Конформные отображения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конформные отображения

1.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного

конформный отображение функция

Геометрический смысл аргумента производной

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

x = x (t), y = y (t), б ? t ? в ,(1)

где x (t), y (t) -- действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (б, в), причем x'(t) и y'(t) не обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными свойствами, называется гладкой.

Так как каждая точка (х, у) на плоскости задается комплексным числом z = х + iy, то уравнения (1) можно записать в более компактной форме:

z (t) = x (t) + i y (t), б ? t ? в.

Возьмем значения t₀ и t₀ + Дt из интервала (б, в). Им соответствуют точки z (t₀) и z (t₀ + Д t) на кривой.

Вектор Дz = z (t₀ + Дt) - z (t₀) = Дx + i Дy направлен по секущей, проходящей через эти точки.

Если умножить Дz на действительное число 1/ Дt, то получим вектор Дz / Дt, коллинеарный вектору Дz. Начнем уменьшать Дt. Тогда точка z (t₀ + Дt) будет приближаться к z (t₀) по кривой; вектор Дz/ Дt будет поворачиваться, приближаясь к вектору

.

Предельное положение секущих, проходящих через точку z (t₀), называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, вектор z ' (t₀) направлен по касательной к кривой в точке z (t₀).

Пусть теперь задана функция f (z), аналитическая в точке z₀, причем f '(z₀) ? 0. Предположим далее, что через точку z₀ проходит кривая г, заданная уравнением z (t) = x (t) + iy (t), и z (t₀) = z₀. Кривая г отображается функцией w = f (z) в кривую Г, лежащую в плоскости переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w (t) = f (z(t)); точка z₀ отобразится в точку w₀ = f (z₀). По правилу дифференцирования сложной функции

w ' (t₀) = f ' (z₀) ? z ' (t₀).(2)

Отсюда следует, что

Arg w ' (t₀) = Arg f ' (z₀) + Arg z ' (t₀).(3)

Но z ' (t₀) есть вектор, касательный к кривой г в точке z₀ (рис. 1а), a w ' (t₀) -- вектор, касательный к кривой Г в точке w₀ (рис. 1б). Поэтому равенство (3) позволяет придать величине Arg f ' (z₀) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который поворачивается касательная в точке z₀ к любой кривой, проходящей через эту точку, при отображении w = f (z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой г, т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z₀, поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный Arg f ' (z₀).

Возьмем какие-либо две кривые г и г1 проходящие через точку z₀, и проведем касательные к этим кривым (рис. 1а). При отображении

Рис. 1

w = f (z) кривые г и г1 перейдут в кривые Г и Г₁, а каждая из касательных к г и г1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол и между касательными к г и г1 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г_1. Напомним, что углом между кривыми в точке z₀ называется угол между касательными к этим кривым в точке z₀. Таким образом, если f '(z₀) ? 0, то отображение w = f (z) сохраняет углы между кривыми. Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми г и г1 и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов.

Геометрический смысл модуля производной

Зафиксируем точку z₀ и возьмем приращение аргумента Дz; очевидно, что модуль |Дz| равен расстоянию между точками z₀ и z = z₀ + Дz (рис. 2а). Пусть w = f (z), Дw = w -- w₀. Тогда величина |Дw| / |Дz| указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками z₀ и z в результате отображения w = f (z). Предел называется коэффициентом растяжения в точке z₀ при отображении w = f (z). Поскольку

,

то модуль | f '(z₀) | равен коэффициенту растяжения в точке z₀ при отображении w = f (z). Если | f '(z₀) | > 1, то в достаточно малой окрестности точки z₀ расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если | f '(z₀)| < 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название свойства постоянного растяжения.

Рис. 2

Так как производная f '(zo) не зависит от того, по какому пути точка z₀ + Дz приближается к z₀, то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем окружность l с центром z₀ и радиусом |Дz| (т.е. приращения Дz имеют фиксированный модуль, но различные направления -- рис. 2а). При отображении w = f (z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 2б); расстояние от точки w = f (z₀ + Дz) этой кривой до точки w₀ = f (z₀) равно

|Дw| = |w- w₀| = |f (z ₀ + Дz) - f (z₀)|.

Поскольку Дw = f ' (z₀) Дz + б (Дz) Дz, где б (Дz) > 0 при Дz > 0, то |w - w₀| = |f ' (z₀) Дz + б(Дz) Дz|. Это равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от окружности |w -- w₀| = |f ' (z₀)| | Дz| с центром w₀ и радиусом |f ' (z₀)| | Дz| (точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем |Дz| -- рис. 2б).

2.Понятие конформного отображения

Отображение называется конформным в точке z₀, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z₀; 2) растяжение в точке z₀ не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке z₀ и f '(z₀) ? 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке z₀. При этом Arg f ' (z₀) означает угол поворота, a |f ' (z₀)| -- коэффициент растяжения при данном отображении.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.

Если f '(z₀) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z₀. Так, отображение w = z² увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций в окрестности точки w₀ определена однозначная аналитическая функция z = ц ( w). Тем самым между окрестностями точек z₀ и w₀ установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.

Определение. Взаимно однозначное отображение области ? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.

Выясним теперь какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f (z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области ? и f ' (z) ? 0 при z ?. Тогда функция f (z) производит конформное отображение области ? на область G комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f (z) при z ?.

Доказательство. Действительно, в силу условия f ' (z) ? 0 при z ? отображение, осуществляемое функцией f (z), во всех точках области ? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.

Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функция f (z) осуществляет конформное отображение области ? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в ?. Тогда функция f (z) является однолистной и аналитической в области ?, причем f ' (z) ? 0 при z ?.

Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией f (z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке z₀ ? выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек z₁ и z₂, принадлежащих окрестности точки z₀, с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения

(4)

и , (5)

где Дz₁ = z₁ - z₀ и Дz₂ = z₂ - z₀ суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z₀, а Дw₁ и Дw₂ - их образы (рис. 3).

рис. 3

Заметим, что в силу (4) соответствующие углы в точках z₀ и w₀ равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. Обозначив arg через, из (4) найдем, что и arg. Действительно,

. (6)

Из (5) и (6) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение

.(7)

В силу произвольности выбора точек z₁ и z₂ в окрестности точки z₀ соотношение (7) означает, что существует предел разностного отношенияпри . Этот предел по определению является производной функции f (z) в точке z₀. Так как , то эта производная отлична от нуля:

. (8)

Точка z₀ - произвольная точка области ?; поэтому из (8) следует, что функция f (z) является аналитической в области ? и f ' (z) ? 0 при z ?. Однолистность следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана. Итак, конформное отображение области ? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области ?.

Отметим, что условие f ' (z) ? 0 всюду в области ? является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области ? на область G, осуществляемого функцией f (z).

3.Общие свойства конформных отображений

Теорема 4. (теорема Римана). Пусть D и D' -- односвязные области на расширенных плоскостях переменных z и w соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-однозначно и конформно отображающая D на D'.

Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя конформно отобразить на единичный круг |w| < 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Отображение w = f (z) области D на D', существующее по теореме Римана, не является единственным. Для однозначного определения конформного отображения нужно задать дополнительные условия, называемые условиями нормировки, содержащие три действительных параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z₀ области D задать значения

w₀ = f(z₀), .(9)

Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w₀ и действительное число . Условия (9) означают, что отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки z₀ области D задать ее образ w₀ в области D' и угол поворота бесконечно малых векторов в точке z₀.

Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от (9). Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек области D:

f(z₀) = w₀, f(z₁) = w₁,

где z₀, w₀ -- внутренние точки областей D, D', a z₀, w₀ -- граничные точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных параметра: две координаты точки w₀ и положение граничной точки w₁, которая определяется одним действительным числом (например, расстоянием, отложенным по границе области D' от некоторой фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нормировки:

f(z_k) = w_k, k = 1,2,3,

где z_k и w_k -- граничные точки областей D и D'.

Сформулируем следующее важное свойство конформных отображений.

Свойство 1. (принцип сохранения области). Если функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то множество D', на которое она отображает D, также является областью (т.е. открытым связным множеством).

Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ при конформных отображениях.

Свойство 2. (принцип соответствия границ). Пусть D и D' -- односвязные области, ограниченные непрерывными замкнутыми контурами Г и Г', составленными из конечного числа гладких кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D на D'. Тогда эту функцию можно доопределить и в точках границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области и отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г '.

Указанное свойство означает, что при конформном отображении друг на друга двух областей между их границами устанавливается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.

Свойство 3. При взаимно-однозначном и конформном отображении областей D и D' сохраняется направление обхода их границ.

Другими словами, если при обходе границы область D остается слева, то и при соответствующем обходе границы области D' эта область остается слева.

Большое значение для построения конформных отображений имеет следующее свойство.

Свойство 4. (обратный принцип соответствия границ).

Пусть односвязные области D и D' ограничены кривыми Г и Г'. Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерывная в , отображает Г взаимно-однозначно на Г ', причем, когда точка z обходит контур Г так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г ' так, что область D' также остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на область D'.

Следовательно, для отыскания области, на которую функция w = f(z) отображает заданную область D, достаточно обойти границу области D и найти контур, на который эта граница отображается функцией f(z).

4.Основные функции

Линейная функция

Функция w = az + b,(10) , где а и b -- заданные комплексные числа и а?0, называется линейной функцией. Так как w ' = а ? 0, то отображение (10) является конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно в С. Если w₁ = az₁ + b, w₂ = az₂ + b, то w₁ -- w₂ = a(z₁ -- z₂). Поэтому при z₁ ? z₂ получаем, что w₁ ? w₂ , и однолистность установлена. Положив по определению w(?) = ?, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости на .

Для изучения геометрических свойств отображения (10) рассмотрим вначале случай b = 0, т.е. w = az. Пусть а = , z = .Тогда

w = .

Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия:

1) умножить заданный вектор z на |а|. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в |а| раз. Значит, умножение на |а| есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|;

2) повернуть полученный вектор |a|z на угол б.

Для рассмотрения общего случая (10) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b. Итак, отображение (10) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|; 2) поворота вокруг начала координат на угол б; 3) параллельного переноса на вектор b.

Дробно-линейная функция.

Перейдем к изучению дробно-линейной функции, определяемой равенством

, (11)

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

, ,

то естественно определить w(?) = а/с, w(--d/c) = ?. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости .

Если с = 0, то w = и дробно-линейная функция сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что с ? 0.

Умножим числитель и знаменатель дроби (11) на с и добавим в числителе +ad -- ad. Тогда дробь (11) можно представить в виде

. (12)

Если bc -- ad = 0, то w = a/c и функция (11) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия

с ? 0, bc - ad ? 0.(13)

Покажем, что дробно-линейная функция (11) осуществляет взаимно-однозначное отображение на . С этой целью решим уравнение (11) относительно z (это возможно при z ? --d/c, z ? ?, w ? а /с, w ? ?):

.

Поэтому каждое значение w ? а/с и w ? ? имеет только один прообраз z ? - d/c и z ? ?. Но в силу определения значению w = а/с соответствует z = ?, а значению w = ? -- величина z = --d/c. Итак, каждая точка w имеет только один прообраз z , что и требовалось доказать.

Установим теперь конформность отображения (11). Так как

,

то при z ? - d/c и z ? ? производная w' существует и не равна нулю. По теореме 1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = - d/c и z = ? нам понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке z = ? понимается угол между образами этих линий при отображении w = в начале координат.

Теорема 5. Дробно-линейная функция

, ad -- bс ? 0, w(?) = а/с, w(- d/c) = ?, (14)

осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение расширенной комплексной плоскости на всю .

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 5, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 5.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.

Теорема 6. При дробно-линейном отображении (14) окружности всегда переходят в окружности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)

Доказательство. Рассмотрим уравнение

А(х² +у²) + Вх + Су + D = 0,(15)

где А, В, С, D -- действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Вх + Су + D = 0, т.е. уравнение прямой. Если А ? 0, то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству

(x - x₀)² + (y - y₀)² = ± R²

которое определяет либо окружность, если справа +R², либо точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа -R². С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (15).

Докажем вначале круговое свойство для отображения w = 1/z. Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она задается уравнением (15). Обозначим z = х + iy, w = u + iv. Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или

,

откуда

, .

Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность при отображении w = 1/z, подставим в (15) найденные выражения для х и у:



или

A + B u - C v + D (u² + v²) = 0

Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (15), но в плоскости переменного w = u + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство отображения w = 1/z установлено.

Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображения (14). Если с = 0, то получим линейное отображение w = a₁z + b₁, которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения w = a₁z + b₁ данное свойство имеет место.

Пусть теперь с ? 0. Воспользовавшись равенством (12), представим дробно-линейное отображение в виде

, (16)

где Е = , F =, G =.

Из равенства (16) следует, что дробно-линейное отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:

1) w₁ = z + G; 2) w₂ = 1/w; 3) w = E + Fw₂. Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Точки А и А' называются симметричными относительно окружности радиуса R < ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

рис. 4

ОА* ОА' = R².(17)

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4), т.е. если ОА > R, то О А' тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если ОА > 0, то ОА' > ?. Поэтому для точки О симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно

окружности радиуса R = ? понимается обычная симметрия относительно прямой.

Лемма 7. Для того чтобы точки А и А' были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и А', была перпендикулярна Г (рис. 5).



рис. 5

Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и А' симметричны относительно окружности Г. Проведем произвольную окружность Г ' через точки А и А' , и пусть В -- точка пересечения окружностей Г и Г'. По известной теореме о секущей и касательной произведение секущей ОА' на ее внешнюю часть ОА равно квадрату касательной. В то же время, в силу

симметрии, ОА * ОА' = R². Значит,

радиус ОВ является касательной к окружности Г'. Поскольку радиус ОВ перпендикулярен касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г' перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г' -- прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки А и А' таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 5). Докажем, что А и А' симметричны относительно Г. Так как прямая АА' перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, А' лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и А' лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром АА' не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г ' через А и А' с радиусом R' < ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г'. По условию, Г и Г' пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г '. По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА' = R². Следовательно, точки А и А' симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 7 в случае R < ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 8. При дробно-линейном отображении (14) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство. Пусть точки z₁ и z₂ симметричны относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (14) Г перейдет в кривую г, которая по теореме 6 также является окружностью; точки z₁ и z₂ перейдут в точки w₁ и w₂. Надо доказать, что w₁ и w₂ симметричны относительно г. Возьмем любую окружность г ', проходящую через w₁ и w₂,и рассмотрим ее прообраз Г ' при отображении (14) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в г '). Для этого выразим z из уравнения (14):

при ad - bc ? 0

Мы видим, что Г ' получается из г' также дробно-линейным отображением. Поскольку г ` является окружностью, то по теореме 6 Г ` -- тоже окружность. Так как Г ` проходит через точки z<sub>1</sub> и z<sub>2</sub>, симметричные относительно Г, то по лемме 7 окружность Г ` перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и г ` перпендикулярна г. По лемме 7 отсюда следует, что точки w₁ и w₂ симметричны относительно г, и доказательство завершено.

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Степенная функция. Понятие римановой поверхности.

Рассмотрим степенную функцию

w = zⁿ,(18)

где n -- натуральное число. Производная w' = nz^n-1 существует и отлична от нуля во всех точках z ? 0, z ? ?. Поэтому отображение, осуществляемое функцией (18), является конформным во всех точках, кроме z = 0 и z = ?. Если записать переменные z и w в показательной форме, z = r e^iц, w = се^iи, то (18) приводит к равенствам

с = r ⁿ, и = nц.

Отсюда видно, что окружности |z| = r переходят в окружности |w| = r ⁿ, угол 0 < ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Пусть точки z₁ и z₂ таковы, что z₂ = z₁ e^{i2 р /n}, n ? 2. Легко видеть, что z₁ ? z₂ , и . Поэтому отображение (18) не является однолистным во всей комплексной плоскости С, но является таковым внутри любого угла величиной б < 2 р /n с вершиной в начале координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел w.

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z), были однозначными. Функция Arg z является многозначной:

Arg z = arg z + 2рk ,

где arg z -- главное значение аргумента и к -- любое целое число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция w = f(z) отображает область D на область Е. Обратной к функции w = f(z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(w), определенная на области Е, которая каждому комплексному числу w Е ставит в соответствие все комплексные числа zD, такие что f(z) = w.

Другими словами, функция, обратная к w = f(z), -- это правило, по которому каждой точке wЕ соответствуют все ее прообразы zD.

Если функция w = f(z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если w = f(z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции w = zⁿ является многозначная функция z = : каждому значению w, отличному от 0 и ?, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых формулой

(*).

Числа 0 и ? имеют по одному корню: , а.

Теорема 9. Пусть функция w = f(z) однолистна и аналитична в области D, отображает D на область Е и f '(z) ? 0. Тогда обратная функция z = g(w) также аналитична в области Е и

(19)

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку zD и возьмем приращение Дz ? 0. Тогда, в силу однолистности функции w = f(z), соответствующее приращение Дw = f(z + Дz) -- f(z) также не равно нулю. Поэтому

Так как функция w = f(z) аналитична, то она непрерывна в точке z.

Следовательно, Дw > 0 при Дz > 0, а в силу взаимной однозначности верно и обратное: Дz > 0 при Дw > 0. Отсюда

что и требовалось доказать.

Аргументом функции z = g(w), обратной w = f(z), является переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и w и пишут w = g(z). Например, обратная функция к w = zⁿ запишется как w = .

Рассмотрим подробнее функцию w = . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция w =станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D₀, D₁,..., D_n-1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 6а показан случай n = 4).

рис. 6а

Затем тот край разреза области D₀, к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. по полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области D₁; нижний край разреза области D₁ склеим с верхним краем разреза области D₂ и т.д., пока не склеим нижний край разреза D_n-2 с верхним краем разреза D_n-1. Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D_n-1 (на рис. 6а это D₃) с верхним краем разреза области D₀. В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.



рис. 6б

Она называется римановой поверхностью функции w = . Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и ?, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ?.Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ?.

Определим теперь функцию w = на построенной римановой поверхности. Напомним, что если z = r e^iц, то все корни n-й степени из z определяются формулой (*):

(20)

Угол ц в этой формуле можно выбирать из любого промежутка длины 2р; нам удобно предполагать, что 0 ? ц < 2р.

Точкам z = r e^iц, лежащим на листе D₀ и склейке D₀ с D_n-1, ставим в соответствие значение корня с k = 0; точкам, лежащим на листе D₁ и склейке D₁ с D₀, -- значение корня с k = 1. Вообще, точкам, лежащим на D_k, при 1 ? k ? n-1, и склейке D_k, с D_k-1, соответствует значение корня с данным k. Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.

Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно, лист D_k будет отображаться в угол, а склейки отобразятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.

Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе D_k с разрезом, то непрерывность в этой точке прямо следует из формулы (20) с фиксированным к. Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью |z| = 1 комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки z, расположенной на верхнем крае разреза листа D₀. Так как r = 1, ц = 0, k = 0, то w = = 1. При обходе первого витка контура на листе D₀ будет

и . Перейдя по склейке на лист D₁, мы получим, по определению, (так как к = 1). В частности, при ц = 0 будет то же самое значение корня, к которому мы приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D₀. Значит, в точках склейки D₀ c D₁ функция будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня и при переходе с D_k-1 на D_k при 1 ? k ? n-1. Наконец, обходя контур по листу D_n-1 и приближаясь к нижнему краю разреза, получим k = n - 1, , и ,

т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D₀. Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ?).

Возьмем любую окружность |z| = r на комплексной плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ?. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ? 0, z ? ?, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.

Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F (z), определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F (z) в этой точке.

Многозначная функция F (z) является однозначной и аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Например, кольцо 1 < |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции ). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция e^z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу

e^z = e^{x + iy} = e^x(cos y + i sin y).(21)

Второе равенство в (21) получается, если принять по определению е^{х + iу} = е^хе^iу и применить к е^iу формулу Эйлера . Из (21) следует, что

|e^z| = |е^x+iу| = е^x, Arg e^z = у + 2 рn.

Определение (21) и свойства функции е^iц позволяют легко доказать, что функция e^z обладает обычными свойствами показательной функции:

e^z1+z2 = e^z1e^z2; e^{z1 - z2} = e^z1/e^z2;(e^z)ⁿ = e^nz.

Докажем, что функция e^z будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши--Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = е^х cos у + iе^х sin у, откуда

u = е^х cos у, v = e^x sin y;

Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции e^z доказана. Чтобы вычислить производную (e^z)', воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:

.

Следовательно, для производной функции e^z имеет место обычная формула

(e^z)' = е^z .

Следующее свойство функции e^z не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция e^z является периодической с чисто мнимым периодом 2рi. В самом деле, для любого целого n

e^{z +2рni} = e^x(cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = е^x(cos y + i sin y) = e^z.

Из периодичности функции w = e^z следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = х₂ + iy₂. В силу (21), равенство e^z1 = e^z2 равносильно следующим условиям:

e^x1 = e^x2, cos y₁ = cos y₂, sin y₁ = sin y₂,

откуда следует х₁ = x₂, y₁ = y₂ + 2рn, где n -- произвольное целое число, или

z₁ - z₂ = 2рni.(22)

Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = e^z в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2р, например полосы

{z : - ? < х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = e^z = e^xe^iy = сe^iи для которых, в силу равенств с = е^х, и = у, имеем

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у₀ (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи и = у₀ (рис. 7б), а интервалы x = x₀, 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

рис. 7

для k = 0) -- в окружности сe^x0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 р показательная функция e^z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция e^z не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = e^w. Положим

w = u + iv, z = r e^iц = re^{iArg z}.

Тогда

re^{iArg z} = z = e^w = e^{u + iv} = e^ue^iv.

Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что

r = e^u, e ^{i Arg z} = e^iv.(23)

Из первого равенства находим u = ln r, где ln r -- обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и ?, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 рki, где k -- любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 рk, - р < arg z ? р,

где arg z -- главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk ).(25)

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции e^z. Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу

- р + 2 рk < Im w < р + 2рk.

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

рис. 8

Например, ln i = ln 1 + iр/2 = iр/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Если приближаться к точке z = -- 1 по верхней полуплоскости у > 0, то ; если по нижней, -- то .

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ?,

располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и ? функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что : если предположить, что точки -- 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом и к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = e^iц

Ln z = ln r + i(ц + 2рk), и < ц < и + 2 р.

Формула (25) является частным случаем при и = - р. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле , аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (e^z)' = e^z и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = e^w. Отсюда и из (19) получаем

.

Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция , где -- фиксированное комплексное число, определяется соотношением .

Полагая , получаем Ln z = ln r + i(ц + 2рk). Следовательно,

.

Отсюда видно, что при модуль принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при функция будет бесконечнозначной.

Общая степенная функция в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь , выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

,

где f (z) -- регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

.

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера следует, что

е^iх = cos х + i sin x, е^{- iх} = cos x -- i sin x.

Отсюда cos x = , sin x =. Эти формулы служат основой следующего определения.

Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами

,,,.(26)

Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. Из периодичности функции e^z следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2 р, a tg z и ctg z -- с периодом р. Функция sin z нечетна, a cos z -- четна. Действительно,

.

Аналогично доказывается четность функции cos z. Для функций, определенных равенствами (26), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin² z + cos² z = 1, sin(z₁ + z₂) = sin z₁ cos z₂ + cos z₁ sin z₂ и т.д. Все эти соотношения вытекают из (26).

Функции sin z и cos z аналитичны во всей плоскости С, причем имеют место обычные формулы дифференцирования:

(sin z) ' = cos z, (cos z) ' = - sin z.

Докажем, например, формулу для производной sinz:

Используя формулы для производной частного, получим

,.

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

;.

3. Функции, обратные (26), называются обратными тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции (26) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (26) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = Arccos z. Из определения этой функции имеем

z = cos w = ,

откуда e^{2 iw} -- 2ze ^iw + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно e ^iw, находим (мы опускаем ± перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

.

В силу соотношения изменение знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с "--". Значит, и среди значений Arccos z будут значения как с "+", так и с " --" перед логарифмом. Поэтому знак "--" можно не писать:

(27)

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

(28)

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и cth z, определяемые равенствами

,,

,, (29)

Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:

sh z = -- i sin iz,

ch z = cos iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

и поэтому несущественно отличаются от последних.

Функцией Жуковского называется функция

.(30)

Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в , кроме точек z = 0 и z = ?. Производная

существует всюду в , за исключением точек z = 0 и z = ?, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (30) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 ,?.

Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z₁ ? z₂ и .

Отсюда следует, что .

Так как z₁ ? z₂, то это равенство равносильно условию z_lz₂ = 1.(31)

Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию (31). Такими областями являются, например, внешность |z| > 1 единичного круга (при этом |z₁z₂| > 1) и внутренность |z| < 1 этого круга (|z₁z₂| < 1).

Чтобы наглядно представить себе отображение (30), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 9а сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =. Тогда (30) перепишется в виде

,

откуда (32)

Рассмотрим образы окружностей r = r₀. Из (32) следует

,

рис. 9

Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая r = r₀, получим

(33)

Уравнение (33) является уравнением эллипса с полуосями

Итак, образами окружностей |z| = r₀ в плоскости z будут эллипсы в плоскости w (рис. 9б). Если r₀ > 1, то a _{r 0} > 1, b _{r 0} > 0. Поэтому эллипсы будут стягиваться к отрезку [--1,1]. При больших r₀ разность a _{r 0} -- b _{r 0} = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.

Чтобы получить образ лучей , преобразуем равенства (32) к виду

Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая

, получим (34)

Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями ,. Следовательно, лучи отображаются в части гипербол (рис. 9б). Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...