Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Линеаризация

1.1 Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением

1.2 Определите установившееся значение x=x^0

1.3 Постройте передаточную функцию линеаризованного звена. Как называется такое звено?

1.4 Найдите импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена

1.5 Решив полученное линейное дифференциальное уравнение, найдите переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале x(t)=1(t)

2. Разомкнутые системы

2.1 Определить, какие простейшие звенья можно выделить в составе звена с передаточной функцией

2.2 Чему равен коэффициент усиления этого звена в установившемся режиме?

2.3 Является ли звено устойчивым? Почему?

2.4 Является ли звено минимально-фазовым?

2.5 Построить асимптотическую ЛАФЧХ этого звена

2.6 Какой наклон имеет ЛАЧХ на нулевой частоте? На больших частотах? Почему?

2.7 Запишите модель этого звена в виде дифференциального уравнения

2.8 Записать модель этого звена в пространстве состояний

2.9 Построить переходную характеристику этого звена

3. Замкнутые системы

3.1 Используя критерий Гурвица, определить, при каких значениях и замкнутая система устойчива

3.2 Построить переходный процесс на выходе при выбранном значении

3.3 Оценить время переходного процесса и перерегулирование, показать их на графике

3.4 Является ли замкнутая система астатической? Почему?

3.5 Построить переходный процесс на выходе при выбранном регуляторе. Оценить время переходного процесса и перерегулирование, показать их на графике

3.6 Построить амплитудно-частотную характеристику полученной замкнутой системы и определить показатель колебательности



1. Линеаризация

1.1 Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением

.(1)

В номинальном режиме установившееся значение .

Решение

Запишем уравнение установившегося состояния для звена [1]:

.(2)

Предположим, что в исследуемом динамическом процессе переменная y изменяется так, что ее отклонение от установившегося значения y⁰ остается все время достаточно малым.

Обозначим указанное отклонение через . Тогда в динамическом процессе

.

Разложим функцию, стоящую в левой части уравнения (1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений. Уравнение (1) примет вид

.(3)

Вычтя из уравнения (3) уравнение установившегося состояния (2), получим искомое линеаризованное уравнение динамики:

,

,

. (4)

1.2 Определите установившееся значение

Решение

Определим из уравнения (2):

1.3 Постройте передаточную функцию линеаризованного звена. Как называется такое звено?

Решение

Перепишем уравнение (4), используя оператор p:

.

Передаточная функция звена:

.

Данное звено является апериодическим с k=0.59 и T=1.47.



1.4 Найдите импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена

Решение

Поскольку весовую функцию можно найти с помощью теоремы разложения:

. (5)

Полученная характеристика изображена на

1.5 Решив полученное линейное дифференциальное уравнение, найдите переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале

Решение

Переходная функция звена удовлетворяет выражению

.

Определим константу С из начальных условий (t=0):

,

,

Тогда ().

Рисунок 1 - Весовая и переходная функции звена

замкнутый линеаризованный импульсный гурвиц



2. Разомкнутые системы

2.1 Определить, какие простейшие звенья можно выделить в составе звена с передаточной функцией

.(6)

..

Итак, в составе звена с передаточной функцией (6) можно выделить два простейших звена: форсирующее звено первого порядка и колебательное звено.

2.2 Чему равен коэффициент усиления этого звена в установившемся режиме?

Коэффициент усиления в установившемся режиме можно определить из передаточной функции (6) при :

.

2.3 Является ли звено устойчивым? Почему?

Характеристическое уравнение звена

Определим корни характеристического уравнения:

Так как вещественная часть корней характеристического уравнения меньше нуля, то звено является устойчивым.

2.4 Является ли звено минимально-фазовым?

Определим корни числителя передаточной функции:

.

Звено является минимально-фазовым, если вещественные части корней числителя и знаменателя меньше нуля. Звено с передаточной функцией (6) не является минимально-фазовым.

2.5 Построить асимптотическую ЛАФЧХ этого звена

Составим комплексную передаточную функцию системы с передаточной функцией (6):

Выражение для ЛАЧХ имеет вид:

Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:

для форсирующего звена;

для колебательного звена.

Итак, .

При



;

при

;

при

Асимптотическая ЛАЧХ вместе с точной ЛАЧХ представлена на рисунке 3.

Рисунок 2 - Асимптотическая ЛАЧХ рассматриваемого звена

ЛФЧФ имеет вид:

.

ЛФЧХ представлена на рисунке 4.



Рисунок 3 - ЛФЧХ рассматриваемого звена

2.6 Какой наклон имеет ЛАЧХ на нулевой частоте? На больших частотах? Почему?

На нулевой частоте ЛАЧХ имеет наклон 0 дБ/дек. На высоких частотах наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек. Наклон ЛАЧХ на нулевой частоте определяется только интегрирующими и дифференцирующими звеньями. Если система имеет n дифференцирующих и m интегрирующих звеньев, то наклон ЛАЧХ на нулевой частоте равен . В рассматриваемом звене нельзя выделить ни дифференцирующих, ни интегрирующих звеньев, поэтому наклон ЛАЧХ на нулевой частоте отсутствует. На высоких частотах наклон равен , где m₁ - разность степеней знаменателя и числителя передаточной функции. В рассматриваемом звене степень числителя равна 1, знаменателя - 2, следовательно, наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек.

2.7 Запишите модель этого звена в виде дифференциального уравнения

Решение

.

2.8 Записать модель этого звена в пространстве состояний

Модель в пространстве состояний - это система дифференциальных уравнений первого порядка, к которой добавлены связи вектора состояния с входом и выходом системы. Для линейной системы она имеет вид

.

Здесь x - вектор состояния, u - вектор входных воздействий, y - вектор выхода, A, B, C, D - числовые матрицы.

Передаточная функции имеет вид

.

Представим отношение как

,

где

Передаточная функция соответствует дифференциальному уравнению

, (7)

а соответствует уравнению

. (8)

Введём переменные состояния , . Учитывая связь между ними из уравнений (7) и (8) получим систему:

,

которая записывается в форме модели в пространстве состояний с матрицами

, , , , .

2.9 Построить переходную характеристику этого звена

Как уже было отмечено, переходная функция - это реакция звена на единичное входное воздействие, т.е.

.

Тогда

Переходная характеристика

Переходная функция представлена на рисунке 5.

Рисунок 4 - Переходная функция рассматриваемого звена



3. Замкнутые системы

Пусть объект управления имеет передаточную функцию , регулятор - передаточную функцию , а измерительная схема - передаточную функцию . Нарисовать типовую блок-схему системы автоматического регулирования, обозначив задающий сигнал , сигнал управления , регулируемый сигнал , внешнее возмущение , сигнал обратной связи , сигнал ошибки .

Типовая блок-схема представлена на рисунке 6.

Рисунок 5 - Типовая блок-схема системы автоматического регулирования

Предположив, что и , построить передаточные функции

от входа к выходу ;

от входа к выходу ;

от входа к выходу ;

от входа к выходу .

Передаточная функция по задающему воздействию

.



Передаточная функция по управляющему воздействию

.

Передаточная функция для ошибки

.

Передаточная функция для возмущения

.

3.1 Используя критерий Гурвица, определить, при каких значениях и замкнутая система устойчива

Передаточная функция звена

Передаточная функция замкнутой системы (при )

Характеристическое уравнение имеет вид



или

,

.

т.е..

По критерию Гурвица система с характеристическим уравнением второй степени является устойчивой, если

или,

или,

.

Т.е. имеем геометрическое место точек. На рисунке 7 представлено это геометрическое место точек (заштриховано).



Рисунок 6 - Геометрическое место точек, соответствующее значениям k и h, при которых замкнутая система устойчива

Приняв , выбрать так, чтобы запас устойчивости по амплитуде был не менее 6 дБ, а запас по фазе - не менее 30°.

На рисунке 8 представлены точные ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой системы при , . Эти характеристики совпадают с характеристиками, представленными на рисунках 3 и 4.

Рисунок 7 - ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Коэффициент не обеспечивает необходимого запаса устойчивости по амплитуде в 6 дБ. Коэффициент устойчивости по фазе обеспечивается. Для обеспечения необходимой устойчивости по амплитуде необходимо сместить ЛАЧХ вниз на 1,9 дБ. Передаточная функция разомкнутой системы

Выражение для ЛАЧХ разомкнутой системы имеет вид

Для того чтобы обеспечить необходимый запас устойчивости по амплитуде, необходимо, чтобы

,

откуда

, , .

Примем . Тогда при и обеспечиваются необходимые запасы устойчивости, при этом запас устойчивости по фазе будет увеличен.

3.2 Построить переходный процесс на выходе при выбранном значении

Передаточная функция замкнутой системы при и из (9) имеет вид



Переходный процесс описывается следующим уравнением:

График переходного процесса представлен на рисунке 9.

Рисунок 8 - График переходного процесса

3.3 Оценить время переходного процесса и перерегулирование, показать их на графике

Из рисунка 9 видно, что время переходного процесса , . Перерегулирование примерно равно 135%.

3.4 Является ли замкнутая система астатической? Почему?

Система называется астатической, если в установившемся режиме отсутствует ошибка регулирования. Для того, чтобы система была астатической, необходимо, чтобы передаточная функция по ошибке имела множитель p. Передаточная функция по ошибке

Замкнутая система не содержит множителя p в числителе, т.е. система не является астатической.

Используя пропорционально-интегральный регулятор с передаточной функцией , с помощью критерия Гурвица определить, какие ограничения должны быть наложены на , чтобы система была устойчивой. Выбрать коэффициент , равный среднему арифметическому между минимальным и максимальным допустимыми значениями.

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (при ):

.

Критерий Гурвица для системы с характеристическим уравнением третьей степени записывается как

.

В данном случае получаем следующую систему неравенств:

.

Далее получим

.

Итак, определим интервал, в котором выполняются все условия системы неравенств. Это интервал .

Выберем для дальнейших расчётов.

3.5 Построить переходный процесс на выходе при выбранном регуляторе. Оценить время переходного процесса и перерегулирование, показать их на графике

Передаточная функция при имеет вид при k=0.25

Переходный процесс описывается следующим уравнением:



Переходный процесс смоделирован в Simulink. График переходного процесса представлен на рисунке 10.

Рисунок 9 - Переходный процесс на выходе системы

3.6 Построить амплитудно-частотную характеристику полученной замкнутой системы и определить показатель колебательности

Выражение для АЧФ имеет вид:

АЧХ замкнутой системы представлена на рисунке 11.



Рисунок 10 - ЛАЧХ замкнутой системы

Из рисунка 11 видно, что показатель колебательности .

Размещено на Allbest.ru

...