Функції та способи їх задання
Властивості функцій, поняття функціональної залежності. Області визначення та значення функції, заданої аналітично. Загальні властивості функцій, елементарні та складні функції. Визначення парної чи непарної функції. Графіки взаємно обернених функцій.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 13.11.2017 |
| Размер файла | 83,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Реферат
з предмету „Вища математика”
на тему:
Функції та способи їх задання
Поняття функціональної залежності
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.
Розглянемо дві змінні величини .
Означення: Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.
При цьому вважають, що:
х -- незалежна змінна або аргумент;
у -- залежна змінна або функція;
f -- символ закону відповідності;
D -- область визначення функції;
Е -- множина значень функції.
Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.
Означення: Функція у = F(u), де и = (х), називається складною функцією, або суперпозицією функцій F(u) та (х) і позначається у = F((х)).
Приклад: -- складна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, и = v2, v = sin x.
Означення: Нехай функція у = f(х) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f(x) і її позначають
Размещено на http://www.allbest.ru/
За означенням, для взаємно обернених функцій маємо
функція елементарний парний складний
Приклад: - взаємно обернені функції:
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).
Означення: Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається
неявною, якщо задана рівнянням F(x, у) = 0, яке не розв'язане відносно змінної y.
Приклад: Рівняння у+х+2у=0 визначає неявну функцію у від х.
Загальні властивості функцій
Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.
Приклад: Знайти область визначення функції
D(y)=(-1; 0)(0; 1] - природна область визначення. Якщо за умовою задачі х -- відстань, а це означає, що х 0, тоді D(y)==(0; 1] -- задана область визначення.
Означення: Функція у = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f(-x) =f(x) (f(-x) = -f(х)).
Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(-x)f(x).
Приклад: у = cos х -- парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо у(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx -- непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо у(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx -- ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо у(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Означення: Функція у = f(x) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f(x+Т) = f(x -T) = f(x), де число Т -- період функції.
Приклад: у = tgx -- періодична функція з мінімальним періодом Т = (див. рис. 3.5), бо tg(x +) = tg(х -) = tgx .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Означення: Функція у - f(x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 -- деяке скінченне число.
Приклад: y = arcsinx -- обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо
Означення: Функція у - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто
Приклад: у = loga х -- монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при а > 1 -- монотонно зростаюча (рис. 3.7).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Елементарні функції
Основні з них:
1) степенева у = ха;
1) степенева у = ха;
2) показникова у = ах, а > 0, а 1 (рис. 3.8);
3) логарифмічна у = logа х, а > 0, а 1 (рис. 3.7);
4) тригонометричні: у = cosx (рис. 3.2); у = sinx (рис. 3.9); у = tgx (рис. 3.5); у = ctgx (рис. 3.10);
5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = arccosx (рис. 3.4); у = arctgx (рис. 3.5); у = arcctgx (рис. 3.11).
Рис. 3.10 Рис. 3.11
Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад
- елементарна функція.
Означення: Функція у=у(х) називається алгебраїчною, якщо у(х) -- розв'язок рівняння
де Рі(х), i = (О,n) -- многочлени.
Приклад: Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння
Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.
Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.
Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен
Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів
або
План практичних занять
1. Функції, їх властивості та області визначення.
Термінологічний словник ключових понять:
Функція -- це така відповідність між множинами D та Е, при якій кожному значенню змінної xD відповідає одне й тільки одне значення.
Область визначення функції -- це множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції.
Навчальні завдання
1. Приклад: Знайти область визначення функції
Функція визначена, якщо х - 1 та 1+х > 0. Таким чином, областю визначення функції є: .
2. Приклад: Знайти область визначення функції
.
Перший доданок приймає дійсні значення при , а другий при . Розв'язавши одержану систему нерівностей, знайдемо область означення функції: .
3. Приклад: Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна: а) ; б) ; в)
а) Так як , то функція непарна.
б) Маємо
Функція парна
в) Тут Таким чином, функція не є ні парною, ні непарною.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.
курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015Беселеві функції з будь-яким індексом, з напівцілим індексом. Формули приведення для Беселевих функцій. Інтегральне подання функцій із цілим індексом. Ряди Фур'є-Беселя. Асимптотичне подання функцій із цілим індексом для більших значень аргументу.
курсовая работа [211,7 K], добавлен 28.12.2010Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Побудова сіткової функції при чисельному інтегруванні по заданій підінтегральній функції. Визначення формул прямокутників та трапецій; оцінка їх похибок. Використання методики інтегрування за методом трапецій для обчислення визначеного інтеграла.
презентация [617,4 K], добавлен 06.02.2014Дзета-функція Римана та її застосування в математичному аналізі. Оцінка поводження дзета-функції в околиці одиниці. Теорія рядів Фур'є. Абсолютна збіжність інтеграла. Функціональне рівняння дзета-функції. Властивості функції в речовинній області.
курсовая работа [329,1 K], добавлен 28.12.2010Перетворення Фур'є як самостійна операція математичного аналізу. Амплітудний і фазовий спектри розкладу інтегралу Фур'є для заданої неперіодичної функції. Комплексна форма інтеграла Фур'є. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції.
курсовая работа [235,5 K], добавлен 18.07.2010Скорочені, тупикові диз'юнктивні нормальні форми. Алгоритм Квайна й Мак-Класки мінімізації булевої функції. Геометричний метод мінімізації булевої функції. Мінімізація булевої функції за допомогою карти Карно. Побудова оптимальних контактно-релейних схем.
курсовая работа [287,0 K], добавлен 28.12.2010Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Теоретичні матеріали щодо визначення методів дослідження лінійної залежності та незалежності функцій, проведення дослідження лінійної залежності систем функцій однієї змінної за визначенням і з використанням визначників матриць Вронського та Грама.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 15.06.2013Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів, розрахунок функцій розподілу, математичного сподівання, кореляційної функції. Поняття та принципи вивчення одномірної функції розподілу відгуку, порядок конструювання математичної моделі.
контрольная работа [316,2 K], добавлен 08.11.2014Означення теорії множин. Дії над множинами. Алгебра множин. Вектори і прямий добуток множин. Властивості відношень. Способи задання функції. Сукупність підстановок множини. Алгебраїчні операції та системи. Властивості рефлексивності та симетричності.
конспект урока [263,1 K], добавлен 28.06.2012
