - другі; елементи, що знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одній й ті самі. Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутника до всіх записаних тут визначників і порівняти одержані результати.
8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться. Ця властивість є наслідком властивостей 6 і 7.
Визначники довільного порядку
У формулі стосовно визначника третього порядку є шість доданків у вигляді добутків трьох елементів матриці, що містять по одному елементу з її кожного рядка і кожного стовпця. У кожного з цих добутків співмножники розміщено в порядку зростання першого індекси утворюють різноманітні перестановки з чисел 1, 2, 3.
Нехай j = (j1,j2,j3) - перестановка, де j1,j2,j3 - числа 1, 2, 3, розміщені в певному порядку. Інверсією в перестановці j називають той факт, що більше число передує меншому. Число інверсій у перестановці j позначимо символом а(j). Перестановка називається парною, якщо a(j) - парне число, і непарною - у протилежному випадку. Наприклад, перестановка (2, 3, 1) - парна, оскільки а(2, 1, 3) = 1.
Неважко помітити, що до правої частини формули зі знаком „плюс» входять ті добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють парну перестановку, і зі знаком „мінус” добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють непарну перестановку. Це дає можливість дати ще таке означення визначника третього порядку: визначником третього порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю
де підсумовування поширюється на всі можливості перестановки j = (j1,j2,j3) других індексів. Це означення легко узагальнюється на випадок квадратної матриці довільного порядку n(n є N).
Визначником n-го порядку, що відповідає матриці називається число, яке визначається рівністю
,
де підсумовування поширюється на можливі перестановки j = (j1,j2...jn) других індексів. Зазначимо без доведення, що розглянуті вище властивості 1-8 визначників другого та третього порядків справджується для визначників довільного порядку. Використання цих властивостей дає змогу замінити обчислення визначників високих порядків за формулою на простіше.
Мінором Мік, що відповідає елементу аik(1?і, k?n) матриці називається визначник, який відповідає матриці, утвореній з матриці викреслюванням і-го рядка та k-го стовпця.
Алгебричним доповненням Аік елемента аik,(1?і, k?n) матриці називається відповідний мінор, взятий зі знаком „плюс”, якщо сума його індексів парна, і зі знаком „мінус”, якщо сума його індексів непарна :
Аik = ( -1)i+kМік.
Теорема 1. Значення det(A) визначника, що визначає матрицю, дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або довільного стовпця на відповідні алгебричні доповнення:
det(A) = ai1Ai1+ai2Ai2 +...+ainAin(i = l, 2,...,n);
det(A) = aikAik+a2kA2k+...+ankAnk(k = l,2,...,n).
Доведемо теорему стосовно визначника третього порядку. Формула дає
det(А) = а11(а22а33-а23а32)+а12[-(а21а33-а23а31)]+а13(а21а32-а22а31) =
= а11А11+а12А12+а13А13.
Аналогічно
det (A) = a21A21+a22A22+a23A23 =...= а13А13+а23А23+а33А33.
Доведена теорема дає можливість звести обчислення визначника n-го порядку (n>3) до визначника (n-1)-го порядку. Формули називають формулами розкладання визначника за елементами і-го рядка (k-го стовпця).
Теорема 2. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) матриці на алгебричні доповнення відповідних елементів іншого її рядка (стовпця) дорівнює нулю:
ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn = 0(i ? j;
j = 1,2,...,n);
a1kА1s+а2кA2s+...+ankAns = 0(k ? s; s = l,2,...,n).
2. Текст програми на мові Тurbo Pascal
Uses crt;
const n = 4;
var
m,v,vv,mm:array [l..n, l..n] of real;
I,j:integer; k,d:real;
begin
writeln('введи матрицю');
for i:=l to n do
for j :=1 to n do
begin
readln(m[I,j]);
end;
for i:=2 to n do
for j:=1 to n do
begin
k:=m[I,l]/m[l,l] ;
v [ 1,j] :=m[1,j];
v[I,j]:=m[l,j]*(-k)+m[I,j];
end;
for i:=3 to n do
for j:=2 to n do
begin
k:=v[I,2]/v[2,2];
mm[1,1]:=v[1,1];
mm[1,j]:=v[1,j];
mm[2,1]:=v[2,1];
mm[2,j]:=v[2,j];
mm[I,1]:=v[I,1];
mm[I,j]:=v[2,j]*(-k)+v[I,j];
end;
for i:=4 to n do
for j:=3 to n do
begin
k:=mm[1,3]/mm[3,3] ;
vv[I,j]:=mm[3,j]*(-k)+mm[I,j];
end;
for i:=l to n do
for j:=1 to n do
begin
vv[1,j]:=mm[1,j];
vv[2,j]:=mm[2,j];
vv[3,j]:=mm[3,j];
vv[I,1]:=mm[1,1];
vv[I,2]:=mm[1,2];
d:=l;
if (i=j) then d:=d*vv[I,j];
writeln(vv[I,j]:2:2);
end;
writeln('визначник даної матрицi',d:2:2);
end.
3. Результат роботи програми
Дано матрицю 4Ч4. Знайти її визначник.
Результат:
1) Матриця після перетворення:
2) Визначник дорівнює: detA = -l.
Висновок
Дана робота показує як можна раціонально використовувати комп'ютерні технології в обчисленні математичних задач.
Список використаної літератури
1. О.І. Соколенко "Вища математика". Київ. Видавничий центер "Академія" 2002.
2. А.І. та Л.А. Марченки "Програмування в середовищі Turbо Раsсаl. Київ. "Вік+"2000.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
контрольная работа [45,7 K], добавлен 04.10.2009Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.
задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010Вироджена (особлива) або не вироджена (не особлива) квадратна матриця та вироджене або не вироджене лінійне перетворення невідомих. Добуток матриці, асоціативності множення матриць. Опис програми Matrtest, містить початкову матрицю та її розмірність.
курсовая работа [95,0 K], добавлен 16.03.2009Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Історія розвитку обчислювальної техніки. Особливості застосування швидкодіючих комп'ютерів для розв’язання складних математичних задач. Методика написання програми для обчислення визначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 07.10.2010Розв'язання задач з теорії множин та математичної логіки. Визначення основних характеристик графа г (Х,W). Розклад функцій дискретного аргументу в ряди по базисним функціям. Побудова та доведення діаграми Ейлера-Вена. Побудова матриці інцидентності графа.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 20.04.2012Методика визначення всіх коренів нелінійного рівняння різними способами: відрізка пополам, хорд, дотичних та ітерацій. Особливості та принципи застосування комп’ютерних технологій в даному процесі. Аналіз отаманих результатів і їх інтерпретація.
лабораторная работа [263,9 K], добавлен 15.12.2015Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори.
курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011Розгляд поняття матриці, видів (нульова, блочна, квадратна) та дій над нею. Аналіз способів знаходження власних векторів і власних значень матриць згідно методів Данілевського, Крилова, Леверрьє, невизначених коефіцієнтів та скалярних добутків.
курсовая работа [445,1 K], добавлен 03.04.2010Основні положення теорії графов. Алгоритм розфарбування графу методом неявного перебору. Задання графу матрицею суміжності. Особливості програмної реалізації на мові Turbo Pascal алгоритму оптимального розфарбування вершин завантаженого з файлу графа.
курсовая работа [557,1 K], добавлен 15.06.2014Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.
контрольная работа [397,0 K], добавлен 30.10.2011Використання методу Монтгомері як ефективний шлях багаторазового зведення за модулем. Складність операцій з многочленами та обчислення їх значень. Алгоритм Руфіні-Горнера. Визначення рекурсивного процесу для множення. Доведення алгоритму Тоома-Кука.
контрольная работа [103,8 K], добавлен 07.02.2011Зведення до канонічного вигляду кривих і поверхонь другого порядку методом ортогональних перетворень, побудова їх за заданими канонічними рівняннями. Визначення лінійних операторів та квадратичних форм. Власні вектори та значення лінійного оператора.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 13.11.2012