Двумерный случайный вектор

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Московский Авиационный Институт (национальный исследовательский университет)» (МАИ)

Курсовая работа

по предмету

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема: Двумерный случайный вектор

Группа: 7В-201С

Преподаватель: Степанян Карен Вартанович

Студент: Мищенко Вадим Владимирович

2017 г.

Краткие теоретические сведения

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C+)=c+ M()

2. Константу можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:



4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Начальными  и центральными  моментами порядка r непрерывной СВ X называются числа

r=1,2…,

r=2,3…

Центральный момент второго порядка называется дисперсией СВ X и обозначается как dx?D[X]? .Дисперсия dx характеризует степень рассеивания реализаций СВ X около ее МО.Дисперсию удобно вычислять по формуле:

двумерный дискретный случайный вектор



Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C)=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы двух случайных величин равно:

4.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

?

Этап I. Исследование двумерного дискретного случайного вектора.

Таблица распределения случайного вектора задана следующим образом

i\j	6	14
-3	1/5	3/10
0	1/15	1/10
3	2/15	1/5

Задание:

1. По заданному совместному распределению найти частные распределения компонент и , а также их основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

2. Построить график двумерной функции распределения.

3. Выяснить, являются ли компоненты вектора зависимыми. Если зависимы, то построить новый вектор с теми же частными распределениями, но независимыми компонентами.

4. Для обоих (если разные) векторов записать вектор математического ожидания, построить ковариационную и корреляционную матрицу.

5. Вычислить условные распределения в сечениях и найти соответствующие условные математические ожидания в сечениях; записать H(x) и G(y) как неслучайные функции заданные на множестве точек.

6. Построить наилучшие в среднеквадратичном оценку величины по и оценку величины по .

7. Проверить выполнения формулы полного математического ожидания для обеих оценок.

8. Найти точность оценивания для обеих оценок: и .

9. Найти точность оценивания для тривиальных оценок: и
.

10. Сравнить полученные в последних двух пунктах точности.

Расчетная часть по этапуI.

Таблица распределения случайного вектора

i\j	6	14
-3	1/5	3/10
0	1/15	1/10
3	2/15	1/5

1. Частные распределения по компонентам и их основные числовые характеристики.

Находим ряды распределения X и Y.

Пользуясь формулой ?P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

xi	-3	0	3
P	0.5	1/6	1/3	?Pi = 1

Математическое ожидание M[]:

M[] =? xiPi= (-3)*0.5 + 0*0.1/6 + 3*1/3 = -0.5

Для нахождения дисперсии найдем второй начальный момент:

M[]? =? xi?Pi= (-3)?*0.5 + 0?*0.1/6 + 3?*1/3= 7.5

Дисперсия D[]:

D[] =M()?- (M())?=7.5 - 0.52 = 7.25

Среднее квадратическое отклонение ?(x):

Пользуясь формулой ?P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

yi	6	14
P	0.4	0.6	?Pi = 1

Математическое ожидание M:

M= 6*0.4 + 14*0.6 = 10.8

Для нахождения дисперсии найдем второй начальный момент:

M? =? yi?Pi=6?*0.4 + 14?*0.6 = 132

Дисперсия D[Y]:

D= 62*0.4 + 142*0.6 - 10.82 = 15.36

Среднее квадратическое отклонение ?(y):

Поскольку, P(X=-3,Y=6) = 0.2=0.5*0.4, то случайные величины X и Y независимы. Исследование компонент и случайного вектора на независимость.

Если и являются независимыми компонентам, тогда должно выполняться равенство

следовательно, компоненты и являются независимыми.

Смешанные моменты 2-го порядка, ковариационная и корреляционная матрицы.

cov(X,Y) = M[X*Y] - M[X]*M[Y]

cov(X,Y) = 6*-3*0.2 + 14*-3*0.3 + 6*0*1/15 + 14*0*0.1 + 6*3*2/15 +

+ 14*3*0.2 -0.5 * 10.8 = 0

Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю.

Ковариационная матрица:

7.25	0
0	15.36

Коэффициент корреляции: r=0

Корреляционная матрица:

1	0
0	1

Вычисление условных распределений в сечениях

Условный закон распределения X(Y=6):

P(X=-3/Y=6) = 0.2/0.4 = 0.5

P(X=0/Y=6) = 1/15*5/2= 1/6

P(X=3/Y=6) = 2/15*5/2 =4/3

Условное математическое ожидание M[X/Y=6):

M[X/Y=y] = (-3)*0.5 + 0*1/6 + 3*1/3 = -0.5

Условный закон распределения X(Y=14):

P(X=-3/Y=14) = 0.3/0.6 = 0.5

P(X=0/Y=14) = 0.1/0.6 = 1/6

P(X=3/Y=14) = 0.2/0.6 = 1/3

Условное математическое ожидание M[X/Y=14):

M[X/Y=y] = (-3)*0.5 + 0*1/6+ 3*1/3 = -0.5

Условный закон распределения Y(X=-3):

P(Y=6/X=-3) = 0.2/0.5 = 0.4

P(Y=14/X=-3) = 0.3/0.5 = 0.6

Условное математическое ожидание M[Y/X=-3):

M[Y/X=x] = 6*0.4 + 14*0.6 = 10.8

Условный закон распределения Y(X=0):

P(Y=6/X=0) = 1/15*15/2 = 0.4

P(Y=14/X=0) = 0.1/1/15 = 0.6

Условное математическое ожидание M[Y/X=0):

M[Y/X=x] = 6*0.4 + 14*0.6 = 10.8

Условный закон распределения Y(X=3):

P(Y=6/X=3) = 1/6/1/3 = 0.4

P(Y=14/X=3) = 0.2/1/3 = 0.6

Условное математическое ожидание M[Y/X=3):

M[Y/X=x] = 6*0.4 + 14*0.6 = 10.8

Запишем функции H(x) и G(y) как неслучайные функции заданные на множестве точек

	3	0	-3
	10.8	10.8	10.8

	6	14
	-0.5	-0.5

Построениенаилучших оценок величины по , величины по .

Условное мат. ожиданиеявляется наилучшей среднеквадратичной оценкой одной величины от другой.

-0.5	-0.5
0.4	0.6

10.8	10.8	10.8
0.5	1/6	1/3

Проверка выполнения формулы полного математического ожидания.

Должно выполняться:

.

Должно выполняться:

= (-0.5*0.4)+(-0.5*0.6)=-0.5=

= (10.8*0.5)+(10.8*1/6)+(10.8*1/3)=10.8=

Условие выполняется.

Этап II. Расчет вероятности попадания случайного вектора в заданную область.

Требуется найти вероятность попадания двумерного гауссовского случайного вектора в область состоящую из двух прямоугольников. Координаты прямоугольников заданы в формате (левый, верхний, правый, нижний):

1ый (-1.9, 0.1, -0.4, -2.0);

2ой (0.3, 1.8, 1.1, 0.5)

Компоненты гауссовского вектора некоррелированы.

Дано:

1. Вариант № 6;

2. M=1,1;

3. =2,5;

4. M=-1,6;

5. =4.

Расчетная часть по этапу II.

Графическое изображение заданной области.

Вероятность попадания двумерного гауссовского случайного вектора в область, состоящую из прямоугольников D1 и D2равна сумме вероятностей попадания случайного вектора в каждый из прямоугольников.

Если СВ некоррелированы, то в случае нормального распределения они будут независимыми (доказательства в этой работе приводится не будут). Тогда получаем:

Центр рассеивания находится в точке (1.1, -1,6) и плотность вероятности двумерного вектора будет иметь следующий вид

Тогда вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник, ограниченный прямыми x=a, x=b, y=c, y=d,при условии независимости компонент, выражается так

Рассчитаем вероятность попадания вектора в каждый из прямоугольников:

Вывод

Эту задачу можно интерпретировать как вычисление вероятности поражения цели, состоящую из двух заданных в условии прямоугольников, при стрельбе. Характеристиками средств поражения являются область (эллипс) рассеивания с центром (1.1, -1,6) и среднеквадратические отклонения =2,=4.Вероятность поражения целей в данном случае составит .

Cписок иcпользованной литературы

1. Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами»;

2. Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, С. А. Зотова «Теория вероятностей:системы случайных величин и функции случайных величин»;

3. Буре В.М., Грауэр Л.В. «ШАД» Санкт-Петербург, 2013;

4. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», т. 2: Учебное пособие для втузов.--13-е изд.-- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985;

5. Вентцель Е. С. Элементарный курс теории вероятностей в применении к задачам стрельбы и бомбометания. -- М.: Военная Воздушная Краснознаменная ордена Ленина академия им. Жуковского, 1945.

6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей 4-е изд. -- М.: Наука, 1969. -- 576 c.

7. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей: Задачи и упражнения. М.: Наука, 1969.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. 1983. -- 416 c.

Размещено на Allbest.ur

...