Двовимірні інтерполяційні многочлени та ланцюгові дроби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі

2. Подвійні різниці для функції двох змінних

3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних

4. Інтерполяційний многочлен Лагранжа у випадку функції двох змінних

5. Двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби

Результати і висновки

Література

Додаток

Вступ

Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи, будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі - апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів апроксимації функцій. Це пов'язано з тим, що ці апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Взагалі потрібно відмітити, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких і спроби обєднати слабкі, електромагнітні, сильні та гравітаційні взаємодії у фізиці і проблеми ефективної компресії аудіовізуальної інформації на підставі аналізу спектра сигналу в обчислювальній математиці та ще багато інших не менш цікавих задач. інтерполяційний многочлен ланцюговий дроб

В даній кваліфікаційній роботі розглядаються два найбільш часто вживані підходи до інтерполяції функції двох змінних - двовимірні інтерполяційні многочлени і двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби, доводяться деякі корисні для практичного використання твердження. Також зроблено спробу дати деяку загальну оцінку ефективності використання вищезгаданих методів на підставі результатів обчислювальних експериментів.

1. Постановка задачі

Поставимо у відповідність двом дійсним змінним x і y прямокутну декартову систему координат X0Y. Розглянемо в площині цієї системи прямокутну область . І нехай у цій області визначена деяка функція двох змінних . Розіб'ємо область на прямокутники за допомогою сукупності прямих, паралельних 0X та 0Y .

Для цього виберемо на проміжку множину точок

,

та на проміжку множину точок

.

Декартів добуток цих множин

буде утворювати множину інтерполяційних вузлів. Відповідні прямі та розбивають область D на прямокутники.

Нехай у вузлах задані значення функції . В цій же області D виберемо довільну точку . Процес обчислення в точках М, які не збігаються з вузловими, називається інтерполюванням. Обчислення значень в точках М, які лежать зовні області D, називають екстраполюванням.

Перейдемо до обчислення невідомого значення . Проведемо через точку М дві прямі AB i PQ, паралельні координатним осям. Розглянемо точки перетину їх з прямими та , які проходять через інтерполяційні вузли. Для визначеності зупинимося на прямій AB, паралельній осі 0Х. Вона перетинається з прямими в точках , де у - ордината точок перетину. Тепер, зафіксувавши значення і, та використовуючи значення функції для , ми зможемо звичайними методами інтерполяції, розробленими для функції однієї змінної, обчислити значення . Проробивши це на всіх прямих , ми отримаємо значення функції в точках перетину AB та сукупності прямих. Інтерполюючи по цих точках, ми знайдемо і - значення функції у точці перетину пунктирних ліній.

Аналогічно можна інтерполювати по значеннях функції на горизонтальних прямих і в такий спосіб знайти значення в точках перетину цих прямих з прямою PQ. Інтерполюючи по них, ми знову прийдемо до . Кінцевий результат не залежить від порядку, в якому виконується інтерполювання - чи спочатку горизонтальне, а потім вертикальне, чи навпаки - в обох випадках ми прийдемо приблизно до одного і того ж значення , оперуючи інтерполяційними формулами Ньютона, Стірлінга, Бесселя і їм подібними, обірваними на різницях одного порядку.

До тепер задачу двовимірної інтерполяції ми розв'язували у вузькому смислі, інтерполюючи спочатку відносно однієї змінної, а потім відносно іншої для відшукання значення в точках, не співпадаючих з вузловими. В загальному випадку задача інтерполювання функції від двох змінних може бути сформульована так: в точках (що є перетинами сукупності паралелей координатним осям) замкненої області D задані значення неперервної функції і потрібно наблизити її за допомогою неперервної функції , яка у всіх даних точках приймає відповідно задані значення і зображує в інших точках D функцію точно або наближено.

Співставимо поверхню з прямокутною системою координат. Щоб уявити собі геометричний зміст інтерполювання, достатньо побудувати поверхню , яка проходить через точки .

Оскільки значення апроксимуючої функції в точках співпадають із значеннями , а в інших, взагалі кажучи, відмінні, точки ми і назвали вузловими точками. Геометричний зміст інтерполювання виражається в тому очевидному факті, що поверхня замінюється апроксимуючою поверхнею . Щоб оцінити точність інтерполяції, необхідно оцінити різницю аплікат цих поверхонь в точках , не співпадаючих з вузловими.

Далі розглянемо інтерполяційні агрегати у вигляді многочленів (які будемо називати інтерполяційними многочленами для функції двох змінних) і двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів, оскільки такі представлення є найчастіше вживаними і краще вивченими.

Але перед тим як приступити до побудови двовимірної інтерполяційної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвійні різниці для функції двох змінних, які нам для цього знадобляться.

2. Подвійні різниці для функції двох змінних

Нехай задана функція і, крім того, задані такі значення аргументів і :

і .

Введемо поняття подвійних поділених різниць цієї функції. Поділені різниці функції ми можемо обчислити або по якій-небудь одній змінній, наприклад , або по обох змінних і .

Якщо послідовні поділені різниці функції утворюються по , то символом будемо позначати n-ту частинну різницю функції по змінній ; якщо ж різниці утворюються по y, то через будемо позначати m-ту частинну різницю функції по змінній . Так, наприклад, перша поділена різниця функції по змінній х має вигляд (у вважається сталою):

а різниця (х вважається сталою)



являє собою першу поділену різницю функції по у. Зробимо важливе зауваження щодо символів , , і . Якщо розглянути, наприклад, символ , то можемо відмітити, що цим символом позначається значення функції в точці площини Х0У, а не перша поділена різниця функції , як це прийнято позначати у випадку одновимірної інтерполяції. Такий же зміст мають і інші символи. Для поділеної різниці (n+m)-го порядку відносно обох змінних х (для значень х, рівних ) та у (для значень у, рівних ) ми будемо використовувати позначення:

Поділені різниці функції від двох змінних можуть бути отримані за допомогою формули для різниць функції від одної змінної. Власне ми можемо утворити певну суперпозицію двох таких формул:

Тут - значення в точці .

Із цих формул видно, що поділені різниці функції по змінних х та у є симетричними функціями параметрів таким чином, що вони не змінюються при яких завгодно їх перестановках. Наприклад:

.

3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних

Згідно загальної інтерполяційної формули Ньютона для функції однієї змінної маємо:

Але по тій самій формулі Ньютона ми можемо записати:



Таким чином отримуємо інтерполяційну формулу для , яка залежить від поділених різниць:

,

то залишковий член може бути переписаний у вигляді

(2)

Таким чином для функції, яка залежить від двох змінних, формула Ньютона приймає вигляд (1), причому залишковий член може бути представлений у вигляді (2).

За аналогією з одновимірним випадком, можна спростити залишковий член за допомогою значень похідних в деякій середній точці. Тоді можемо записати:



,

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел і

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел . Символами та позначені частинні похідні.

Тепер звернемо увагу ще на таке співвідношення:

,

де і знаходяться відповідно в тих самих межах, що згадані вище. Відмітимо, що невідомі числові значення і , які входять в дві перші формули, не рівні значенням і останньої формули. З цих формул отримуємо наступну формулу для оцінки похибки інтерполяції:



4. Інтерполяційний многочлен

Лагранжа у випадку функції двох змінних.

Розглянемо ще одну формулу інтерполювання без різниць - формулу Лагранжа. Вона пов'язана із значеннями функції в дискретних точках області D і часто є більш вигідною ніж попередньо розглянуті формули.

Для отримання потрібної нам формули досить побудувати многочлен степеня (степеня відносно x та степеня відносно y), що приймає в точках ті самі значення що і задана функція. Якщо цей многочлен ми приймемо в якості інтерполяційного, то залишковий член відповідної інтерполяційної формули не буде нічим відрізнятися від залишкового члена попередньо виведеної формули Ньютона.

Розглянемо многочлен степеня :

, .

то многочлен приймає значення у вузлах інтерполяції.

Тому має місце формула

Це і є інтерполяційна формула Лагранжа для функцій двох змінних. Вона є точною для многочленів, степінь яких по не перевищує , а по y - не перевищує .

5. Двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби

Розглянемо ще один спосіб двовимірного інтерполювання функцій - двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби. Нехай маємо дві послідовності дійсних чисел і . Ланцюговим дробом називається вираз вигляду

,

а n-м підхідним дробом ланцюгового дробу називається вираз вигляду



Нехай маємо функцію задану своїми значеннями у вузлах сітки (див. § 1). Позначимо

значення функції в інтерполяційних вузлах. За цими значеннями побудуємо двовимірний ланцюговий дріб такого вигляду:

, (3)

,

Твердження 1. Двовимірний інтерполяційний ланцюговий дріб (3) має коефіцієнтів, тобто кількість коефіцієнтів рівна кількості інтерполяційних вузлів .

Доведення. Випадок, коли доведено в [2]. Припустимо тепер, що . Введемо позначення . Всі коефіцієнти дробу (3) містяться в конструкціях , причому кожна така конструкція містить 1+(n-p)+(m-p) коефіцієнтів. Тоді весь двовимірний ланцюговий дріб містить таку кількість коефіцієнтів:



. Твердження доведено.

Згідно з [2], значення двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу (3) можна знайти за допомогою оберненого рекурентного алгoритму, який у цьому випадку формулюється так: спочатку вибираємо початкове значення , а всі наступні значення знаходяться за рекурентним співвідношенням

,

при ,

при .

Тоді значення дробу (3) буде дорівнювати

.

Скориставшись оберненим рекурентним алгоритмом, отримаємо дріб (3) у вигляді відношення двох многочленів від двох незалежних змінних х та у :



.

Згідно з [3] має місце наступне твердження.

Твердження 2. Двовимірний інтерполяційний ланцюговий дріб (3) є дробово-раціональною функцією двох незалежних змінних. Степені многочленів чисельника та знаменника по змінним х та у задовольняють нерівності:

, ,

, ,

.

Доведення. Доведемо за аналогією з [1], де подібне твердження було доведено для випадку . Перепишемо підхідний дріб у такому вигляді:

,

де, як і раніше, . В [4] доведено, що є многочлен степені , а степені . Виходячи з цього маємо, що r(k) та задовольняють наступні рекурентні співвідношення:



,

(4)

Припустимо, що . Вкладаючи співвідношення (4) одне в друге, отримуємо, що

,

так як . Оскільки , та при всіх s=1,2,…,k , то маємо

,,

отже .

Розглянемо випадок, коли . Тоді, користуючись формулою попереднього випадку, з (4) маємо:

отже . Тепер можемо об'єднати ці два випадки в одній формулі:



.

Ми довели твердження для степенів відносно х. Для степенів відносно у твердження доводиться повністю аналогічно.

Визначимо коефіцієнти дробу (3) виходячи з умови інтерполяційності двовимірного ланцюгового дробу, тобто

Для цього розглянемо квадратні матриці

де

де

Визначимо частинну обернену поділену різницю k-го порядку для функції двох змінних формулою

Твердження 3. Коефіцієнти двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу (3) задовольняють співвідношення



(5)

Доведення. Легко бачити, що формула (5) має місце для коефіцієнтів конструкції при довільному значенні і . Але коли один з індексів або рівен нулю (тобто розбиття по відповідній змінній має лише одну точку) а інший має довільне значення (назвемо такі розбиття лінійними), то і формула (5) має місце для всіх коефіцієнтів двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу. За допомогою методу математичної індукції доведемо, що формула (5) має місце для довільного розбиття, а не тільки для лінійного. Для цього спочатку покажемо, що навіть коли , ми маємо право на кожному кроці методу математичної індукції одночасно збільшувати розбиття по обох змінних на 1. Це так, оскільки довільне розбиття прямокутника, яке містить точок, може бути отримано з деякого лінійного розбиття додаванням однакової кількості точок n до розбиття по кожній координаті. А оскільки у випадку лінійного розбиття справедливість формули доведено, то ми маємо можливість одночасно збільшувати розбиття по обох змінних на кожному кроці на 1.

Зробимо припущення, що (5) виконується і для інших значень , при і покажемо, що тоді (5) має місце і при . Для цього розглянемо інтерполяційний дріб виду:

(6)



Зробимо позначення

. (7)

Тоді (6) набуває вигляду

.

, то

, то в кінцевому результаті маємо:

. (8)

З іншого боку (7) є двовимірним інтерполяційним ланцюговим дробом. Він має n поверхів і його коефіцієнти, за припущенням, визначаються згідно з формулами .

Тут

.



З останньої формули та з формули (8) випливає, що , а тоді і . Отже формула (5) має місце і при

Твердження доведено.



Результати і висновки.

В цій роботі були розглянуті деякі цікаві властивості двовимірних інтерполяційних агрегатів. Зокрема були доведені твердження 1 - 3 (див. § 5), що дають відповіді на питання про кількість коефіцієнтів двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу, про степінь многочленів чисельника та знаменника цього дробу по змінним х та у а також вказують зручний спосіб обчислення його (дробу) коефіцієнтів.

Для проведення обчислювальних експериментів були складені дві програми, які реалізують алгоритми двовимірної інтерполяції многочленами і дробами. Саме дві, оскільки при одних і тих же початкових умовах (функція, область і набір вузлів) побудова двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів є значно менш ресурсоємним алгоритмом, і тому для дробів відкривається можливість перевірити точність при таких наборах інтерполяційних вузлів із заданої області, які містять в декілька разів (а то і в десятки разів) більше точок, ніж для многочленів. Але для порівняння результатів ці програми були об'єднані в одну, текст якої подано в додатку.

В ході обчислювальних експериментів було відмічено цікаві результати стосовно точності двовимірних інтерполяційних агрегатів, а саме : якщо при одновимірній інтерполяції із зростанням кількості точок розбиття проміжку похибка наближаючого агрегату прямує до нуля, то у випадку двох змінних можна спостерігати своєрідне “коливання” точності то в кращу, то в гіршу сторону. Найбільш яскраво це проявлялося при інтерполяції дробами і многочленами з вибором рівномірно розташованих на проміжках вузлах, але коли за вузли бралися корені многочлена Чебишева, то у многочленів збіжність значно покращувалася. Хоч такий вибір вузлів і не мав такого ж позитивного впливу на збіжність двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів. Нижче подано добірку результатів найбільш характерних обчислювальних експериментів. Вузли рівномірно розподілені по проміжках.



		Дроби	Многочлени
Nx	Ny	Абсолютна похибка	Відносна похибка	Абсолютна похибка	Відносна похибка
1	1	0.03359589352	0.17112619041	0.03359589352	0.17112619041
1	3	0.07979407980	0.55855855856	0.02794673681	0.12772351615
1	5	0.10256410257	0.71794871796	0.02794673681	0.12772351615
1	7	0.11327134404	0.79289940829	0.02794673681	0.12772351615
1	9	0.11948690916	0.83640836410	0.02794673681	0.12772351615
2	1	0.05513784461	0.38596491228	0.02794673681	0.12772351615
2	3	0.00149588631	0.01047120418	0.00286056709	0.01053077454
2	5	0.00367084735	0.02569593147	0.00286056709	0.01053077454
2	7	0.00496606522	0.03476245655	0.00286056709	0.01053077454
2	9	0.00580130529	0.04060913705	0.00286056709	0.01053077454
3	1	0.07979407980	0.55855855856	0.02794673681	0.12772351615
3	3	0.00010955319	0.00038036785	0.00039529924	0.00141131629
3	5	0.00057516716	0.00402617010	0.00029506299	0.00099681979
3	7	0.00121245188	0.00848716313	0.00029506299	0.00099681979
3	9	0.00174083342	0.01218583397	0.00029506299	0.00099681979
4	1	0.09367681499	0.65573770492	0.02794673681	0.12772351615
4	3	0.00024931439	0.00174520070	0.00029506299	0.00099681979
4	5	0.00000531018	0.00005369183	0.00002514144	0.00008248886
4	7	0.00002154654	0.00022136156	0.00002514144	0.00008248886
4	9	0.00003794714	0.00038368775	0.00002514144	0.00008248886
5	1	0.10256410257	0.71794871796	0.02794673681	0.12772351615
5	3	0.00057516716	0.00402617010	0.00029506299	0.00099681979
5	5	0.00000018143	0.00000086782	0.00000135931	0.00000910828
5	7	0.00000125315	0.00001130940	0.00000135931	0.00000910828
5	9	0.00000350675	0.00003164774	0.00000135931	0.00000910828
7	1	0.11327134404	0.79289940829	0.02794673681	0.12772351615
7	3	0.00121245188	0.00848716313	0.00029506299	0.00099681979
7	5	0.00000125315	0.00001130940	0.00000135931	0.00000910828
7	7	0.00000004615	0.00000032868	0.00000017397	0.00000055402
7	9	0.00000358960	0.00004242584	0.00000009208	0.00000028471
9	1	0.11948690916	0.83640836410	0.02794673681	0.12772351615
9	3	0.00174083342	0.01218583397	0.00029506299	0.00099681979
9	5	0.00000350675	0.00003164774	0.00000135931	0.00000910828
9	7	0.00000358960	0.00004242584	0.00000009208	0.00000028471
9	9	0.00000013991	0.00000085349	0.00000000610	0.00000001943
10	1	0.12170910661	0.85196374625	0.02794673681	0.12772351615
10	3	0.00196367204	0.01374570429	0.00029506299	0.00099681979
10	5	0.00024223355	0.00161644741	0.00000135931	0.00000910828
10	7	0.00000023596	0.00000152890	0.00000009208	0.00000028471
10	9	0.00000014410	0.00000103302	0.00000000358	0.00000001108
13	9	0.00000008845	0.00000106143	0.00000000032	0.00000000108
13	13	0.00000072990	0.00000584425	0.00000000000	0.00000000005
13	17	0.00000080456	0.00000965474	0.00000000001	0.00000000016
16	11	0.00001599424	0.00015846739	0.00000000001	0.00000000006
16	16	0.00000001111	0.00000009383	0.00000000002	0.00000000028
16	21	0.00001498932	0.00017987182	0.00000000023	0.00000000161
19	13	0.00000056491	0.00000677887	0.00000000007	0.00000000022
19	19	0.00000528137	0.00006163225	0.00000000063	0.00000000209
19	25	0.00010534941	0.00104050837	0.00000000649	0.00000004557
22	15	0.00080950002	0.00903666350	0.00000000040	0.00000000284
22	22	0.00001861083	0.00021805476	0.00000002366	0.00000027061
22	29	0.00043326054	0.00434224569	0.00000107388	0.00000753194
25	17	0.00007599610	0.00091195321	0.00000000647	0.00000002149
25	25	0.00002255252	0.00017865824	0.00000040086	0.00000130487
25	33	0.00113924460	0.00829969851	0.00003818874	0.00026419263

		Дроби	Многочлени
Nx	Ny	Абсолютна похибка	Відносна похибка	Абсолютна похибка	Відносна похибка
1	5	3.24426811700	0.25936524406	1.01605256300	0.22301819338
1	7	3.40559932930	0.27226297869	1.01605256300	0.22301819338
1	9	3.49484737320	0.27939797489	1.01605256300	0.22301819338
2	1	2.68626667810	0.45578318126	0.82009491140	0.10281705327
2	3	18.80114798500	1.56560230290	0.12197173822	0.02717768017
2	5	19.16101416800	1.59556894780	0.12197173822	0.02717768017
2	7	19.40883708000	1.61620556640	0.12197173822	0.02717768017
2	9	19.58095378700	1.63053800570	0.12197173822	0.02717768017
3	1	3.05789267090	0.51883756028	0.83628150464	0.12269426645
3	3	0.06996930280	0.01080601816	0.05658657866	0.01581389760
3	5	0.08203504677	0.00704388562	0.05658657866	0.01581389760
3	7	0.08972267137	0.00770397848	0.05658657866	0.01581389760
3	9	0.09405422454	0.00816904518	0.05658657866	0.01581389760
4	1	3.17211737340	0.53821824899	0.79886734924	0.11973821074
4	3	1.03475929090	0.31261102773	0.01438948907	0.00211114056
4	5	0.00355471962	0.00031632296	0.01431819926	0.00416439753
4	7	0.00918804694	0.00081761447	0.01431819926	0.00416439753
4	9	0.01359551656	0.00120982088	0.01431819926	0.00416439753
5	1	3.21977812530	0.54630492530	0.79279632362	0.12432859113
5	3	9.55544510300	3.18980551110	0.00170415189	0.00034142381
5	5	0.00314183322	0.00029351591	0.00139529149	0.00011178612
5	7	0.00431033543	0.00038839907	0.00139529149	0.00011178612
5	9	0.03366375800	0.00303340022	0.00139529149	0.00011178612
7	1	3.25691336130	0.55260572042	0.79279632362	0.12432859113
7	3	32.26359761300	7.93278873280	0.00034119813	0.00003441462
7	5	0.05321924076	0.00479552095	0.00014264755	0.00001670007
7	7	0.00023733490	0.00002177869	0.00014250720	0.00001291132
7	9	0.00023568401	0.00002712526	0.00014250654	0.00001291126
9	1	3.27024846460	0.55486830882	0.79279632362	0.12432859113
9	3	69.49991193600	15.55943330800	0.00033389464	0.00006804013
9	5	0.09294258014	0.00837494268	0.00000592170	0.00000056057
9	7	0.07396982892	0.02234701775	0.00000535759	0.00000123396
9	9	0.00000184251	0.00000046380	0.00000535753	0.00000134861
10	1	3.27377270390	0.55546627217	0.79279632362	0.12432859113
10	3	7.83307231320	1.71931817260	0.00033389464	0.00006804013
10	5	0.23649800997	0.02131054758	0.00000181598	0.00000039611
10	7	0.05229354757	0.00471210787	0.00000105605	0.00000025420
10	9	0.00002233167	0.00000201228	0.00000105624	0.00000009999
13	9	0.00024832765	0.00002237650	0.00000000026	0.00000000005
13	13	0.00000506715	0.00000147577	0.00000000032	0.00000000007
13	17	0.00014659991	0.00001320994	0.00000000064	0.00000000005
16	11	0.00048333000	0.00004355228	0.00000000070	0.00000000008
16	16	0.00000486751	0.00000038880	0.00000000124	0.00000000027
16	21	0.00005461043	0.00000492088	0.00000001956	0.00000000546
19	13	0.00015648101	0.00001682600	0.00000000279	0.00000000024
19	19	0.00028632679	0.00002521878	0.00000003170	0.00000000690
19	25	0.00130917979	0.00012314981	0.00000113749	0.00000009460
22	15	0.00152889619	0.00013776697	0.00000000694	0.00000000073
22	22	0.00010559520	0.00000999477	0.00000077299	0.00000017050
22	29	0.00103235420	0.00014429822	0.00004804310	0.00001075925
25	17	0.00055517971	0.00005002657	0.00000015058	0.00000001277
25	25	0.00015482755	0.00001228191	0.00000709665	0.00000065562
25	33	0.01349668484	0.00121616983	0.00113075808	0.00025518637

		Дроби	Многочлени
Nx	Ny	Абсолютна похибка	Відносна похибка	Абсолютна похибка	Відносна похибка
1	5	4.26907939530	17.87816751000	0.77006080103	0.62183905290
1	7	4.83361520380	20.24234601700	0.77006080103	0.62183905290
1	9	5.12793542530	21.47490829500	0.77006080103	0.62183905290
2	1	1.42228330920	3.02254143800	1.01399535600	1.11410280990
2	3	0.15632162120	0.06415054670	0.21484530706	0.11871176369
2	5	0.28194142289	1.18072200580	0.21484530706	0.11871176369
2	7	0.51708390515	2.16545812750	0.21484530706	0.11871176369
2	9	0.75004781791	3.14107077610	0.21484530706	0.11871176369
3	1	2.30535476520	4.89918588090	1.01399535600	1.11410280990
3	3	0.09176472039	0.04238921600	0.06539640478	0.03128964751
3	5	0.17569820465	0.73579374923	0.06539640478	0.03128964751
3	7	0.73466187588	3.07663710700	0.06539640478	0.03128964751
3	9	79.09689132800	380.08798010000	0.06539640478	0.03128964751
4	1	2.90459563450	6.17265252920	1.01399535600	1.11410280990
4	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
4	5	0.28002626897	0.53705649920	0.02489108276	0.01040309434
4	7	0.04300141810	0.02400531237	0.01943566269	0.00861810557
4	9	0.01423096801	0.06304978102	0.01943566269	0.00861810557
5	1	3.33597622860	7.08939373870	1.01399535600	1.11410280990
5	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
5	5	0.69992377026	2.44564002530	0.02489108276	0.01040309434
5	7	1.53412034830	5.66756148450	0.00630070928	0.00239054954
5	9	0.13401553659	0.46931770746	0.00562971113	0.00230654644
6	1	3.66058269750	7.77922571300	1.01399535600	1.11410280990
6	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
6	5	0.14469725263	0.19832791267	0.02489108276	0.01040309434
6	7	0.00561698967	0.01217388750	0.00630070928	0.00239054954
6	9	0.01485810612	0.05546550562	0.00151752540	0.00062174466
7	1	3.91335269300	8.31639561500	1.01399535600	1.11410280990
7	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
7	5	0.01787994274	0.02273281525	0.02489108276	0.01040309434
7	7	0.00144214882	0.00181531650	0.00630070928	0.00239054954
7	9	0.12231038591	0.23529649957	0.00043682666	0.00016573622
9	1	4.28100120770	9.09769766840	1.01399535600	1.11410280990
9	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
9	5	1.89664778000	5.54429034000	0.02489108276	0.01040309434
9	7	0.00134461999	0.00177290056	0.00630070928	0.00239054954
9	9	0.00203735867	0.00111929047	0.00043682666	0.00016573622
10	1	4.41874857770	9.39042917360	1.01399535600	1.11410280990
10	3	0.09176472039	0.04238921600	0.03856145467	0.13238636329
10	5	1.48196879600	7.62835064880	0.02489108276	0.01040309434
10	7	0.00136355600	0.00292328948	0.00630070928	0.00239054954
10	9	0.00297598149	0.01545415169	0.00043682666	0.00016573622
13	9	0.00069543510	0.00275054882	0.00005829893	0.00003019337
13	13	0.00027392765	0.00070918044	0.00000452265	0.00000203712
13	17	0.11173897594	0.58025598916	0.00000008337	0.00000004241
16	11	0.00175199608	0.00731898081	0.00001232315	0.00000586816
16	16	0.09013917967	0.43555212042	0.00000012244	0.00000006073
16	21	0.00299018253	0.01370788411	0.00000000668	0.00000000270
19	13	0.00823256220	0.04275136299	0.00000452265	0.00000203712
19	19	0.33355834717	1.44521831510	0.00000004082	0.00000001678
19	25	13.56242073500	70.42910312200	0.00000009110	0.00000004108
22	15	2.50542799090	10.28782744700	0.00000052091	0.00000022557
22	22	1.08020022150	4.46276280420	0.00000006356	0.00000024856
22	29	18.68560017800	58.05870534000	0.00000129594	0.00000638087
25	17	2.02301405420	4.89599099940	0.00000007170	0.00000003322
25	25	5.83107864430	14.10475514500	0.00000217103	0.00001063924
25	33	4.81327780630	21.20846306500	0.00015961665	0.00006759015

		Дроби	Многочлени
Nx	Ny	Абсолютна похибка	Відносна похибка	Абсолютна похибка	Відносна похибка
1	5	0.42019239733	0.44543897458	0.42019239733	0.44543897458
1	7	0.42019239733	0.44543897458	0.42019239733	0.44543897458
1	9	0.42466450399	0.46702486058	0.42019239733	0.44543897458
2	1	0.83600386078	5.92406330110	0.15385417502	0.16309825307
2	3	5.88628093420	9.40094430390	0.06063309017	0.14414041441
2	5	5.87684104480	9.38586791250	0.06063309017	0.14414041441
2	7	5.86902692020	9.37338802060	0.06063309017	0.14414041441
2	9	5.86379682380	9.36503506470	0.06063309017	0.14414041441
3	1	1.16216189560	8.23527373310	0.12204034772	0.12222953130
3	3	0.00988774799	0.01044588627	0.00780858107	0.00803403289
3	5	0.09934612377	4.87489726800	0.00755833044	0.00798497901
3	7	0.09691959719	0.18381617200	0.00755833044	0.00798497901
3	9	0.11695957224	0.22182367109	0.00755833044	0.00798497901
4	1	1.32444698390	9.38525303500	0.12204034772	0.12222953130
4	3	3.26029124940	81.07216489900	0.00133891340	0.00151731576
4	5	6.86726471330	7.55227553800	0.00091149442	0.00145574232
4	7	0.05012243250	0.07002075592	0.00091149442	0.00145574232
4	9	0.04805377687	0.06713085566	0.00091149442	0.00145574232
5	1	1.42024470270	10.06409170600	0.12234472624	0.12234623195
5	3	0.73162692453	1.08838390500	0.00050780987	0.00053288513
5	5	0.00018796377	0.00028940932	0.00008858800	0.00009698901
5	7	0.00661182760	0.00923668592	0.00008835252	0.00009810103
5	9	0.03168653343	0.05060637425	0.00008835252	0.00009810103
6	1	1.48315247610	10.50986671900	0.12230731157	0.12230881682
6	3	0.79645586809	4.95501497270	0.00050780987	0.00053288513
6	5	0.02572462874	0.03399120497	0.00000944829	0.00001070722
6	7	0.00021033504	0.00032385454	0.00000837868	0.00001246430
6	9	0.00052356989	0.00062622846	0.00000837868	0.00001246430
7	1	1.52752416390	10.82429192600	0.12230227980	0.12230378499
7	3	0.65840690474	0.86998511345	0.00050822742	0.00053691557
7 <...

Подобные документы

• Інтерполювання функцій

  Сутність інтерполяційних поліномів. Оцінка похибок інтерполяційних формул, їх застосування. Програма обчислення наближених значень функції у випадку, коли функція задана таблично, використовуючи інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів.
  
  курсовая работа [956,4 K], добавлен 29.04.2011
  

• Екстремум функцій двох змінних

  Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
  
  курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014
  

• Застосування частинних похідних

  Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
  
  реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011
  

• Чисельне інтегрування функцій. Метод Сімпсона

  Будування сіткової функції. Методи прямокутників і трапецій, підвищення їх точності. Інтерполяційний многочлен Лагранжа другого степеня. Формула Сімпсона для чисельного інтегрування. Похибка формули Сімпсона. Обчислення наближеного значення інтеграла.
  
  презентация [99,6 K], добавлен 06.02.2014
  

• Функція, її границя та неперервність

  Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
  
  реферат [289,8 K], добавлен 01.05.2011
  

• Числа "е" та "пі"

  Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
  
  курсовая работа [584,5 K], добавлен 18.07.2010
  

• Похідна та диференціал функції

  Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
  
  презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015
  

• Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона с разделёнными разностями

  Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
  
  лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015
  

• Інтерполяція функцій. Поліноми Ньютона

  Кінцеві різниці різних порядків. Залежність між кінцевими різницями і функціями. Дискретний і неперервний аналіз. Поняття про розділені різниці. Інтерполяційна формула Ньютона. Порівняння формул Лагранжа і Ньютона. Інтерполяція для рівновіддалених вузлів.
  
  контрольная работа [75,6 K], добавлен 06.02.2014
  

• Математичні методи представлення знань

  Загальні формули прямокутників. Похибка методу прямокутників. Площа криволінійної трапеції. Формула парабол (Сімпсона). Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Формула трьох восьмих. Абсолютна похибка обчислення. Наближення підінтегральної функції.
  
  лабораторная работа [298,1 K], добавлен 26.03.2011
  

• Похідні та диференціали функції багатьох змінних

  Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
  
  реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011
  

• Вычислительная математика

  Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата. Интерполирование и экстраполирование данных, интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона, их основные характеристики и сравнительное описание.
  
  лабораторная работа [74,8 K], добавлен 06.08.2013
  

• Интерполяция функций

  Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени.
  
  лабораторная работа [70,8 K], добавлен 06.02.2004
  

• Интерполяция функций

  Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
  
  лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004
  

• Численные методы решения математических задач

  Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
  
  курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013
  

• Диференціал функції

  Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
  
  реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015
  

• Застосування формули Тейлора

  Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.
  
  курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015
  

• Обычные дроби

  Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.
  
  презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011
  

• Дроби

  Теоретико-методологические основы формирования математического понятия дроби на уроках математики. Процесс формирования математических понятий и методика их введения. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби.
  
  дипломная работа [161,3 K], добавлен 23.02.2009
  

• Многочлен Жигалкина

  Тождества, используемые для системы Жигалкина. Многочлен Жигалкина функции одной, двух и трех переменных. Содержание теоремы. Практический пример преобразования многочлена с помощью метода цепочки и неопределенных коэффициентов. Закон полного поглощения.
  
  контрольная работа [95,5 K], добавлен 06.08.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам