Простые числа. Решето Эратосфена
Составление "коллекции" простых чисел способом "решето Эратосфена". Формулирование и возможности разрешения проблемы Гольдбаха-Эйлера. Рассмотрение линейных, плоских и телесных фигурных чисел. История многоугольных и дружественных чисел в математике.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.12.2017 |
| Размер файла | 167,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Простые числа. Решето Эратосфена
Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.
Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.
Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число - это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".
Простых чисел бесконечное множество.
Числа - близнецы
Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.
В пределах первой сотни близнецы - это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений - тоже пока неизвестно.
Проблема Гольдбаха
В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.
50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.
Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:
Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.
Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".
12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;
162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.
Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха - Эйлера, но безуспешно.
Фигурные числа
Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.
Фигурные числа -- общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.
Различают следующие виды фигурных чисел:
Линейные числа -- числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Плоские числа -- числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесные числа -- числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …
Многоугольные числа
Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".
Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).
Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20,...
Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.
Дружественные числа
Дружественные числа - это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".
История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел - 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:
число математика эратосфен фигурный
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Этапы развития натуральных чисел. Сущность метода "решето Эратосфена" и проблемы Гольдбаха. Свойства, законы и закономерности фигурных, многоугольных, совершенных, дружественных, компанейских цифр. Мистические представления о значениях 666 и 1001.
реферат [169,9 K], добавлен 18.01.2011Применение способа решета Эратосфена для поиска из заданного ряда простых чисел до некоторого целого значения. Рассмотрение проблемы простых чисел-близнецов. Доказательство бесконечности простых чисел-близнецов в исходном многочлене первой степени.
контрольная работа [66,0 K], добавлен 05.10.2010Разработка индийскими математиками метода, позволяющего быстро находить простое число. Биография Эратосфена - греческого математика, астронома, географа и поэта. Признаки делимости чисел. Решето Эратосфена как алгоритм нахождения всех простых чисел.
практическая работа [12,2 K], добавлен 09.12.2009Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Вивчення властивостей натуральних чисел. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Дослідження основної теореми арифметики. Асимптотичний закон розподілу простих чисел. Характеристика алгоритму пошуку кількості простих чисел на проміжку.
курсовая работа [79,8 K], добавлен 27.07.2015Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Исторические факты исследования простых чисел в древности, настоящее состояние проблемы. Распределение простых чисел в натуральном ряде чисел, характер и причина их поведения. Анализ распределения простых чисел-близнецов на основе закона обратной связи.
статья [406,8 K], добавлен 28.03.2012Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
задача [28,3 K], добавлен 07.06.2009Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.
презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013Поиски и доказательства простоты чисел Мерсенна. Окончание простых чисел Мерсенна на цифру 1 и 7. Вопрос сужения диапазона поиска. Эффективный алгоритм Миллера-Рабина. Разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные. Числа джойнт ряда.
статья [127,5 K], добавлен 28.03.2012Первая таблица простых чисел, составленная математиком Эратосфеном. Периодические цикады как род цикад с 13- и 17-летними жизненными циклами, распространенных в Северной Америки. Принцип действия кредитной карты. Закономерности и свойства простых чисел.
научная работа [25,8 K], добавлен 28.01.2014Числа натурального ряда, их закономерное периодическое изменение: сведение бесконечного к конечному путем выявления периодичности. Обоснование метода поиска простых чисел с помощью "решета" Баяндина. Закон динамического сохранения относительных величин.
книга [359,0 K], добавлен 28.03.2012Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Важная роль простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании. Необходимость закономерности распределения ПЧ в ряду натуральных чисел. Цель: найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом закономерность среди
доклад [217,0 K], добавлен 21.01.2009Делимость в кольце чисел гаусса. Обратимые и союзные элементы. Деление с остатком. Алгоритм евклида. Основная теорема арифметики. Простые числа гаусса. Применение чисел гаусса.
дипломная работа [209,2 K], добавлен 08.08.2007Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Понятие и специфика Аддитивной теории чисел, ее содержание и значение. Описание основных проблем Аддитивной теории чисел: Варинга, Гольдбаха, Титчмарша. Методы решения данных проблем: редукция к производящим функциям, исследование структуры множеств.
курсовая работа [150,0 K], добавлен 18.12.2010История отрицательных чисел: их отрицание в Древнем Египте, Вавилоне, Греции, узаконивание в Китае и Индии. Математические действия с ними. Подходы к определению положению нуля как натурального числа. Изучение отрицательных чисел в школьной программе.
презентация [178,6 K], добавлен 13.05.2011
