Гильбертовы пространства аналитических функций
Понятие гильбертовых пространств аналитических функций. Доказательство теоремы о том, что открытый или единичный круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D является гильбертовым пространством. Определение пространства Харди.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.11.2017 |
| Размер файла | 200,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(БашГУ)
Факультет математики и информационных технологий
Кафедра теории функций и функционального анализа
Реферат
Гильбертовы пространства аналитических функций
Специальность 010101--Математика
Выполнила: студентка 4-го курса
группы 45
Рахимова А.И.
Научный руководитель:
к.ф.-м.н.,доцент
Р.А.Башмаков
УфаЇ2012
Гильбертовыми пространствами аналитических функций называются полные евклидовы пространства, состоящие из аналитических функций. Примерами таких пространств являются пространство Бергмана и пространство Харди .Пусть D--открытое связное множество комплексной плоскости C, тогда пространством Бергмана называется пространство голоморфных функций в области D,для которых число конечно.
=
=
Пусть D--открытый единичный круг в комплексной плоскости C,тогда пространством Харди называется пространство голоморфных функций в области D,для которых число конечно.
В пространстве определена норма функции f(z) функционалом .
.
.
1) .
,..
.
2) . .
3) . .
В пространстве определено скалярное произведение с использованием нормы .
гильбертовой пространство аналитический функция
.
.
1) .
2)
3) .
.
В пространстве определена норма .
.
.
1)
2) .
3)
.
В пространстве определено скалярное произведение при помощи нормы .
.
.
.
1)
2)
.
3)
.
Можно показать, что пространство Харди содержится в пространстве Бергмана .Это утверждение следует из того, что норма пространства меньше или равна норме пространства .
Теорема. Пространство , где D--открытый круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D является гильбертовым пространством.
Доказательство.
Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство, то есть полное относительно метрики пространство со скалярным произведением.
Скалярное произведение определено.
Нужно доказать полноту пространства.
Пусть --ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.
Пространство является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.
Метрическое пространство является полным пространством, когда любая фундаментальная последовательность сходится к элементу пространства в метрике пространства.
-фундаментальная последовательность в пространстве.
Если последовательность функции фундаментальна в пространстве , то она фундаментальна на каждом компакте из области D. Если последовательность аналитических функций на каждом компакте равномерно сходится, то предельная функция является аналитической функцией.
Радиус настолько мал, что замкнутый круг лежит в области D.
Из формулы Коши следует, что верно неравенство:
Здесь используется неравенство Гельдера.
Отсюда следует, что верна формула:
Данная оценка верна для любой точки из области D.
Данная формула позволяет сделать переход от полярных координат к декартовым координатам.
Последовательность функций фундаментальна на каждом компакте K.
Последовательность функций равномерно сходится на каждом компакте K области D.
--аналитические функции,
--аналитическая функция.
Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.
Здесь используется неравенство Минковского.
Теорема доказана.
Утверждение. Функции при и образуют ортонормированный базис в пространстве , где D - открытый единичный круг. Если и -- ряд Тейлора для функции , то для .
Доказательство.
.
Функции образуют ортонормированный базис в пространстве .
Все аналитические функции в некоторой области раскладываются в ряд Тейлора в окрестности любой точки из данной области.
Коэффициенты ряда Тейлора функции определяются через скалярные произведения функции и базисных элементов.
Утверждение доказано.
Теорема. Пространство , где D - единичный круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D, является гильбертовым пространством.
Доказательство.
Скалярное произведение определено.
Нужно доказать полноту пространства.
Пусть --ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.
Пространство является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.
Радиус настолько мал, что замкнутый круг лежит в области D.
Из формулы Коши следует, что верно неравенство:
Последовательность функций фундаментальна на каждом компакте K.
Последовательность функций равномерно сходится на каждом компакте K области D.
--аналитические функции,
--аналитическая функция.
Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.
Теорема доказана.
Утверждение. Функции при и образуют ортонормированный базис в пространстве где D - открытый единичный круг. Если и -- ряд Тейлора для функции , то для .
Доказательство.
.
.
Утверждение доказано.
Для любой области D верно утверждение .Пространства и состоят из самих функций, а не эквивалентных классов функций.
Список литературы
1. Р.Эдвардс, «Функциональный анализ»;
2. П.Халмош, «Гильбертово пространство в задачах».
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007Система линейных неравенств, определяющих треугольник. Доказательство базиса четырехмерного пространства и определение координат вектора. Исследование функций на периодичность, монотонность и экстремум. Площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [174,5 K], добавлен 26.01.2010Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области. Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций, а также решение конкретных примеров задач.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 20.05.2013Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Задачи с параметрами и методы их решений. Использование свойств функций, параметра как равноправной переменной, симметрии аналитических выражений, "каркаса" квадратичной функции, теоремы Виета. Трансцендентные уравнения с параметром и методы их решений.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 06.11.2013Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
курсовая работа [86,9 K], добавлен 28.05.2007Полнота и замкнутость системы булевых функций. Алгоритм построения таблицы истинности двойственной функции. Класс L линейных функций, сущность полинома Жегалкина. Распознавание монотонной функции по вектору ее значений. Доказательство теоремы Поста.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 20.08.2014Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Ознакомление с теоремами теории аналитических функций. Определение и основные свойства индекса функции. Постановка и методы решения однородной и неоднородной задач Римана для односвязной и многосвязной областей. Принципы нахождения функции сдвига.
курсовая работа [485,6 K], добавлен 20.12.2011Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков.
презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.
реферат [3,5 M], добавлен 09.05.2009Клеточные разбиения классических пространств. Важность для геометрии и топологии клеточного разбиения многообразий Грассмана. Гомотопические свойства клеточных пространств. Теорема о клеточной аппроксимации. Доказательство леммы о свободной точке.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.06.2009Доказательство существования или отсутствия алгоритма для решения поставленной задачи. Определение алгоритмической неразрешимости задачи. Понятия суперпозиции функций и рекурсивных функций. Анализ схемы примитивной рекурсии и операции минимизации.
курсовая работа [79,5 K], добавлен 12.07.2015Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Общая теория топологических и векторных пространств, внутренняя логика развития; аксиоматика. Структура построения нормированного пространства; рассмотрение и развитие понятия банахова пространства как определённого типа векторных пространств с нормой.
реферат [14,9 K], добавлен 11.01.2011Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
курсовая работа [65,6 K], добавлен 15.06.2011Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011
