Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
Особенности и специфика дифференциального уравнения. Теорема о нормальной форме уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности регулярной особой точки. Построение криминанты уравнения, точки касания криминанты с контактной плоскостью.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.01.2018 |
| Размер файла | 63,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Факультет физико-математических и естественных наук
Кафедра прикладной математики
курсовая работа
на тему
Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
Выполнил
А. Адабуну
Руководитель
В.И. Безяев
Москва 2017
Оглавление
- Список сокращений
- Введение
- 1. Уравнения, не разрешенные относительно производной
- 1.1 Уравнения вида x=f(y,y')
- 1.2 Уравнения вида y=f(x,y')
- 1.3 Уравнение вида x=f(y')
- 1.4 Уравнение вида y=f(y')
- 2. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки
- 2.1 Особые точки
- 2.2 Криминанта
- 2.3 Дискриминантная кривая
- 2.4 Точки касания криминанты с контактной плоскостью
- 2.5 Регулярные особые точки
- 2.6 Теорема о нормальной форме
- 2.7 Замечания и следствие из теоремы
- 3. Примеры решения типовых уравнений
- 3.1 Пример 1
- 3.2 Пример 2
- 3.3 Применение в «жизни»
- Заключение
- Литература
Список сокращений
Русскоязычные сокращения
ОДУ Обыкновенные дифференциальные уравнения
Т.е. То есть
Введение
Дифференциальные уравнения являются одним из основных понятий современной математики. Дифференциальные уравнения, полученные в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Современное развитие физики и техники невозможно без использования дифференциальных уравнений. В данной курсовой работе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, а также исследование теоремы о нормальной форме уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности регулярной особой точки.
Цель курсовой работы
Более общий анализ отдельного раздела ОДУ.
Методы исследования
В работе применен комплексный подход, заключающийся в использовании методов решения ОДУ и теории математического анализа.
Структура курсовой работы
Работа состоит из трех глав. В первой главе рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
В разделе 1.1 описаны основные термины и понятия, а также описывается основной метод решения таких уравнений. В последующих разделах (1.2 - 1.5) описываются несколько обобщенных случаев таких уравнений и метод их решения
Глава 2 посвящена теореме о нормальной форме уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности регулярной особой точки. В разделе 2.1 представлены вспомогательные, и в тоже время основные определения такого типа уравнений. В разделе 2.2 строится определение криминанты уравнения. В разделе 2.3. формулируется, непосредственно, сама теорема, ее пояснение и следствие из неё. В разделе 2.4 представлено подробное доказательство.
В заключительной третьей главе представлена практическая часть курсовой работы.
1. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Уравнение вида
(1),
где - непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно , то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида
.
Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений ? это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной.
Стоит отметить, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Рассмотрим несколько типов таких уравнений.
1.1 Уравнения вида x=f(y,y')
В этом случае переменная выражается явно через переменнуюи еепроизводную. Введем параметр . Продифференцируем уравнение по переменной . Получаем следующее:
.
Поскольку , то последнее выражение можно записать в виде:
.
Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией
,
где - произвольная постоянная .
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:
Если из этой системы исключить параметр,то общее решение можно выразить в явном виде.
1.2 Уравнения вида y=f(x,y')
Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная явно зависит от и . Введем параметр и продифференцируем уравнение по переменной . В результате имеем:
или .
Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение . Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений:
,
которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме .
1.3 Уравнение вида x=f(y')
В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную . Используя параметр , легко построить общее решение уравнения. Так как и
,
то справедливо соотношение:
.
Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме:
.
1.4 Уравнение вида y=f(y')
Уравнение такого типа не содержит переменную и решается аналогичным образом. Используя параметр , можно записать: . Отсюда следует, что
.
Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:
.
2. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки
2.1 Особые точки
Работаем с уравнением вида
, где,(1)
Заданное гладкой функцией в некоторой области .
Мы предположим, что уравнение (1) задает гладкую поверхность в трехмерном пространстве струй с координатами . По теореме о неявной функции для этого достаточно, чтобы в точках, где , не обращался в нуль полный дифференциал функции, что мы и будем предполагать.
Мы рассмотрим проекцию поверхности на координатную плоскость параллельно p - направлению.
Введем следующее определение: точка поверхности называется особой для уравнения (1) если проектирование поверхности на плоскость в окрестности этой точки не является локальным диффеоморфизмом поверхности на плоскость.
По теореме о неявной функции, особые точки - это те точки поверхности , в которых .
2.2 Криминанта
Рассмотрим множество всех особых точек уравнения (1). Это множество задается двумя уравнениями , в трехмерном пространстве струй. Поэтому, вообще говоря, особые точки образуют кривую.
Введем определение криминанты уравнения:
Множество особых точек уравнения в трехмерном пространстве струй называется криминантой уравнения.
По теореме о неявной функции, криминанта является гладкой кривой в трехмерном пространстве струй в окрестности каждой своей точки, в которой ранг производной отображения трехмерного пространства на плоскость максимален (т.е..
дифференциальное уравнение криминанта
2.3 Дискриминантная кривая
Проекция криминанты на плоскость параллельно p - направлению называется дискриминантной кривой.
По теореме о неявной функции, окрестность точки криминанты диффеоморфно проектируется на плоскость параллельно р - направлению, если криминанта в рассматриваемой точке не касается р - направления.
Стоит также отметить, что дискриминантная кривая может в данных условиях все же иметь особые точки.
Происходят они от того, что в одну точку дискриминантной кривой могут проектироваться, вообще говоря, несколько точек криминанты. Эти особенности буду, вообще говоря, точками самопересечения дискриминантной кривой. Для «общего уравнения» в окрестности такой точки дискриминантная кривая состоит из двух ветвей, пересекающихся под ненулевым углом.
Точкам де, где криминанта касается р - направления, соответствуют «в общем случае» точки возврата на дискриминантной кривой.
Все более сложные особенности дискриминантной кривой, кроме точек самопересечения и возврата, устраняются малым шевелением уравнения. Особенности же этих двух типов сохраняются при малой деформации уравнения лишь немного смещаясь.
2.4 Точки касания криминанты с контактной плоскостью
В каждой точке пространства струй имеется контактная плоскость . В частности, такая плоскость имеется в точках криминанты. Касательная к криминанте в данной точке может лежать в контактной плоскости или пересекать ее.
Дадим определение точки касания с контактной плоскостью:
Точка криминанты называется точкой касания с контактной плоскостью, если касательная к криминанте в этой точке лежит в контактной плоскости.
Стоит отметить, что точки касания криминанты с р - направлением являются точками касания с контактной плоскостью. Действительно, контактная плоскость в каждой точке содержит р - направление.
2.5 Регулярные особые точки
Особая точка уравнения (1) называется регулярной, если в этой точке выполнено условие гладкости криминанты
и криминанта не касается контактной плоскости.
Рассмотрим небольшой пример. А именно - уравнение . Криминанта задается уравнениями . Это - ось . Условие гладкости выполнено. Касательный к криминанте вектор не лежит в контактной плоскости . Следовательно, каждая особая точка уравнения регулярна.
2.6 Теорема о нормальной форме
Пусть - регулярная особая точка уравнения . Тогда существует диффеоморфизм окрестности точки плоскости на окрестность точки плоскости , приводящий уравнение к виду , где.
Стоит также добавить некое пояснение данной теоремы. Уравнение задает поверхность в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости . Диффеоморфизм плоскости переводит каждый линейный элемент в новый линейный элемент. Утверждается, что часть поверхности вблизи регулярной особой точки можно перевести в часть поверхности вблизи точки .
Доказательство теоремы основывается на пяти основных пунктах.
Первое - редукция к случаю, когда криминантой является ось . Пусть - регулярная особая точка уравнения . Тогда дискриминантная кривая в окрестности точки гладкая. Рассмотрим проекции контактных плоскостей в точках криминанты на плоскость . Мы получим в окрестности точки гладкое семейство прямых, не касающихся дискриминантной кривой.
Выберем теперь локальную систему координат на плоскости вблизи точки так, чтобы 1) дискриминантная кривая имела уравнение; 2) линии пересекали дискриминантную кривую по построенным только что направлениям.
Эти координаты мы будем по-прежнему обозначать через ; производная по-прежнему будет обозначаться через . Особая точка получает теперь координаты
Анализ условий регулярности.
Криминанта, согласно нашему выбору системы координат, является осью : на ней . Из этого следует, что для нашего уравнения записанного в введенных координатах, . Условие регулярности криминанты имеет теперь вид
т.е. ,
(так как в точка криминанты ). Далее, в точках крминанты . Следовательно, условие регулярности криминанты запишется в виде
.
Условие некасания с контактной плоскостью выполнено автоматически.
Разложим в ряд Тейлора по с остаточным членом степени 2:
.
Из полученных выше соотношений следует, что . Поэтому мы можем записать
где и - гладкие функции.
Условия регулярности криминанты имеют вид . Мы можем даже предположить для дальнейшего, что (если это не так, сменим знаки и/или ). Итак, .
Исследование квадратного уравнения.
Рассмотрим соотношение как квадратное уравнение относительно с коэффициентами . Мы получаем
,
где есть функция от ; при этом .
Пусть, наконец, . Тогда получаем, оставляя лишь знак «» в «»,
.
Применим к этому уравнению относительно теорему о неявной функции. Получим решение , где гладкая функция, .
Дифференциальное уравнение для .
Заметим, что . Поэтому мы получили дифференциальное уравнение для :
, . (2)
Интегральные кривые на плоскости пересекают ось , имея с линиями касание второго порядка. Поэтому уравнение имеет первый интеграл вида , где - гладкая функция, (- координата точки пересечения с осью ; , так как ).
Построение нормализирующих координат.
Разложим на четную и нечетную по части:
.
Здесь и - гладкие функции от и , . В этих обозначениях . Введем новые переменные по формулам
,.
Тогда .
Рассмотрим еще . Тогда
, .
Эти формулы задают локальный диффеоморфизм плоскости в окрестности точки , так как . Первый интеграл принимает вид
.
Теперь , и указанная в формулировке теоремы нормальная форма получается растяжением одной из координатных осей. Теорема доказана.
2.7 Замечания и следствие из теоремы
Основным моментом приведённого доказательства является подстановка , то есть переход к двулистному накрытию плоскости с ветвлением вдоль дискриминантной кривой. Из топологических соображений заранее ясно, что на этом двулистном накрытии двузадачноть исчезает и уравнение распадается на два. Возня с квадратным уравнением нужна лишь для обоснования этого обстоятельства в вещественной области. Полученное на накрытии уравнение (2) остается привести к нормальной форме диффеоморфизмом, опускаемым с накрытия на исходную плоскость - что легко достигается разложением первого интеграла на четную и нечетную по составляющие.
Стоит также отметить, что наше доказательство использовало представление четной функции в виде функции от квадрата аргумента. Для аналитических функций такое представление очевидно. В случае же гладких функций оно нуждается в обосновании.
Действительно, четную бесконечную дифференцируемую функцию модно рассматривать как функцию от квадрата аргумента, заданную на положительной полуоси. Она бесконечно дифференцируема во всех точках этой полуоси, включая нуль. Требуется же представить ее как сужение на положительную полуось функции, бесконечно дифференцируемой на всей оси.
Возможность такого представления означает возможность гладкого продолжения на отрицательную полуось. Она гарантируется теоремой Бореля о существовании бесконечно дифференцируемых функций на прямой с любым лядом Тейлора в нуле. На доказательстве это теоремы мы не останавливаемся.
Кроме регулярных особых точек, в отдельных точках гладкой дискриминантной кривой уравнения общего положения встречаются точки касания контактной плоскости с поверхностью уравнения. В окрестности такой точки уравнение общего положения диффеоморфизм плоскости приводится к нормальной форме
Поле направлений на поверхности уравнения имеет в соответствующей точке криминанты такую же особенность, как поле направлений векторного поля на плоскости в окрестности обыкновенной особой точки типа седло, фокус или узел. Поэтому возникающие здесь особые точки неявных дифференциальных уравнений называются сложенным седлом, фокусом или узлом: они получаются из обычных при помощи отображения складывания. Интересно, что складывание не вносит новых модулей: параметр в нормальной форме определяется отношением собственных чисел линеаризации векторного поля, при складывании фазового портрета которого получается сложенная особая точка.
3. Примеры решения типовых уравнений
Напоследок хотелось бы разобрать несколько уравнений, не разрешенных относительно производной для наглядности всего вышеперечисленного.
3.1 Пример 1
Найти общее решение уравнения .
Это уравнение относится к типу (случай 3). Введем параметр и запишем уравнение в виде:
.
Возьмем дифференциалы обеих частей уравнения:
.
Поскольку , то последнее выражение можно представить как
.
Интегрируя, находим зависимость переменной от параметра :
,
где С - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение уравнения в параметрической форме:
.
Параметр р можно исключить из системы уравнений. Из второго уравнения находим:
.
После подстановки в первое уравнение получаем общее решение в виде явной функции :
.
3.2 Пример 2
Найти общее решение уравнения .
Это уравнение относится к первому случаю, поскольку оно содержит переменную у и ее производную y'. Используя параметр р, мы можем переписать это уравнение в следующем виде:
.
Возьмем дифференциалы от обеих частей:
.
Поскольку , то получаем:
.
Теперь можно проинтегрировать последнее выражение и найти х как функцию р.
.
В итоге мы получаем следующее параметрическое представление решения дифференциального уравнения:
,
где С - произвольная постоянная.
3.3 Применение в «жизни»
В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.
Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей.
При изучении конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в процессе решения физических задач, часто создавались методы, обладающие большой общностью и применявшиеся без строгого математического обоснования к широкому кругу математических проблем. Такими методами являются, например, метод Фурье, метод Ритца, метод Галёркина, методы теории возмущений и другие. Эффективность применения этих методов явилась одной из причин попыток их строгого математического обоснования. Это приводило к созданию новых математических теорий, новых направлений исследований.
Заключение
Уравнения, не разрешенные относительно производной, до сих пор остается большой загадкой для многих математиков. Большой вклад в исследования этих уравнений внесли такое выдающиеся математики, как Клеро и Лагранж. По сей день их формулировки уравнений используются в биологии, химии, астрофизике и даже в медицине. Но не в таких широких аспектах, как, например, другие типы дифференциальных уравнений. Возможно человечество откроет новые законы природы и в скором времени уравнения, не разрешенные относительно производной будут более востребованы, нежели чем сейчас.
Литература
Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рудин У. Основы математического анализа
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка для заданной электрической цепи. Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Решение уравнения операторным методом. Построение частотных характеристик цепи. Ее динамика.
курсовая работа [721,0 K], добавлен 27.05.2008Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Исследование и подбор матрицы, удовлетворяющей условиям заданного уравнения. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки, расчет коэффициентов. Формирование уравнения гиперболы, имеющего заданные координаты фокусов. Расчет корней уравнения.
контрольная работа [113,2 K], добавлен 16.04.2016Статическая характеристика элемента. Выполнение аналитической линеаризации заданной функции в определенной точке. Обратное превращение Лапласа заданной передаточной функции ОАУ. Преобразование дифференциального уравнения к нормальной форме Коши.
контрольная работа [564,9 K], добавлен 30.03.2015Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющие условию Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности липшицевого решения. Принцип неподвижной точки (Шаудера). Пример неединственности (Winston). Доказательство по теореме Арцела.
реферат [109,4 K], добавлен 14.01.2010Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера. Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода дифференциального уравнения в C++.
дипломная работа [595,0 K], добавлен 11.02.2012Задачи, приводящие к понятию производной. Особенности определения с помощью этого основного понятия дифференциального исчисления уравнения касательной к непрерывной кривой в заданной точке, скорости, производительности труда в определенный момент времени.
презентация [263,8 K], добавлен 21.09.2013Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010
