Численная реализация приближенного решения уравнения Фредгольма

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГБОУ ВПО

"Сургутский государственный университет

Ханты-Мансийского автономного округа - Югры"

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления

Реферат

на тему: "Численная реализация приближенного решения уравнения Фредгольма"

Выполнил: Волков Александр Дмитриевич

Проверил: д.ф-м. н. профессор Галкин Валерий Алексеевич

Сургут, 2013.

Введение

Решение всякой количественной математической задачи обычно заключается в нахождении "решения" y по заданным "исходным данным" f. Запишем это в форме y=R(f), где R - некоторые оператор. Будем считать у и f элементами метрических пространств Y и F с расстояниями между элементами сY(y1,y2) и сF(f1,f2).

Определение. Решение у называется устойчивым, если для любого е > 0 можно указать такое д(е) > О, что из неравенства (f1,f2)? д(е) следует сY(y1,y2)?е, где f1 и f2 - произвольные элементы F, у 1= R(f2) Y, y2= R(f2) Y.

Определение. Задача y=R(f) называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Y, F), если выполняются условия:

1. Для всякого элемента f F существует решение yY.

2. Решение определяется однозначно.

3. Решение устойчиво.

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными.

Замечание. Метрики в пространствах Y и F характеризуют, в каком смысле понимается малое изменение y и f. От того, каким образом выбрана метрика, может зависеть, будет ли решение у устойчиво при изменении f или нет, а следовательно, будет ли задача y=R(f) корректна.

Следует отметить, что определение некорректно поставленных задач относится к данной паре метрических пространств (Y, F), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной.

Пример некорректной задачи

Задача решения уравнения Фредгольма первого рода:

(1.1)

Пусть ядро интегрального оператора K(x,s) - функция, непрерывная по совокупности аргументов x [c,d], s[a,b], а решение z(s) - непрерывная на отрезке [a,b] функция. Тем самым, можно рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах: A:C[a,b]>C[c,d] (Пространство C[a,b] состоит из функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Норма z?C[a,b] определяется как

||z||=

Покажем, что в этом случае задача решения интегрального уравнения является некорректно поставленной. Для этого нужно проверить условия корректности постановки задачи:

1) Существование решения для любой непрерывной на [c,d] функции u(x). На самом же деле, это не так: существует бесконечно много непрерывных функций, для которых решения нет.

2) Единственность решения. Это условие выполняется в том и только в том случае, если ядро интегрального оператора замкнуто.

Первые два условия корректности эквивалентны условию существования обратного оператора A-1 с областью определения D(A?1)=C[c,d]. Если ядро интегрального оператора замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с C[c,d]

3) Устойчивость решения. Это означает, что для любой последовательности



последовательность zn>. Устойчивость эквивалентна непрерывности обратного оператора при условии, что обратный оператор существует. В данном случае это не так, что видно из следующего примера. Пусть последовательность непрерывных функций , n=1, 2, …, такая что на промежутке

и обращается в нуль вне данного интервала,

max|z(s)|=1, s[a, b],

а последовательность чисел d>0+0.Такая функция может быть выбрана, например, кусочно-линейной. Тогда для любого x [c, d]

при

Последовательность функций равномерно, т.е. по норме C[c,d], сходится к =0. Хотя решение уравнения в этом случае =0, последовательность не стремится к , так как.

Интегральный оператор A является вполне непрерывным при действии из в , при действии из C[a,b] в и при действии из C[a,b] в C[c,d]. (Пространство состоит из функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b]. Норма z определяется как ).

Это означает, что любую ограниченную последовательность этот оператор преобразует в компактную. Компактная последовательность по определению обладает тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся. Легко указать последовательность , , из которой нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность. Например,

Нормы всех членов этой последовательности равны 1 в , но из любой подпоследовательности этой последовательности нельзя выделить сходящуюся, поскольку . Очевидно, что эта последовательность состоит из непрерывных на [a,b] функций и равномерно (по норме C[a,b]) ограничена, но из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность (тогда она сходилась бы и в , поскольку из равномерной сходимости следует сходимость в среднем). Если предположить, что оператор является непрерывным, то легко прийти к противоречию. Для существования обратного оператора достаточно потребовать, чтобы прямой оператор A был инъективным. Очевидно, что, если оператор B: C[c,d]>C[a,b] непрерывный, а оператор A вполне непрерывный, то BA :C[a,b] >C[a,b] - тоже вполне непрерывный оператор. Но тогда, поскольку для любого n , то последовательность компактна, что неверно. Оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, не может быть непрерывным. Аналогичное доказательство может быть проведено для любых бесконечномерных банаховых (т.е. полных нормированных) пространств.

Поскольку задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в указанных пространствах некорректно поставлена, то даже при очень малых ошибках в задании u(x) решение может либо отсутствовать, либо как угодно сильно отличаться от искомого точного решения.

Сглаживающий функционал и его свойства

Пусть функции, входящие в уравнение

(2.1)

являются непрерывными, причем определена на интервале - при , а ядро K(x,s) - в прямоугольнике . Запишем уравнение (2.1) в виде математический уравнение фредгольм

, (2.2)

где А - оператор Фредгольма. Рассмотрим функционал

, (2.3)

где

, (2.4)

, , . (2.5)

Здесь б>0 - некоторый параметр, называемый параметром регуляризации. Функционал (3.5) называется регуляризирующим, а функционал - сглаживающим функционалом.

Поставим вариационную задачу на экстремум функционала . Экстремум будем искать в классе Y функций y(x), дважды непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих условия

(2.6)

Пусть и -

две функции, принадлежащие Y. Вычислим приращение функционала , отвечающее приращению дy, т.е. вычислим величину . Имеем

В этом выражении сумма первого и четвертого слагаемых представляет собой . Перенесем их влево и тогда получим, что приращение функционала распадается на линейную относительно дy часть (эта сумма второго и пятого слагаемых), третьего и шестого слагаемых, зависящую от дy нелинейно, которую обозначим и которая, как нетрудно видеть, при любом неотрицаельна:

. (2.7)

Из вариационного исчисления известно, что если реализует экстремум функционала , то д, т.е.

(2.8)

Это равенство представляет собой необходимое условие экстремума. Преобразуем первое слагаемое, изменив порядок интегрирования:



,

где

,

.

Во втором слагаемом в (3.8) произведем интегрирование по частям. Получим

так как внеинтегральный член в силу (3.6) обращается в нуль. Соотношение (2.8) принимает тогда вид

. (2.9)

Поскольку дy(t) - произвольная вариация, то, в силу основной леммы вариационного исчисления, выражение в фигурных скобках равно нулю. Получаем уравнение, определяющее экстремали функционала :

. (2.10)

Таким образом, если осуществляет экстремум функционала при условиях (2.6), то y удовлетворяет уравнению (2.10).

Теорема о минимальном значении сглаживающего функционала: Для любой непрерывной функции существует единственная функция из класса Y, на которой реализуется минимальное значение функционала .

Доказательство: Докажем, что уравнение (2.10) при краевых условиях (2.6) имеет единственное решение. Уравнение (2.10) является интегро-дифференциальным уравнением. Сведем его к интегральному уравнении. Фредгольма второго рода.

Рассмотрим уравнение

(2.11)

При условиях (3.6). Убедимся, что эта задача имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть y(t) имеет положительное максимальное значение, достигающееся в некоторой точке . Тогда . Учитывая, что , имеем при , что противоречит равенству (2.11). Следовательно, . Аналогично доказывается, что . Отсюда следует, что

В силу доказанного, существует функция Грина и уравнение (2.10) при условиях (2.6) эквивалентно интегральному уравнению

,

или

, (2.12)

где - некоторое ядро,

а .

Уравнение (3.12) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Докажем, что оно имеет единственное решение. Для этого, достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. А это эквивалентно тому, что однородное уравнение (2.10) при условиях (2.6) имеет только тривиальное решение. Допустим противное, т.е. что уравнение

(2.13)

имеет нетривиальное решение y(t). Умножая (3.13) на y(t) и интегрируя, получим

(2.14)

Интегрированием по частям преобразуем левую часть к виду - . Правую часть преобразуем, пользуясь выражением (2.9) для и изменяя порядок интегрирования:

После этих преобразований (2.14) принимает вид

.

Так как , то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и мы имеет противоречие, доказывающее, что задача (2.13), (2.6) имеет только тривиальное решение, а следовательно, уравнение (2.12) имеет единственное решение.

Нетрудно увидеть, что это решение реализует минимально значение функционала . Это непосредственно следует из (2.7), поскольку при , а при любом . Теорема доказана.

Вспомогательная теорема

Пусть имеются два метрических пространства: Y (с элементами у) и F (с элементами f).

Пусть определен оператор А, который каждому элементу ставит в соответствие элемент и одновременно однозначно определен обратный оператор , т.е. закон соответствия .

Замечание. Обратный оператор определен, вообще говоря, не на всем множестве F, а лишь на его части, на подмножестве F, элементы которого определяются по закону

.

Определение. Последовательность называется сходящейся в метрике пространства Y к некоторому элементу если сY(при n?.

Определение. Последовательность называется компактной в Y, если из каждого бесконечного подмножества ее элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу.

Определение. Оператор А, переводящий элемент элемент , называется непрерывным, если какова бы ни была последовательность , сходящаяся в Y к у, соответствующая последовательность сходится в F к f=Ау.

Теорема 1. Пусть в пространстве Y имеется последовательность , которой в пространстве F отвечает последовательность . Пусть , A является непрерывным оператором, а последовательность является компактной. Тогда

Алгоритм построения приближенного решения

Будем считать, что решение задачи (2.1) существует при некоторой фиксированной функции , и обозначим его . Ядро будем считать непрерывным и замкнутым, что обеспечивает единственность решения.

Пользуясь теоремой 1, построим последовательность функций, позволяющую получить с любой степенью точности решения некорректной задачи (2.1) по приближенно заданной функции .

Приближенное задание функции будем понимать как задание последовательности непрерывных на [с, d] функций таких, что

где - некоторая числовая последовательность. Таким образом, аппроксимирует даже не обязательно равномерно, а в смысле среднего квадратичного.

Алгоритм построения приближенного решения уравнения (2.1) по заданной последовательности состоит в том, что выбирается некоторая числовая последовательность , где - не зависящая от n постоянная, и для каждого находится функция , реализующая минимальное значение сглаживающего функционала . Так как теперь мы специально интересуемся зависимостью у от , то будем эту зависимость указывать верхним индексом. Равенство означает, что параметр регуляризации согласован с точностью задания .

Оказывается, при достаточно большом n функция обеспечивает равномерное приближение к с произвольной степенью точности, что можно выразить следующей теоремой:

Теорема 2. Пусть - решение уравнения (2.1). Пусть - последовательность непрерывных функций, являющихся приближениями для так, что

где при . Пусть функция реализует минимальное значение сглаживающего функционала , где ( не зависит от n). Тогда для найдется такое, что при справедливо неравенство

(2)

Численное решение уравнение Фредгольма первого рода

Рассмотрим уравнение:

(5.1)

с замкнутым ядром . Как было показано уравнение Фредгольма первого родя является некорректно поставленной задачей. Малые возмущения функции , неизбежные, например, при экспериментальном определении этой функции или даже при округлении чисел в процессе счета на компьютере, могут приводить к существенным изменениям функции или к тому, что решения уравнения вообще не существует. Как было показано, в этом случае следует использовать методы регуляризации. Метод регуляризации рекомендует в качестве приближенного решения использовать функцию , реализующую минимальное значение сглаживающего функционала

(5.2)

При применении метода регуляризации б и как находить при заданном б?

1. Определение при заданном б. При фиксированном значении б функция может быть определена двумя способами:

a) методами минимизации функционала , например, методом скорейшего спуска, методом сопряженных градиентов и др.;

b) решением краевой интегро-дифференциальной задачи

определяющей экстремали функционала (5.2).

Замечание. Если на функцию в задаче (5.1) накладываются дополнительные ограничения, например, требование, чтобы не выходило за пределы определенной области, то применяется лишь первый способ.

Задачу (5.2), вообще говоря, приходится решать приближенно с использованием конечно-разностной аппроксимации. Мы рассмотрим простейший случай p=q=1. Решение строим в области . Вводим равномерную сетку по x и по s. Узлы сетки по . Узлы сетки по . Шаг сетки по х равен

, шаг сетки по s равен

. Тогда функционалу будет соответствовать сумма

, (5.3)

где

.

Величина зависит от выбора . Минимальное значение достигается при , определяемых из условия

. (5.4)

Для удобства записи введем два числа: и , считая , а . Тогда, вычисляя производные из (5.3) и приравнивая из согласно (5.4) нулю, получаем

(5.5)

где

, .

Полученная задача (5.5) представляет собой разностную схему, соответствующую задаче (2.10), (2.6). Эта схема имеет порядок аппроксимации . Соотношения (5.5) являются системой алгебраических уравнений и могут быть решены, например, методом исключения Гаусса.

2. Выбор параметра регуляризации б. Пусть решается уравнение (5.1), причем точное значение функции f неизвестно, но задана функция и оценка погрешности д такие, что , а . Пусть - функция, реализующая минимальное значение сглаживающего функционала при значении параметра реализации б. Если выбрать б слишком малым, то в выражении (2.6) влияние регуляризующего слагаемого

будет малым и решение окажется "сильно разболтанным". Если же б выбрать чересчур большим, то, наоборот, решение окажется "заглаженным".

Проиллюстрируем сказанное на примере интегрального уравнение

(5.6)

Где .

Ядро подобного типа встречается в задачах гравиметрии.

Положим . Тогда из (5.6) можно вычислить f(x) с заданной степенью точности, например, д=0,001. Попытаемся теперь, располагая приближенным значением f(x), восстановить y(x), т.е. решить интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

На рис.1 представлены результаты расчета, которые получаются непосредственным применением конечно-разностного метода без регуляризации. Использовалась разностная схема

(5.7)

Сплошная кривая на рисунке представляет собой график точного решения

.

Числа, помеченные возле вертикальных линий, представляют собой значения , вычисленные из алгебраических уравнений (5.7). Как видно, эти значения сильно разбросаны и отвечающие им точки даже не умещаются в пределах чертежа, что отмечено стрелками. Эти точки не имеют ничего общего с графиком кривой , которую, как можно заключить, получить описанным путем не удается.

Рис. 1

На рис. 4 представлен результат решения той же задачи с применением метода регуляризации. На этом чертеже сплошная кривая снова означает график решения . Кривые I, II и III получены в результате выбора и соответственно.



Рис. 2

При этом видно, что кривая II в пределах точности чертежа совпадает с графиком точного решения. В случае I параметр б оказался чересчур большим, а в случае III - чересчур малым.

Чтобы избежать обеих нежелательных крайностей в выборе б, целесообразно использовать так называемый принцип невязки. А именно, рассмотрим функцию

, (5.8)

которая называется невязкой. Имеет место следующее утверждение: д(б) при б>0 является монотонно возрастающей дифференцируемой функцией б. При этом . Следовательно, уравнение с(б)= имеет единственный корень . Это значение б и следует выбирать в качестве регуляризации.

Итак, рассматриваемый алгоритм регуляризации состоит в том, что численными метода (например, методом Ньютона) ищется корень уравнения . При этом величина при нужных значениях б вычисляется согласно (5.8), где - функция, реализующая минимум .

Список использованной литературы

1. Методы решения некорректных задач. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.

2. Интегральные уравнения. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...