Матрицы и действия над ними

Размещено на http://www.allbest.ru/

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 35

Научное общество учащихся

Секция: Алгебра

Тема: «Матрицы и действия над ними»

Выполнил: Черногорцев Михаил,

Ученик 11 «Б» класса

Научный руководитель: Николаева Т. Е.,

учитель математики

Нижний Новгород 2015



Содержание

Введение

Историческая справка

Матрицы

Основные понятия

Типы матриц

Действия над матрицами

Определитель

Определитель 2-го порядка

Определитель 3-го порядка

Решение задач по изученному материалу

Заключение

Список литературы



Введение

Актуальность темы:

В настоящее время, при поступлении в высшее учебное заведение, очень часто приходится слышать фразу: «Забудьте всё, чему вас учили всё это время». Абитуриенты сталкиваются с тем, что не знают самого простого материала, у них он вызывает серьёзные проблемы. Поэтому выпускникам средней школы, стоит начинать познавать азы, ещё в самой школе. Будучи учеником, естественно-математического профиля я немного углубился в курс Высшей Математики.

Цель работы:

Получить начальные знания о матрицах и действиях над ними.

Задачи:

Разработать курс ознакомления старшеклассников с темой: «Матрица».



Историческая справка

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы

Основные понятия

Мамтрица -- математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Проще говоря, матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из каких - либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.

Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т.д.



Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Элементы обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

Размерность матрицы обозначается:

Таким образом -- элемент матрицы , находящийся на пересечении m-й строки и n-го столбца.

Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла, называют главной диагональю, другую диагональ называют побочной.

Основные типы матриц

Рассмотрим основные типы матриц:

· Если количество строк, в матрице, не равно количеству столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.

· Если количество строк, в матрице, равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

· Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого порядка, размерностью Матрица типа называется матрица - строка.

· Матрица типа называется матрица - столбец.

· Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные - нулю (обозначается буквой Е):

· Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.

· Диагональная матрица -- квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных -- нулевые.

· С каждой матрицей размера связана матрица

размера .Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так

Исходная матрица (размер 3 на 2)

Транспонированная матрица (размер 2 на 3)

Действия над матрицами

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Две матрицы и называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Ш Сложение (вычитание) матриц - Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового порядка, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются.

Свойства сложения матриц:

коммутативность: ;

ассоциативность:

сложение с нулевой матрицей:

существование противоположной матрицы:

Ш Умножение матрицы на число - При умножении матрицы на число получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы умножается на .



Свойства умножения матриц на число:

Ш Умножение матрицы на матрицу - Произведение матриц и определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , в противном случае произведение не существует.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов было во второй матрице.

Свойства умножения матриц:

ассоциативность:

некоммутативность:

произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей:

дистрибутивность:

ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число:

Определитель

Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы.

Определитель матрицы -- число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение: det A.

Рассмотрим правила вычисления определителей для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определитель 2-го порядка

матрица определитель умножение алгебра

Определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Вычисляется он следующим образом:

Определитель 3-го порядка

Существует несколько методов вычисления определителя 3-го порядка.

Разберём некоторые из них.

Метод треугольников:

Для вычисления определителя 3-го порядка существует следующее правило, схематически его можно изобразить так:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Правило Саррюса:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус",

т.е. получаем:



Решение задач по изученному материалу

1.Задание: Чему равен элемент матрицы,если

Решение: Находим элемент на пересечении второй строки и третьего столбца данной матрицы:

Таким образом, элемент = 7

Ответ: = 7

2.Задание: Найти ,если

,

Решение:

Ответ:

3.Задание: Вычислить и,если

,

Решение: Так как ,а ,то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица ,а это матрица вида

Вычислим элементы матрицы

Итак,

Произведение неопределенно, так как количество столбцов матрицы не совпадает с количеством строк матрицы.

Ответ:

4.Задание. Вычислить определитель методом треугольников

Решение:

Ответ:

5.Задание. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.

Решение:

Ответ:



Заключение

В результате моей работы, мне удалось самостоятельно разобраться в основах темы: «Матрицы и операции над ними», курса Высшей Математики. Прочитав множество источников, просмотрев множество сайтов, мне удалось систематизировать основные данные по этой теме. Очень надеюсь, что моя работа может помочь разобраться другим ученикам одиннадцатых классов, заинтересованных в этом.

Буду рад услышать ваше мнение о моей работе. Спасибо за внимание.



Список литературы

1. www.resolvehttp://www.resolventa.ru/metod/student/matrix.htm.

2. nta.ru/metod/student/matrix.htm.

3. http://pedsovet.su/load/34-1-0-31952.

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0).

5. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_6_16.php.

6. Баврин, Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов ВУЗов. М.: 2002.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Мир, 1969.

8. Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. Мн.: ЧИУП, 2003. 32 с.

Размещено на Allbest.ru

...