43

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

ОТЧЕТ

по курсовой работе

"Теория вероятностей и математическая статистика"

2011

Часть I. Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1

В партии из N деталей ровно M бракованных. Дайте ответы на следующие вопросы (запишите формулы и сделайте вычисления с подробными объяснениями):

а) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной?

б) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?

в) какова вероятность того, что из K₁ случайно выбранных из партии деталей ровно L₁ окажется бракованными?

г) какова вероятность того, что из K₂ случайно выбранных из партии деталей не более L₂ окажется бракованными?

д) какова вероятность того, что из K₃ случайно выбранных из партии деталей не менее L₃ окажется НЕ бракованными?

е) из партии выбрано случайно K₄ деталей, из них L₄ оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?

ж) из партии выбрано K₅ деталей, и которых не менее L₅ оказалось бракованными; какова вероятность того, что в последующей выборке из K₆ деталей бракованных окажется не более L₆ (предыдущая выборка в партию не возвращается)?

Числовые данные

N=140000, M=10920, K1=1097, L1=39, K2=1000, L2=10, K3=1107, L3=5, K4=517, L4=67, K5=917, L5=13, K6=423, L6=11

Решение:

a) Из N деталей можно выбрать один N способами, а один бракованный M способами, следовательно P=M/N=0.078.

б) Тут имеем событие, противоположенное событию из пункта а), => p=1-M/N= (N-M) /N=0.922.

в) Ясно, что если L1 > M, то невозможно, чтобы из K1 случайно выбранных деталей ровно L1 вышло бракованными. Пусть Из N деталей можно выбрать способами.

L1 бракованные детали надо выбрать из M, а остальные K1-L1 небракованные из N-M не бракованных. Количество выборов в 1-ом случае равно , во втором случае =>

По принцыпу умножения получим число выборов, в которых ровно L1 бракованные:

г) Если то ясно что в любой выборке не более M => не более L₂ элементов не бракованные. Пусть L₂ < M. Из N элементов можно выбрать K₂, способами. Пусть

любое целое число. Пусть X - число бракованных элементов среди выбранных K₂. Найдем Из M бракованных элементов можно выбрать способами, из N-M не бракованных можно выбрать остальные способами => по принцыпу умножения получим:

д) Если

Аналогично получим:

е) Тут речь идет о условной вероятности Аналогично пункта д) и используя формулу Байеса, получим:

.

ж) В данной задаче проведено два эксперимента:

I. Выбрали деталей из N;

II. Выбрали деталей из .

У первого эксперимента может быть исхода. Результаты второго эксперимента зависят от результатов первого.

Вероятность в первом эксперименте выбрать одну бракованную деталь равна . Пусть в первом эксперименте выбрали s бракованных деталей, . Вероятность выбрать s бракованных деталей в первом эксперименте (обозначим это событие ) можно вычислить по формуле Бернулли: , где . События составляют полную группу событий.

После проведения первого эксперимента в партии осталось деталей, из них бракованных. Вероятность выбрать одну бракованную деталь во втором эксперименте равна . Вероятность выбрать во втором эксперименте r бракованных деталей при условии, что в первом эксперименте их было s штук, равна , . Вероятность выбрать во втором эксперименте от 0 до () бракованных деталей при условии можно вычислить как сумму вероятностей событий {выбрали r бракованных деталей}, , то есть по формуле . Далее по формуле полной вероятности вычисляем вероятность события {выбрали от 0 до бракованных деталей}:

. Результат получен с помощью программы в математическом пакете Maple:

> P: =0: PHss: =0: for s from 13 to 917 do

PHs: =binomial (K5, s) *p^s*q^ (K5-s); #P (H_s)

p_s: = (M-s) / (N-K5);

q_s: =1-p_s;

P: =P+PHs*sum (binomial (K6, r) *p_s^r*q_s^ (K6-r), r=0. L6); # прибавляем P (H_s) *P (L_6|s) od:

Задача 2

"Неправильную" монетку (вероятность выпадения "орла" составляет A) подбрасывают N раз. Рассматриваются следующие величины: x - количество выпавших "орлов", y - количество выпавших "решек", , , . Ответьте на следующие вопросы об этих случайных величинах:

а) опишите распределения с. в. x, y, z₁, z₂, z₃; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии;

б) опишите условное распределение с. в. x|y;

в) в процессе подбрасывания на M-том броске оказалось, что уже выпало ровно L "орлов", какова вероятность того, что всего выпадет не более K решек?

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y;

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x² и y;

Числовые данные

A=0,69; N=252; M=142; L=80; K=55

Решение а) опишите распределения с. в. x, y, z₁, z₂, z₃; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии;

Решение. В данной задаче идет речь о независимых испытаниях () в каждом из которых событие А - выпал "орел" может появиться с вероятностью 0,69, а событие В - выпала "решка" с вероятностью 0, 31.

Случайные величины: x - количество выпавших "орлов", y - количество выпавших "решек" распределены по биномиальному закону:

вероятность того, что случайная величина примет значение, равное может быть вычислена по формуле

,

вероятность того, что случайная величина примет значение, равное может быть вычислена по формуле

.

Для того, чтобы найти математические ожидания, вторые моменты и дисперсии данных случайных величин, составим их производящие функции. Так как формула Бернулли получается из разложения бинома Ньютона, то очевидно, что

- производящая функция случайной величины ,

- производящая функция случайной величины .

Тогда для случайной величины имеем:

,

,

.

Тогда для случайной величины имеем:

,

,

.

.

Случайная величина - постоянная величина, принимающая значение, равное 252 с вероятностью 1.

Поэтому , . Случайная величина

, поэтому ,

.

б) опишите условное распределение с. в. x|y;

Решение. Вероятность может принимать только два значения.

, если и , если .

в) в процессе подбрасывания на 142-том броске оказалось, что уже выпало ровно 80 "орлов", какова вероятность того, что всего выпадет не более 55 решек?

Решение. Найдем вероятность того, что событие А - выпал "орел" в 142 испытаниях произошло ровно 80 раз. Для этого воспользуемся локальной формулой Лапласа:

, .

В нашем случае , , , .

Поэтому ,

.

.

Найдем вероятность того, что в 252 подбрасываниях выпадет не более 55 "решек", т.е. не менее 197 "орлов", используя интегральную формулу Лапласа

, , .

В нашем случае , , , .

Поэтому

,

.

.

Найдем вероятность того, что всего выпадет не менее 197 "орлов" при условии, что на 142-том броске уже выпало ровно 80 "орлов".

.

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y;

Решение. Ковариация двух случайных величин может быть найдена по формуле

.

Так как , то .

.

Поэтому

.

Следовательно,

.

Вычислим коэффициент корреляции

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x² и y;

Решение. Ковариация двух случайных величин x² и y может быть найдена по формуле

.

Так как , то .

.

,

Поэтому

.

Следовательно,

.

Найдем дисперсию случайной величины по формуле

.

.

Вычислим коэффициент корреляции

Задача 3

Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием L часов. Ответьте на следующие вопросы:

а) какова вероятность того, что лампа прослужит от m₁ до M₁ часов?

б) какова вероятность того, что прослужившая уже m₂ часов лампа прослужит еще не менее M₂ часов?

в) какова вероятность того, что средний срок службы для N₃ ламп составит не менее M₃ часов?

г) какова вероятность того, что для N₄ ламп срок службы составит от m₄ до M₄ часов?

Числовые данные

L=76; m1=75; M1=109; m2=77; M2=99; N3=820; M3=81; N4=890; m4=93; M4=139.

Решение

Плотность распределения величины X (срок службы электрической лампы) имеет вид:

,

где .

Функция распределения имеет вид:

,

a) ;

б) .

в) сроки службы ламп друг от друга независимы. Введём в рассмотрение событие - средний срок службы i-ой лампы составил не менее M3 часов. Интересующее нас событие , то есть одновременное наступление событий , то есть их произведение. Тогда по теореме о произведении вероятностей

г) так как события независимы,

Задача 4

Рассмотрите случайную выборку Xi из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы:

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-1; A)

б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-B; B)

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (c; C);

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального E_L распределения;

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (m, 1)

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (M, S);

ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов - K;

з) в каждом из пунктов (а) - (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) - (е) лучше описывает выборку?

Числовые данные

i1=-0,036;

i2=-0,809;

i3=0,315;

i4=-0,265;

i5=0,471;

i6=-0,386;

i7=0,576;

i8=-0,556;

i9=0,508;

i10=0,477;

K=3

Решение

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-1; A)

Решение. Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины математическое ожидание может быть вычислено по формуле . Точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое .

В нашем случае имеем .

б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-B; B).

Решение. Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины дисперсия может быть вычислено по формуле . Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия .

В нашем случае имеем

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (c; C);

Решение.

Запишем функцию плотности вероятностей

.

Пусть , тогда

Составим функцию правдоподобия:

если , , …, , т. е , то

.

Если , то , поскольку в этом случае хотя бы один из сомножителей указанного произведения обращается в нуль.

График функции правдоподобия при оценке параметра равномерного распределения имеет вид

Наибольшее значение функции правдоподобия находиться в точке , т.е. .

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального E_L распределения;

Решение. Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина имеет экспоненциальное распределение с плотностью

Применяя метод максимального правдоподобия, найдем точечную оценку для параметра .

Составим функцию правдоподобия

.

Применяя операцию логарифмирования, получаем

.

Следовательно, уравнение правдоподобия имеет вид

.

Применяя метод моментов, найдем точечную оценку для параметра .

Найдем математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение:

Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем .

Применяя два различных метода, мы получили один и тот же результат

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (m, 1).

Решение. Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и .

Тогда плотность вероятности имеет вид

.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.

Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (M, S);

Решение. Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и .

Тогда плотность вероятности имеет вид

.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.

Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем

Найдем дисперсию случайной величины :

.

Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия

.

Поэтому

ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов - 3;

Найдем максимальное и минимальное значения по выборке:

, .

Размах варьирования .

Рассмотрим три равных частичных интервала, в которые попадают все элементы выборки

	[-0,81; - 0,34]	[-0,34; 0,13]	[0,13; 0,6]
	3	2	5

з) в каждом из пунктов (а) - (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) - (е) лучше описывает выборку?

Решение.

	[-0,81; - 0,41]	[-0,41; - 0,01]	[-0,01; 0,39]	[0,39; 0,79]
	2	3	1	4

В пункте а) была найдена оценка параметра .

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке

,

Найдем теоретические частоты:

,

,

,

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона

[-0,81; - 0,41]	2	1,94	0,06	0,0036	0,0019
[-0,41; - 0,01]	3	1,94	1,06	1,1236	0,5792
[-0,01; 0,39]	1	1,94	-0,94	0,8836	0,4555
[0,39; 0,79]	4	1,94	2,06	4,2436	2,1874
сумма	10

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия (3,224<3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .

В пункте б) была найдена оценка параметра .

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке

,

Найдем теоретические частоты:

,

,

,

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона

[-0,81; - 0,41]	2	2,4	-0,4	0,16	0,0667
[-0,41; - 0,01]	3	2,4	0,6	0,36	0,15
[-0,01; 0,39]	1	2,4	-1,4	1,96	0,8167
[0,39; 0,79]	4	2,4	1,6	2,56	1,0667
сумма	10

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия (2,1001<3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .

В пункте u) была найдена оценка параметра .

Найдем плотность предполагаемого экспоненциального распределения

,

Найдем теоретические частоты:

,

,

,

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона

[-0,81; - 0,41]	2	8419603071104	-8419603071102	8419603071100
[-0,41; - 0,01]	3	10870723	-10870720	10870715
[-0,01; 0,39]	1	474,6	-473,6	472,6
[0,39; 0,79]	4	0,0007	3б9993	22849,14
сумма	10

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .

Так как наблюдаемое значение критерия значительно больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с экспоненциальным распределением на уровне значимости .

В пункте д) была найдена оценка параметра .

Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с парметрами 0,0295 и 1

,

Найдем теоретические частоты:

,

,

,

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона

[-0,81; - 0,41]	1	1,295	-0,295	0,16	0,067
[-0,41; - 0,01]	3	1,54	1,46	2,1316	1,38
[-0,01; 0,39]	1	1,57	-0,57	0,3249	0,21
[0,39; 0,79]	4	1,36	2,64	6,9696	5,12
сумма	10

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .

Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0, 0295 и 1 на уровне значимости .

В пункте е) была найдена оценка параметра ,

Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с парметрами 0,0295 и 0,48

,

Найдем теоретические частоты:

,

,

,

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона

[-0,81; - 0,41]	1	1,39	-0,39	0,1521	0,109
[-0,41; - 0,01]	3	2,89	0,11	0,0121	0,004
[-0,01; 0,39]	1	3,05	-2,05	4, 2025	1,378
[0,39; 0,79]	4	1,7	2,3	5,29	3,112
сумма	10

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .

Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0, 0295 и 0,48 на уровне значимости .

Из представленных распределений указанная выборка лучше всего согласуется с равномерным распределением на отрезке , т.к. в этом случае получено наименьшее наблюдаемое значение критерия.

Часть II. Математическая статистика (практикум)

Задание 1

По данной выборке X_i выполните следующие вычисления:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения;

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом моментов или/и методом максимального правдоподобия по выборке параметры основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

г) предположив, что выборка получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной;

Числовые данные

вариант:	6
i	Xi
1	0,15
2	-3,28
3	5,13
4	0, 19
5	-40,44
6	11,06
7	-2,17
8	0
9	0,26
10	-7,68
11	0,33
12	-8,03
13	0,37
14	23,67
15	44,56
16	-1,62
17	42,31
18	2,62
19	21,84
20	-1,7
21	-0,49
22	-0,2
23	0,35
24	-32,11
25	13,72
26	-0,02
27	-1,95
28	-12,02
29	-7,96
30	-2,97

Решение:

а) Построим гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения.

По данной выборке построим интервальный вариационный ряд, выделив пять частичных интервалов: - 40 - 23, - 23 - 6, - 6 - 11, 11 - 28, 28 - 45. Длина частичных интервалов . Полученный интервальный статистический ряд запишем в виде таблицы:

	-40 - 23	-23 - 6	-6 - 11	11 - 28	28 - 45
	2	4	18	4	2

Найдем плотность частоты и запишем в таблицу:

	-40 - 23	-23 - 6	-6 - 11	11 - 28	28 - 45
	2	4	18	4	2

Построим полигон и гистограмму:

Из интервального ряда составим вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов. Запишем полученный ряд в виде таблицы:

	-31,5	-14,5	2,5	19,5	36,5
	2	4	18	4	2

Построим выборочную функцию распределения , учитывая, что объем выборки .

Значения наблюдались 0 раз; следовательно, при .

Значения наблюдались 2 раза; следовательно, при . Значения наблюдались 6 раз; следовательно, при .

Значения наблюдались 24 раза; следовательно, при . Значения наблюдались 28 раз; следовательно, при .

Значения наблюдались 30 раз; следовательно, при .

Выборочная функция распределения имеет вид:

.

б) Вычислим выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии). Воспользуемся методом произведений, для чего составим расчетную таблицу: варианты записываем в первый столбец; частоты - во второй, сумму частот поместим в нижнюю клетку столбца

1	2	3	4	5	6	7
-31,5	2	-2	-4	8	-16	32
-14,5	4	-1	-4	4	-4	4
2,5	18	0	0	0	0	0
19,5	4	1	4	4	4	4
36,5	2	2	4	8	16	32

В качестве ложного нуля С выберем варианту 2,5. В клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем - 1; - 2, а под нулем - 1; 2.

Выборочные условные моменты -го порядка определим по формуле

; ; ;

.

;

;

;

Найдем центральные эмпирические моменты 3-го и 4-го порядка:

;

Найдем значения коэффициента асимметрии и эксцесс по соответствующим формулам:

;

в) оцените методом моментов или/и методом максимального правдоподобия по выборке параметры основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	0,15	-3,28	5,13	0, 19	-40,44	11,06	-2,17	0	0,26
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
-7,68	0,33	-8,03	0,37	23,67	44,56	-1,62	42,31	2,62	21,84
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
-1,7	-0,49	-0,2	0,35	-32,11	13,72	-0,02	-1,95	-12,02	-7,96	-2,97

1) экспоненциальное распределение: X~Exp (), .

.

2) нормальное распределение: X~. Параметр состоит из двух компонент: .

, .

3) равномерное распределение: X~R (a, b); q= (a, b).

, .

4) гамма - распределение: X~, (л>0, ). . Оценки получаются из решения системы:

Визуально можно определить, что лучше всего подходит нормальное распределение.

г) Предположив, что выборка получена из нормального распределения, протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной. При проверке гипотез будем использовать уровень значимости .

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при известной дисперсии. Предположим, что дисперсия известна и равна выборочной дисперсии. Выборочное среднее и выборочная дисперсия были вычислены в пункте б) данной задачи: , . Среднее квадратическое отклонение .

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Найдем наблюдаемое значение критерия .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область - двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . Найдем критическую точку из равенства .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии. Выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое были вычислены в пункте б) данной задачи: , .

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Найдем наблюдаемое значение критерия .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область - двусторонняя. По таблице распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы находим .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . Найдем .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . Найдем критическую точку из равенства .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Задание 2

По выборкам Xi, Yi выполните следующие вычисления:

а) найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции;

б) методом наименьших квадратов оцените параметры модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0};

в) методом наименьших квадратов оцените параметры модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите и сравните коэффициенты R²;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте близость эмпирического распределения остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с. в. Y, если известно значение с. в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений X_i и сравните с выборочными значениями Y_i.

Числовые данные

вариант:	6
i	Уi
1	0,77
2	-16,69
3	26,11
4	0,96
5	-205,9
6	56,3
7	-11,05
8	0
9	1,33
10	-39,1
11	1,68
12	-40,88
13	1,88
14	120,5
15	226,85
16	-8,25
17	215,39
18	13,34
19	111,18
20	-8,65
21	-2,49
22	-1,02
23	1,78
24	-163,5
25	69,84
26	-0,1
27	-9,93
28	-61, 19
29	-40,52
30	-15,12

Решение:

а) Найдем выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции.

По данной выборке построим интервальный ряд, выделив пять частичных интервалов: - 207 - 120, - 120 - 33, - 33 - 54, 54 - 141, 141 - 228. Полученный интервальный статистический ряд запишем в виде таблицы:

	-207 - 120	-120 - 33	-33 - 54	54 - 141	141 - 228
	2	4	18	4	2

Составим корреляционную таблицу для двумерной случайной величины .

		-163,5	-76,5	10,5	97,5	184,5
		-207 - 120	-120 - 33	-33 - 54	54 - 141	141 - 228
-31,5	-40 - 23	2	-	-	-	-	2
-14,5	-23 - 6	-	4	-	-	-	4
2,5	-6 - 11	-	-	18	-	-	18
19,5	11 - 28	-	-	-	4	-	4
36,5	28 - 45	-	-	-	-	2	2
		2	4	18	4	2

Выборочную ковариацию найдем по формуле:

.

(вычислено в задаче №12)

Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле:

б) методом наименьших квадратов оцените параметры модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0};

в) методом наименьших квадратов оцените параметры модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите и сравните коэффициенты R2;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте близость эмпирического распределения остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с. в. Y, если известно значение с. в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Yi.

б) Методом наименьших квадратов оценим параметры модели X=aY+b. а=0.2, b=-0.03.

в) Методом наименьших квадратов оценим параметры модели Y=kX+d. k=5.09, d=0.02.

г) R - коэффициент детерминации; это доля объяснённой дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения. .

При оценке модели регрессии X на Y получаем ; значит, почти 100% доля признака Y объясняется признаком Х. Аналогично получаем .

Остатки модели:

i	Уi	Xi
1	0,77	0,15	0,7821	0,124	-0,0121	0,026
2	-16,69	-3,28	-16,6766	-3,368	-0,0134	0,088
3	26,11	5,13	26,1303	5, 192	-0,0203	-0,062
4	0,96	0, 19	0,9857	0,162	-0,0257	0,028
5	-205,9	-40,44	-205,821	-41,21	-0,079	0,77
6	56,3	11,06	56,314	11,23	-0,014	-0,17
7	-11,05	-2,17	-11,0267	-2,24	-0,0233	0,07
8	0	0	0,0186	-0,03	-0,0186	0,03
9	1,33	0,26	1,342	0,236	-0,012	0,024
10	-39,1	-7,68	-39,0726	-7,85	-0,0274	0,17
11	1,68	0,33	1,6983	0,306	-0,0183	0,024
12	-40,88	-8,03	-40,8541	-8, 206	-0,0259	0,176
13	1,88	0,37	1,9019	0,346	-0,0219	0,024
14	120,5	23,67	120,4989	24,07	0,0011	-0,4
15	226,85	44,56	226,829	45,34	0,021	-0,78
16	-8,25	-1,62	-8,2272	-1,68	-0,0228	0,06
17	215,39	42,31	215,3765	43,048	0,0135	-0,738
18	13,34	2,62	13,3544	2,638	-0,0144	-0,018
19	111,18	21,84	111,1842	22, 206	-0,0042	-0,366
20	-8,65	-1,7	-8,6344	-1,76	-0,0156	0,06
21	-2,49	-0,49	-2,4755	-0,528	-0,0145	0,038
22	-1,02	-0,2	-0,9994	-0,234	-0,0206	0,034
23	1,78	0,35	1,8001	0,326	-0,0201	0,024
24	-163,5	-32,11	-163,421	-32,73	-0,0787	0,62
25	69,84	13,72	69,8534	13,938	-0,0134	-0,218
26	-0,1	-0,02	-0,0832	-0,05	-0,0168	0,03
27	-9,93	-1,95	-9,9069	-2,016	-0,0231	0,066
28	-61, 19	-12,02	-61,1632	-12,268	-0,0268	0,248
29	-40,52	-7,96	-40,4978	-8,134	-0,0222	0,174
30	-15,12	-2,97	-15,0987	-3,054	-0,0213	0,084

Протестируем принадлежность остатка модели регрессии Y=kX+d, k=5.09, d=0.02 к нормальному распределению. Будем использовать критерий Пирсона. Для этого разобьём область (-0.08, 0.022) на 5 интервалов с границами - 0.08, - 0.025, - 0.021, - 0.017, - 0.013, 0.022 и подсчитаем число элементов выборки, попавших в каждый интервал. Вычислим гипотетическую вероятность попадания в эти же интервалы случайной величины Z~N (0,0.02) (распределение остатков модели должно иметь математическое ожидание 0; дисперсия вычислена по выборке).

номер	середина	частота	теор. частота
1	-0.0525	6	11.74
2	-0.023	6	2.42
3	-0.019	5	1.52
4	-0.015	7	2.38
5	0.0045	6	10.48

По таблице можно заключить, даже не вычисляя реализацию статистики , что эмпирическая (выборочная) частоты слишком отличаются, чтобы принадлежать одному распределению. Всё же вычислим её: . Это значение соответствует очень малому уровню значимости (меньше 0.01), поэтому гипотезу следует отвергнуть.

Протестируем принадлежность остатка модели регрессии X=aY+b. а=0.2, b=-0.03 к нормальному распределению.

Будем использовать критерий Пирсона. Для этого разобьём область (-0.8, 0.8) на 5 интервалов с границами - 0.8, - 0.2, 0.025, 0.05, 0.1, 0.8 и подсчитаем число элементов выборки, попавших в каждый интервал.

Вычислим гипотетическую вероятность попадания в эти же интервалы случайной величины Z~N (0,0.305) (распределение остатков модели должно иметь математическое ожидание 0; дисперсия вычислена по выборке).

номер	середина	частота	теор. частота
1	-0.5	5	7.54
2	-0.0875	7	8.30
3	0.0375	6	0.97
4	0.075	6	1.90
5	0.45	6	11.01

, поэтому гипотезу о принадлежности остатков модели к нормальному распределению следует отвергнуть.

Построим доверительный интервал для математического ожидания величины Y следующим образом:

ковариация корреляция доверительный интервал

,

где - стандартная ошибка групповой средней , , - выборочная остаточная дисперсия (дисперсия остатка модели); статистика при примет значение 2.05. Таким образом,

или .

Построим график зависимости ожидаемых значений Y при известных значениях Х.

Как и следовало ожидать (судя по величине остатков моделей), графики на рисунке выше неразличимы.

Размещено на Allbest.ru

...