Двойственная геометрия распределения Картана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАРТАНА

Кузьмина Наталья Александровна

01.01.04 - геометрия и топология

Казань - 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аминова Ася Васильевна

доктор физико-математических наук,

профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 18 июня 2009 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «__» апреля 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент Липачёв Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

геометрия распределение картан

Постановка вопроса и актуальность темы. Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий.

История теории связностей начинается с работы Т. Леви-Чивита [24] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. В 1950 году В. В. Вагнер [6] и Ш. Эресман [23] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Г. Ф. Лаптев [9], следуя идеям Э. Картана [8], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.

А. П. Норденом [12] разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения.

В 1926 г. Э. Картан [19] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой ».

В работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [10], [13], [14] получила широкое развитие теория распределений m-мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве и пространстве проективной связности . В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [4], [5]. Ю. Г. Лумисте [11] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа.

В работе А. В. Столярова [16], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях ряда многообразий пространства проективной связности .

В. Т. Базылевым [1], [2] получена обширная теория многомерных сетей , погружённых в n-мерное проективное пространство .

Э. Картан [20], [21] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства выделил класс таких поверхностей , для которых число линейно независимых квадратичных асимптотических форм () на поверхности равно m и поверхность несёт сеть сопряжённых линий.

Чжень Шэн-шэнь [22] показал, что для поверхности Картана можно построить преобразования Лапласа. Этому результату дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [15], построив преобразования Лапласа для произвольных p-сопряжённых систем. Поверхность Картана есть частный случай p-сопряжённой системы.

Изучением поверхности Картана также занимались В. Т. Базылев [3], А. В. Столяров [17] и др.

Обобщая понятие поверхности Картана, нами вводится понятие «распределения Картана».

В проективном пространстве рассмотрим распределение M касательных элементов . В репере нулевого порядка система дифференциальных уравнений распределения M имеет вид [10] ().

Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм , на распределении равно m; 2) распределение M несёт m-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани попарно сопряжены относительно любого конуса направлений .

Такое распределение назовём распределением Картана M.

Объектом исследования настоящей работы являются распределение Картана M (главы I и II) и поверхность Картана (глава III) в 2m-мерном проективном пространстве .

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо: 1) исследования по изучению двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве ранее геометрами не проводились; 2) геометрия распределения Картана M в проективном пространстве до настоящего времени в математической литературе вообще не изучалась.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение двойственной геометрии поверхности Картана и распределения Картана M в проективном пространстве на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих основных задач:

1) построить основы двойственной геометрии распределения Картана M в проективном пространстве с существенным привлечением ассоциированного с M внутренним образом гиперполосного распределения H в ;

2) разработать основы теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных и нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана) распределения Картана M в проективном пространстве , а также найти пути приложения аффинных связностей к изучению сопряжённой ткани ;

3) проводить изучение двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве на основе привлечения её двойственного образа.

Методы исследования. В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [18] и метод нормализации А. П. Нордена [12]. Использование указанных методов позволило ввести в рассмотрение дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых подмногообразий до шестого порядка включительно.

Все исследования в работе проводятся в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. Встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие, а при доказательстве теорем существования - аналитическими. Следует заметить, что результаты по геометрии линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [7], [9].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что двойственная геометрия поверхности Картана и распределения Картана M в проективном пространстве до настоящего времени в математической литературе оставалась практически не изученной.

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении различных многообразий, погружённых в пространства более общей структуры, а также многообразий, несущих сеть (ткань) того или иного класса (типа).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве материала специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов по геометрии оснащённых подмногообразий в обобщённых пространствах, а также при написании ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2006-2008 гг.); на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2006-2008 гг.); на региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на XV международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.); на 5-й и 6-й молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения», (Казань, 2006-2007 гг.); на заседаниях Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2008-2009 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 14 печатных работах автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего 99 наименований. Полный объём диссертации составляет 129 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе вводится понятие распределения Картана M в . В разных дифференциальных окрестностях строятся различные поля геометрических объектов на распределении M, найдены их геометрические характеристики (гиперполосное распределение Картана, его двойственный образ, оснащения, поле соприкасающихся гиперквадрик).

В п. 1 §1 по аналогии с поверхностью Картана в вводится понятие распределения Картана M в проективном пространстве , приводятся дифференциальные уравнения распределения M, сопряжённой m-ткани в . Доказано, что: 1) сопряжённая ткань на распределении Картана во второй дифференциальной окрестности внутренним образом определена самим распределением Картана M в (теорема I.1); 2) если распределение Картана M в проективном пространстве голономно, то ткань голономна (теорема I.2); голономное распределение Картана M в () является m-сопряжённой системой в смысле Р. В. Смирнова [15].

В п. 2 §1 построены внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена и Э. Картана голономного и необязательно голономного распределения Картана M в .

В п. 1 §2 показано (теорема I.8), что с распределением Картана M в во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение H в , для которого исходное распределение M является базисным.

Найдены дифференциальные уравнения ассоциированного распределения H и условие его регулярности. Методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9] построены различные поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении H в .

Центральным результатом п. 2 §2 является теорема I.10: ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана H в проективном пространстве в четвёртой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство , двойственное исходному пространству относительно инволютивного преобразования структурных форм Пфаффа; 2) многообразие в , двойственное исходному распределению H.

Таким образом, двойственность ассоциированного гиперполосного распределения H в влечёт за собой двойственность геометрии исходного распределения Картана M в , являющегося базисным для H.

В пп. 1, 2 §3 строятся различные инвариантные оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана) распределения Картана M в с использованием ассоциированного гиперполосного распределения H. Доказано (теорема I.11), что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана H в и в равносильна нормализации другого, найдена связь между компонентами полей оснащающих объектов и подмногообразий H и .

С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения H в в четвёртой дифференциальной окрестности построены двойственные инвариантные нормализации [12] распределения Картана M в : нормализации Михэйлеску, Фубини и Вильчинского (теоремы I.12, I.12*, I.13, I.14).

В п. 3 §3 доказано (теорема I.15), что распределение Картана M в в четвёртой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик . Найдено условие соприкосновения третьего порядка гиперквадрик этого поля с распределением Картана M; этим условием является обращение в нуль тензора Дарбу .

Глава II посвящена построению основ теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных) на оснащённом распределении Картана M в проективном пространстве .

В §1 второй главы доказано (теорема II.1), что на нормализованном распределении Картана M в проективном пространстве индуцируются две двойственные аффинные связности и , причём эти связности обобщённо сопряжены относительно поля тензора вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению Картана. Пространство аффинной связности имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода (второго рода ) является голономным.

Найдены геометрические характеристики параллельного перенесения допустимого направления в аффинных связностях и вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению Картана M.

Найдены условия совпадения связностей и пространств и (теорема II.2): на распределении Картана M в с полем симметричного тензора аффинные связности и совпадают тогда и только тогда, когда ассоциированное распределение H является взаимным, нормализация M есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики имеют касание третьего порядка с распределением M.

Доказано (§2), что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана M в индуцируется первая проективная связность; найден тензор кривизны-кручения соответствующего пространства проективной связности .

Центральным результатом §3 является теорема II.4: при оснащении в смысле Э. Картана распределения Картана M в с полем симметричного тензора кроме первой проективной связности индуцируются ещё две линейные связности проективного типа, причём: 1) соответствующие пространства проективной связности и двойственны тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль; 2) пространства и являются двойственными.

Если пространства и являются двойственными, то все три пространства проективной связности , , попарно двойственны между собой.

Найдена геометрическая характеристика аналитического условия двойственности пространств и (теорема II.5): связности пространств и двойственны тогда и только тогда, когда при смещениях центра распределения Картана M в вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению M, смещение оси оснащающей плоскости Картана принадлежит характеристике оснащающего распределения гиперплоскостных элементов; при этом ось совпадает с осью Кёнигса .

Найдены инвариантные аналитические условия совпадения связностей пространств и , и . Доказаны следующие предложения:

- связности пространств и , индуцируемых при оснащении распределения Картана M в с полем симметричного тензора , совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства двойственны и тензор обращается в нуль (теорема II.6).

- условием совпадения связностей пространств и является одновременное обращение в нуль тензоров и (теорема II.7).

В §4 доказано (теорема II.8), что на распределении Картана M в , оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода индуцируются пять нормальных связностей (). В случае голономного или взаимного с полем симметричного тензора ассоциированного гиперполосного распределения H в связности и совпадают.

Справедливо предложение: если на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана M в оснащающая плоскость неподвижна, то нормальная связность является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.9).

Найдены условия совпадения нормальных связностей, индуцируемых на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана M в (теоремы II.10, II.11):

- нормальные связности и совпадают тогда и только тогда, когда нормализация распределения M является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик;

- нормальные связности , , вырождаются в одну тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают.

В §5 рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в нормальных связностях . Показано, что:

- на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана M в поле характеристик ассоциированного гиперполосного распределения H в является параллельным в каждой нормальной связности ;

- поле инвариантных прямых является параллельным в нормальной связности тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль;

- для распределения Картана M в в третьей дифференциальной окрестности существует единственная инвариантная внутренним образом определяемая нормализация M, поле инвариантных прямых которой является параллельным в нормальной связности .

В §6 второй главы найдены приложения двойственных аффинных связностей и пространств и к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана M в . Заметим, что сопряжённая ткань на распределении M называется вполне сопряжённой, если на M фундаментальный тензор симметричен.

Доказаны следующие предложения:

- двойственные поля m-мерных и -мерных гармонических плоскостей на распределении Картана M в , несущем вполне сопряжённую m-ткань , во второй дифференциальной окрестности задают двойственную внутренним образом определённую нормализацию подмногообразия M (теорема II.15);

- поля гармонических плоскостей и вполне сопряжённой m-ткани нормализуют распределение Картана M взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная ткань есть ткань Дарбу (теорема II.16);

- вполне сопряжённая m-ткань на распределении Картана M в есть ткань с совпавшими псевдофокусами (с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями ) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей она является геодезической тканью второго (первого) рода (теорема II.17);

- если ассоциированное гиперполосное распределение H в является голономным или взаимным, то исходное распределение Картана M в , на котором вполне сопряжённая m-ткань является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей и m-ткани нормализуют подмногообразие M взаимно (теорема II.18).

Глава III диссертации посвящена изучению двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве .

Материал п. 1 §1 носит реферативный характер; здесь даётся определение поверхности Картана в , приводятся дифференциальные уравнения поверхности и сопряжённой сети в ; при поверхность Картана в является m-сопряжённой системой [15] и существует с произволом в функций двух аргументов.

Показано, что с поверхностью Картана в в третьей дифференциальной окрестности внутренним образом ассоциируется гиперполоса , для которой данная поверхность Картана является базисной (п. 2 §1). Такая гиперполоса названа гиперполосой Картана , ассоциированной с поверхностью в . Найдены дифференциальные уравнение гиперполосы Картана в и условие её регулярности (теорема III.2).

В п. 3 §1 получен один из центральных результатов третьей главы (теорема III.3): ассоциированная регулярная гиперполоса Картана в в шестой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство , двойственное исходному пространству относительно инволютивного преобразования структурных форм Пфаффа; 2) многообразие в , двойственное исходному .

Следовательно, двойственность ассоциированной гиперполосы в влечёт за собой двойственность геометрии исходной поверхности Картана в , являющейся базисной для .

В §2 рассматривается нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в . Доказано (теорема III.4), что нормализация одной из регулярных гиперполос Картана в и в равносильна нормализации другой.

Показано (теорема III.5), что поверхность Картана в в пятой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик , причём в каждой точке касательная плоскость и характеристика полярно сопряжены относительно соответствующей локальной гиперквадрики. Условием соприкосновения третьего порядка гиперквадрик с поверхностью является обращение в нуль тензора Дарбу .

С помощью двойственного образа регулярной гиперполосы в в пятой дифференциальной окрестности построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана в (теоремы III.6, III.7).

В §3 третьей главы рассматриваются двойственные аффинные связности и на нормализованной поверхности Картана в и их приложения.

В п. 1 §3 доказано (теорема III.8), что на поверхности Картана в , нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна, индуцируются две аффинные связности и без кручения, двойственные относительно инволютивного преобразования форм связности. Эти связности сопряжены [12] относительно поля симметричного тензора . Связность , средняя по отношению к и , является вейлевой с полем невырожденного тензора .

Получен (§ 3, п. 2) ряд результатов по изучению внутренней геометрии взаимной нормализации поверхности Картана в :

1) показано (теорема III.9), что альтернированные тензоры Риччи и двойственных аффинных связностей и , индуцируемых взаимной нормализацией поверхности Картана в , совпадают; следовательно, геометрии этих связностей могут быть эквиаффинными лишь одновременно; условием их эквиаффинности является римановость средней связности ;

2) доказано (теорема III.10), что геометрии двойственных аффинных связностей и , индуцируемых нормализацией Фубини поверхности Картана в , являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова;

3) доказано (теорема III.11), что если для взаимной нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в тензоры Риччи двойственных аффинных связностей и совпадают , то данная нормализация является нормализацией Вильчинского .

Показано (теорема III.12), что двойственные аффинные связности и , индуцируемые на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в , совпадают тогда и только тогда, когда данная нормализация является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперквадрики этого поля с поверхностью имеют соприкосновение третьего порядка; при этом связность является римановой с полем метрического тензора .

В п. 3 §3 найдены приложения двойственных аффинных связностей к изучению геометрии сопряжённой сети на поверхности Картана в проективном пространстве . Имеют место следующие утверждения:

а) поля гармонических плоскостей и сопряжённой сети на поверхности Картана в нормализуют поверхность взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная сеть есть сеть Дарбу (теорема III.14);

б) сопряжённая сеть на поверхности Картана в есть сеть с совпавшими фокусами (с совпавшими фокальными гиперплоскостями ) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей она является геодезической сетью второго (первого) рода (теорема III.15);

в) поверхность Картана в , на которой сопряжённая сеть является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками поля тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей и сети нормализуют поверхность взаимно (теорема III.16);

г) если поверхность Картана в нормализована полями гармонических плоскостей сопряжённой сети , то обе внутренние геометрии могут быть квазиевклидовыми лишь одновременно (теорема III.18);

д) если поверхность Картана в , несущая сильно сопряжённую чебышевскую сеть первого и второго родов, нормализована полями гармонических плоскостей сети, то обе внутренние геометрии являются аффинными (локально) (теорема III.19).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказано, что с распределением Картана M в во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение H в , для которого исходное распределение M является базисным. Показано, что ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана H в проективном пространстве индуцирует проективное пространство , двойственное пространству и многообразие в , двойственное исходному распределению H.

2. Доказано, что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана H в и в равносильна нормализации другого. С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения H в в четвёртой дифференциальной окрестности внутренним инвариантным образом получен ряд двойственных [16] нормализаций [12] распределения Картана M в (нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского).

3. Показано, что на нормализованном распределении Картана M в проективном пространстве индуцируются две двойственные аффинные связности и , найдены их приложения к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана M. Доказано, что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана M в индуцируются три линейные связности проективного типа, причём соответствующие пространства проективной связности и являются двойственными, найдено условие двойственности пространств и . Получены инвариантные аналитические условия совпадения связностей пространств и , и . Показано, что на распределении Картана M в , оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода индуцируются пять нормальных связностей ; исследованы поля плоскостей на распределении Картана M, параллельные в этих нормальных связностях.

4. Доказано, что с поверхностью Картана в проективном пространстве внутренним образом ассоциируется гиперполоса , для которой данная поверхность Картана является базисной. Показано, что ассоциированная регулярная гиперполоса Картана в индуцирует проективное пространство , двойственное пространству , и многообразие в , двойственное исходному . Доказано, что нормализация одной из регулярных гиперполос Картана в и в равносильна нормализации другой. С помощью двойственного образа регулярной гиперполосы в построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана в . Найдены двойственные аффинные связности и , индуцируемые на нормализованной поверхности Картана в . Найдены пути приложения полученных аффинных связностей к изучению двойственной геометрии сопряжённой сети в .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1965. - № 243. - С. 29-37.

[2] Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1965. - С. 138-164.

[3] Базылев В. Т. О плоских сетях, присоединённых к поверхности Картана / В. Т. Базылев // Сибирский матем. журнал. - 1964. - Т. 5. - № 4. - С. 729-738.

[4] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. - Вильнюс, 1971. - Т. 11. - № 1. - С. 63-74.

[5] Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

[6] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - Москва, 1950. - Вып. 8. - С. 11-72.

[7] Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

[8] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. - Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

[9] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[10] Лаптев Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

[11] Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

[12] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976. - 432 с.

[13] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

[14] Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

[15] Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа p-сопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. - 1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.

[16] Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. - Чебоксары: Чувашский госпедин-т, 1994. - 290 с.

[17] Столяров А. В. О внутренней геометрии поверхности Картана / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград: Калининградский ун-т, 1976. - Вып. 7. - С. 111-118.

[18] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[19] Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. - 1926, 48. - P. 1-42.

[20] Cartan E. Sur les variйtйs de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. - 1919. - V. 47. - P. 125-160.

[21] Cartan E. Sur les variйtйs de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. - 1920. - V. 48. - P. 132-208.

[22] Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1944, 30. - № 4. - P. 95-97.

[23] Ehresmann C. Les connexions infinitйsimales dans un йspace fibrй differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). - Paris, 1951. - P. 29-55.

[24] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. - Palermo, 1917. - P. 173-205.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кузьмина Н. А. Инвариантные оснащения распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Пятой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. - Т. 34. - С. 140-142.

[2] Кузьмина Н. А. Распределение Картана / Н. А. Кузьмина // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела: тезисы регион. науч. конф. - Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2006. - С. 22-23.

[3] Кузьмина Н. А. Гиперполосное распределение, ассоциированное с распределением Картана / Н. А. Кузьмина // Математика. Образование: Материалы XV междунар. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. - С. 241.

[4] Кузьмина Н. А. К двойственной геометрии распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2007. - № 1 (9) - С. 7-12.

[5] Кузьмина Н. А. Двойственные нормализации распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2007. - № 3 (55) - С. 43-48.

[6] Кузьмина Н. А. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2007. - № 2 (10). - Т. 1. - С. 106-112.

[7] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 977 - В2007. - 18 с.

[8] Кузьмина Н. А. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Шестой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. - Т. 36. - С. 128-131.

[9] Кузьмина Н. А. Нормальные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 1173 - В2007. - 13 с.

[10] Кузьмина Н. А. Проективно-дифференциальная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 62-69.

[11] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 238 - В2008. - 35 с.

[12] Кузьмина Н. А. Двойственные аффинные связности на нормализованной поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2008. - № 2 (58). - С. 23-30.

[13] Кузьмина Н. А. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии сопряжённой сети на поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2008. - № 1 (11). - Т. 1. - С. 11-16.

[14] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 7. - С. 73-78.

Размещено на Allbest.ru

...