Генерирующие многочлены

Размещено на http://www.allbest.ru/

Генерирующие многочлены

Существует немного методов нахождения генерирующих полиномов. Наиболее известный из них - метод Kemper'a [2], использующий теорию инвариантов и минимальный базис. Помимо этого метода существует также метод Rikuna (он применил метод Kemper'a к случаю ,когда основное поле содержит примитивный корень n-ой степени из единицы) [7,8,9], метод Lacacheux [3], использующий теорию эллиптических кривых, метод Ledet'a [4,5,6], использующий свойства G-расширений. Интересно,что в [7] Rikuna получил генерирующие полиномы четных степеней над полями,содержащими первообразные корни из единицы,а Smith в [11], использовав резольвенты Лагранжа,получил генерирующие полиномы нечетных степеней над полями,содержащими первообразные корни из единицы.

Заметим,что приведенные выше методы не работают в характеристике 2.

Мы же приведем свой метод нахождения генерирующих полиномов, который позволит строить генерирующие полиномы для целого класса групп над любым полем.

Дадим вначале определение генерирующего полинома,согласно Kemper [2]:

Определение 1.(G.Kemper) Пусть К - поле и G - конечная группа. Назовем нормированный сепарабельный полином g( K[X] генерирующим для группы G над K, если выполняются следующие два свойства:

(1) Группа Галуа полинома g (как полинома от X над K (.

(2) Если L - бесконечное поле, содержащее K и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют такие L, что N является полем расщипления полинома g(,X) над L.

Докажем далее следующую основную теорему,благодаря которой мы построим генерирующие полиномы с группой Галуа изоморфной над полями Q и .

Теорема 1. Пусть над произвольным полем K существует -генерирующий полином K[] и - генерирующий полином K[]. Тогда над полем K существует и - генерирующий полином.

Доказательство. Рассмотрим полином g = . Этот полином является генерирующим. Действительно,пусть Е - поле для расщепления этого полинома над K = M, а - поля расщеплений соответственно полиномов над полем М. Так как - алгебраически независимы, то поля - линейно разделены над М и поэтому Е = , = М, следовательно:

многочлен генерирующий математический

Таким образом, 1 пункт определения генерирующего полинома выполняется (см определение 1,выше). Докажем,что и 2 пункт определения генерирующего полинома выполняется.

Пусть K L N - расширение полей, N/L - расширение Галуа с группой Галуа изоморфной . Пусть далее , - соответствующие под поля неподвижных элементов для . Так как - прямое произведение, то тогда = L, причем

Gal ( и Gal ( .

Следовательно, существуют такие специализации , … , , , … , - поле расщепление полинома (X,, … , ) над L, а поле - поле расщепление над L полинома g при указанных специализациях.

Можно получить неприводимый генерирующий полином для группы над бесконечным полем K, исходя из -генерирующего полинома и - генерирующего полинома из теоремы 1.

Пусть = K(, - - генерирующий полином над K степени n с корнями в его поле расщепления . Пусть = K ), = - -генерирующий полином над K степени m с корнями в его поле расщепления над . Имеем:

Gal((/) , Gal((/) .

Пусть далее, = = K(), тогда:

Gal((/) .

Предположим,что = +c,тогда можно выбрать с K так,чтобы все элементы (i = 1,2, … , n; j = 1,2, … , m) были различными. Составим полином:

Тогда степень degh = m•n и (,) = K( [12].

Таким образом, поле Е=() = ().

Коэффиценты полинома h выражаются рациональным образом через коэффициенты полиномов и ,следовательно, многочлен h [X] = = K[], degh = m•n, и так как выполняются следующие равенства:

[(] = m•n = [(],

то, заключаем, что многочлен h является неприводимым над полем .

Таким образом,доказана теорема:

Теорема 2. Пусть K - бесконечное поле и существует -генерирующий полином над K степени m и -генерирующий полином над K степени n. Тогда существует непроводимый над полем

= K()

- генерирующий полином степени m•n.

Из этих двух теорем вытекает следствие:

Следствие 3. При выполнении условий теоремы 1,если порядки групп взаимно просты,то в качестве элемента можновзять

+, где (I = 1,2,… ,n; j=1,2,… ,m).

Приведем новые примеры нахождения генерирующих полиномов над полями характеристики 0 и 2.

Пример 1. Если charK=2, то многочлены f(x,t) = и g(x,u) = +(+u+1)x + + u +1 есть генерирующие многочлены над полем K (см. [10]). Корнями первого полином является = и = . Корнями второго полинома являются

, = и

Непосредственные вычисления дают полином:

По теореме этот полином является генерирующим полином над полем charK=2.

Пример 2. Если charK ? 2, то многочлены f(x,t) = и g(x,u) = u + (u)x +1 есть генерирующие многочлены над полем K (см. [10]).

Пусть корнями первого полинома являются и , а корнями второго полинома являются Найдем полином h(t,u,x) без вычисления корневых полиномов, а именно: так как = + , то тогда корень полинома g(u,x), находим выражени для :

Далее ,подставив это выражение в f(x,t),мы легко получим полином шестой степени относительно . Заменяя на x,получим полином:

h(t,u,X) =

По теореме этот полином является генерирующим полиномом над полем charK ? 2.

Заметим,что специализации u = 2, t = 0; u= 2, t=2; u=5, t= 3 этого полинома приводят соответственно к полиномам:

h(0,2,X) =

h(2,2,X) =

h(3,5,X) = +121,

которые,ввиду своей неприводимости,имеют группу Галуа . Это также легко проверить на Maple.

Можно также найти генерирующий полином для группы над полем K характеристики равной два. Алгоритм построения следующий.

Пусть = +X + генерирующий поленом для группы над полем K с charK = 2,а = +X + другой генерирующий полином для группы над полем K, charK = 2,причем трансцендентные и алгебраически независимые над K элементы. Тогда понятно,что,б корень полинома в соответствуещем поле расщепления над K() (другой корень при этом (б+1)), аналогично, если в? корень поленома в соответствующем поле расщепления над K() (другой при этом?(в+1)), и если уравнение +b++ = 0 не имеет корня K, следовательно при этих условиях, K(б, в) ? расширение с группой Галуа .

Рассмотрим далее поле K() ? алгебраическое замыкание поля K(). Будем считать,что б,в K(). Пусть М = K(). Очевидно,что поля М(б) и М(в) линейно разделены над М.

Расширение М(б, в) является нормальным над М и М(б, в) = М(б)? М(в) (композит линейно - разделенных нормальных, сепарабельных расширений над М), поэтому Gal(M(б, в)/M) = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Очевидно,что группа Галуа

Gal(M(б, в)/M)={е,у,ф,уф},где:

е(б) = б, е(в)=в,

у(б)= б+1, у(в)=в,

ф(б) = б, ф(в)=в+1,

уф(б)=б+1, уф(в)= в+1.

Пусть и=бв. Т.к. сопряженные с ним элементы у(и)=(б+1)в, t(и)=(в+1)б, уф(и)= (б+1)(в+1) являются различными над М элементами, то и ?корень непроводимого над М полинома четвертой степени, имеющего своими корнями и, у(и), ф(и), уф(и). Найдем теперь вид этого полинома.

Т.к. и= бв,то б= , т.е. корень полинома . Таким образом, подставив это выражение в , мы найдем, что в = . Подставив это выражение для в в (в корень этого поленома),мы получим уравнение четвертой степени,которому удовлетворяет элемент и. Заменяя теперь и на X, мы получим полином:

f(X)=.

Предложение 4. Полином f(X) является генерирующим полиномом над бесконечным полем K характеристики 2 для группы Галуа .

Доказательство. Пусть L расширение поля K, N/L некоторое - расширение Галуа. Пусть и какие-либо его различные квадратичные подполя. Тогда поле расщепления над L полинома = +X+ при некоторой специализации L и пусть ? один из корней полинома, полученного в результате специализации из : = +X + L [x]. Аналогично после расщепления над L полинома (X)= +X + при некоторой специализации L и пусть ? один из корней полинома, полученного в результате специализации из : = +X + L [x]. Тогда N=L(, и ясно,что при указанных специализациях L и L имеем = ? один из корней полинома f(X) и K( = K(,=N.

Заметим,что полином f(X) является непроводимым.

Аналогичным образом можно построить генерирующий полином над полем K характеристики 2 для группы (для этого достаточно,чтобы уравнения вида +b+=0, +с+=0 и +c+=0 не имели бы корней b, c, d K, а в качестве элемента и надо взять элемент и =бвг и проделать далее те же самые рассуждения,что и в предложении 6). Имеем:

f(X)=+()+(+)+ + (+++)+(++++) + +(+ ++ +) + .

Предложение 5. Полином f(X) (определенный выше) является генерирующим полиномом над бесконечным полем K характеристика 2 для группы Галуа .

После этого ясно,что таким же способом можно находить генерирующий поленом над полем характеристики 2 и для группы

 .

Благодаря теореме 1 автору удалось получить генерирующий полином для циклической группы 12 порядка , однако ввиду громоздкости этого полинома мы его не проводим в этой работе.

Замечание 1. Известна теорема существования генерирующего полинома для полупрямого произведения группы над бесконечным полем K, если существуют генерирующие полиномы для групп над этим же полем K [1]. Однако доказательство этой теоремы не является конструктивной и требует дополнительной информации.

Литература

1. Jensen,C., Ledet,A., Yui, N. Generic polynomials, constructive aspects of the inverse Galois problem, Mathematical Science Research Institute Publications, Cambridge,to appear. Генерирующие полиномы,конструктивные аспекты обратной задачи Галуа,Публикации Института Научно-Математического исследования, Кэмбридж.

2. Kemper,G., Mattig, E. (2000), Generic polynomials with few parameters, Генерирующие полиномы с несколькими параметрами. J. Symb. Comp., 30, 843-857.

3. Lecacheux, O. (1998), Constructions de polynomes generique a groupe de Galois resoluble, Общие конструкции групп многочленнов Галуа. Acta Arithmetica, 86, 207-216.

4. Ledet,A. (2001) , Generic polynomials for QC, QQ-extensions, J Algebra, 237,1-13.

5. Ledet,A. (1999), Generic polynomials for quasi-dihedral, dihedral and modular extensions of order 16, Proc.Amer.Math.Soc.,128,2213-2222.

6. Ledet,A. (2001) , Generic extensions and generic polynomials J. Symb. Comp., 30, 867-872.

7. Rikuna, Y. Explicit constructions of generic polynomials for some elementary groups, Определенные конструкции генерирующих полиномов для некоторых элементарных групп,to appear.

8. Rikuna, Y., Hashimoto, K. (2002), On generic families of cyclic polynomials with even degree, Manuscripta math., 107,no. 3, 283-288.

9. Rikuna, Y.(2002), On generic polynomials for the modular 2-groups, Proc Japan. Acad. Ser. A. Math. Sci., 78, no3, 33-35.

10. Serre, J.-P. (1992), Topics in Galois theory, Jones and Barthelett Pub., Boston.

11. Smith, G.W. Generic Cyclic Polynomials of Odd Degree, J.Comp. in Algebra,19, no 12, 3367- 3391.

Размещено на Allbest.ru