Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

На тему: "Різницеві лінійні рівняння"

При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема, економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць, рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь. Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Оператор зсуву

Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):

.(8.67)

Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність

.(8.68)

Приклад. Справджуються такі рівності:

, , ,

.

Застосуємо символічний оператор диференціювання D, .

При цьому маємо рівність

, , ,

Припустимо, що функції у(х), що зустрічаються в таких обчисленнях, можна подати рядами Тейлора. При цьому правильна рівність

яку можна записати у вигляді символічної формули:

(8.69)

У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи

, (8.70)

Із попередніх формул (8.67) -- (8.70) дістаємо рівність

,

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву

, ,(8.71)

які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.

Маємо рівності

, .

Із формули

, (8.72)

використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів ^k, що називаються спадними різницями порядку k

Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S через степені оператора .

(8.73)

Звідси знаходимо формули:

Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є сталими.

Приклад. Складемо таблицю різниць для функції при x₀ = 0, h =1 (табл. 1.2):

Таблиця 1.2

xn	yn	yn	2yn	3yn
0 1 2 3 4 5 6	-1 -1 1 5 11 19 29	0 2 4 6 8 10	2 2 2 2 2	0 0 0 0

Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).

Інтерполювання функцій, що задаються таблично

Якщо відоме значення функції у = у(х) для рівновіддалених значень аргументу, то для обчислення значень функції для проміжних значень аргументу використовуються інтерполяційні формули. З формули (8.68) знаходимо рівність

Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу Грегорі--Ньютона:

.(8.74)

Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5.

При x_n = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5, у(3) = 6, ²у(3) = 2, ³у(3) = 0.

З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:

.

Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі--Ньютона

(8.75)

Використовуючи дискретні значення , можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор диференціювання:

. (8.76)

З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:

. (8.77)

Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у(4).

Маємо

.

З формули (8.77) знайдемо значення похідної

Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження похідної другого порядку:

Підсумовування функцій

Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду

.(8.78)

Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння

, .(8.79)

Підставляючи значення і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність

.(8.80)

Із рівняння (8.79) знайдемо оператор , обернений до оператора різниці

Оператор називається оператором підсумовування і позначається символом . З формули (8.70), (8.71) знайдемо вираз для :

Звідси знаходимо розв'язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді розкладу:

(8.81)

Приклад. Знайдемо розв'язок різницевого рівняння

.

З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз

.

Знайдемо вираз для суми

.

З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через визначений інтеграл:

(8.82)

Формула Ейлера пов'язує суму з визначеним інтегралом. На основі цієї формули можна вивести формули для знаходження визначених інтегралів:

(8.83)

Наведемо також формулу чисельного інтегрування Грегорі:

(8.84)

яка використовує тільки дискретні значення функції у (х).

Приклад. Обчислимо інтеграл від функції у = х² - х - 1, заданий у табл. 8.2.

Маємо значення різниць

По формулі (8.84) знаходимо значення інтеграла:

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

,(8.85)

де b_i(i = 0, 1, 2 ..., n) -- сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S (8.72), то можемо записати різницеве рівняння в рівносильній формі

(8.86)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі:

(k = 0, 1, 2, ...).

.(8.87)

Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву має таку властивість:

(8.88)

Далі, замість слів «різницеве рівняння» будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв'язків РР достатньо задати початкові умови:

.(8.89)

Означення. Розв'язком РР (8.86) називається послідовність , яка при підставлянні її в РР (8.86) перетворює його на тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність y_k = 2^k є розв'язком РР (k = 0, 1, 2, ...). Підставляючи значення y_k = 2^k, y_k+1 = 2^k+1 в РР, дістаємо тотожність .

Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв'язків однорідного РР

(8.90)

1. Якщо РР (8.90) має частинні розв'язки y_k = y_k,1 (k = 0, 1, 2, …), то воно має також розв'язок y_k = Cу_k,1, C = const.

2. Якщо РР (8.90) має два розв'язки y_k = y_k,1, y_k = y_k,2, то воно має також розв'язок y_k = y_k,1 + y_k,2. Звідси випливає, що РР має розв'язок:

Означення. Розв'язок РР (8.90) при а₀ ? 0.

 (8.91)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С₁, С₂, ..., С_n можна задовольнити довільні початкові умови (8.89).

Якщо y_k (8.91) загальне рішення РР (8.90), то система лінійних алгебраїчних рівнянь завжди має розв'язок відносно сталих С₁, С₂, ..., С_n.

Означення. Визначник

(8.92)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k + 1 у визначнику (8.92), дістаємо рівняння для визначника Вронського:

.

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв'язування РР (8.90). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k = 0, 1, 2, ... дістаємо:

, , .

Виходячи з цього, РР (8.90) має частинний розв'язок.

Розв'язок (k = 0, 1, 2, ...) обмежений при a 1; прямує до нуля при k +; якщо a 1; необмежено зростає за модулем при a 1.

Л. Ейлер запропонував шукати розв'язок РР (8.90) у вигляді y_k = ^k, = const (k = 0, 1, 2 ...). Число називається мультиплікатором розв'язків РР (8.90).

Оскільки справджується рівність , , то для визначення мультиплікаторів дістанемо алгебраїчне рівняння

або

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

І. Якщо рівняння L() = 0 має n різних коренів ₁, ₂, ..., _n, то загальний розв'язок РР (8.90) набирає вигляду .

Частинні розв'язки будуть лінійно незалежні, оскільки визначник Вронського

є визначником Вандермонда і відмінний від нуля при , .

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР.

.

Мультиплікаторне рівняння має розв'язок у₁ = 2, у₂ = 3. Тому РР має загальний розв'язок .

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок РР

з початковими умовами у₀ = 0, у₁ = 1.

Мультиплікаторне рівняння має комплексні корені , .

Загальний розв'язок в комплексній формі має вигляд

.

Цей розв'язок у дійсній формі має вигляд

.

Для визначення сталих С₃, С₄ дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

, .

З цієї системи рівнянь знаходимо , . Остаточно дістаємо частинний розв'язок , що задовольняє задані початкові умови.

ІІ. Якщо рівняння має корінь ₁ кратності n₁, то РР (8.90) має n₁ лінійно незалежних частинних розв'язків

, , ..., .

Наведемо теорему про загальний розв'язок РР (8.90).

Теорема 7. Якщо мультиплікаторне рівняння має корені ₁, ..., _l кратності , то загальний розв'язок РР (8.90) подається у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР

.

Мультиплікаторне рівняння має трикратний корінь = 2. Тому загальний розв'язок має вигляд

.

Будь-яке різницеве рівняння n-го порядку (8.90) можна записати у вигляді системи n рівнянь першого порядку виду

де А -- матриця розміру

Приклад. Різницеве рівняння

.

Введемо позначення

.

При цьому дістанемо рівняння

які можна записати у вигляді системи РР

,

із системи РР знаходимо .

Звідси маємо загальний розв'язок системи РР:

.

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок системи РР

Знайдемо власні числа матриці А із рівняння

Знаходимо Будь-яка функція від матриці А подається формулою

Знайдемо матриці з функцією

Дістанемо:

Знаходимо фундаментальну матрицю розв'язків

і загальний розв'язок системи різницевих рівнянь:

Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне РР

(8.93)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв'язок неоднорідного РР (8.93) є сумою частинного розв'язку неоднорідного РР та загального розв'язку однорідного РР.

Найчастіше зустрічається РР оператор рівняння лінійний прискорення

 , (8.94)

де -- многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

Теорема 8. Якщо то рівняння (8.94) має частинний розв'язок виду , де деякий многочлен від k степеня q.

Якщо є коренем кратності m рівняння то РР (8.94) має частинний розв'язок виду

Многочлен можна знайти методом невизначених коефі-
цієнтів.

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок РР .

Частинний розв'язок шукаємо у вигляді .

Підставляючи у РР, дістаємо рівняння для визначення А, В:

,

з якого знаходимо

, , .

Розв'язок РР (8.94) можна знайти у вигляді . При цьому приходимо до РР і розв'язок z_k шукається у вигляді многочлена , де m -- кратність кореня рівняння .

Приклад. Шукаємо частинний розв'язок РР

.

Узявши , дістанемо РР .

Шукаємо розв'язок z_k у вигляді многочлена . Підставляючи z_k, маємо

Економічна модель прискорення Самюельсона--Хікса

Споживання C_t через прибутки Y_t виражається формулою

(8.95)

Вкладання І_t через прибутки Y_t виражається формулою

(8.96)

Прибуток Y_t у сучасний період є сума споживання C_t, вкладання І_t та постійних витрат А:

. (8.97)

Виключаючи C_t, І_t, дістаємо різницеве рівняння

(8.98)

Частинний розв'язок РР знаходимо у вигляді

Введемо розв'язок однорідного РР , який є різницею між розв'язком Y_t і частинним сталим розв'язком . Однорідне РР

має мультиплікаторне рівняння . Найбільш цікавим для досліджень є випадок комплексно спряжених коренів, коли .

Тоді мультиплікатори мають вигляд

.

Розв'язок однорідного РР (8.98) є спадним, якщо .

Література

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -- М.: Наука, 1988. -- 240 с.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -- М.: Наука, 1988. -- 432 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. -- М.: Наука, 1989. -- 464 с.

4. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. -- К.: Вища шк., 1987. -- 552 с.

5. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. -- К.: Либідь, 1996. -- 440 с.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. -- Т. 1, 2. -- М.: Наука, 1985. -- 580 с., 602 с.

7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. -- К.: КУ, 1967. -- 352 с.

8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. -- М.: Наука, 1986. -- 224 с.

9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -- М.: Наука, 1975. -- 416 с.

10. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. -- М.: Наука, 1968. -- 472 с.

11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. -- К.: Либідь, 1995. -- 240 с.

Размещено на Allbest.ru

...