Размещено на http://www.allbest.ru/

.274

Введение

Актуальность. Мощным средством исследования в математике, физике, химии и других дисциплинах является определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа.

Интеграл (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В 1696г., появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculusintegralis), которое ввел И. Бернулли.[3]

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный нам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.[3]

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Таким образом, применение определенного интеграла обусловило значимость понятия интеграла и его значение в математике.

Изложенное выше обусловило выбор темы исследования: «Некоторые приложения определенного интеграла»

Проблема исследования: применение некоторых приложении определенного интеграла на практике.

Цель исследования: выявить условия существования определенного интеграла.

Объект исследования: определенный интеграл

Предмет исследования: особенности формирования понятия определенного интеграла при решении задач.

Задачи исследования:

1. изучить научно - методическую литературу о некоторых приложениях определенного интеграла;

2. ознакомиться с выводами формул с применением определенного интеграла;

3. выявить особенности применения определенного интеграла;

4. привести примеры выведения формул с интегралом;

5. исследовать функции, заданных интегралами.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в работе обоснована целесообразность использования различных способов применения определенного интеграла, приведены в систему выводы формул с применением интеграла, исследованы функции заданные интегралами.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть полезны учителям математики, а так же ученикам при решении различных заданий

доказано эффективность включения некоторых приложении для формирования понятия некоторые приложения определенного интеграла.

Методологические основы исследования составляют выведение формул с применением интеграла.

Основными методами исследования являются анализ методической литературы; наблюдение за практическим применением при выведении формул

Работа состоит из введения, трёх параграфов, заключения, библиографического списка.



1. Определение и условия существования определенного интеграла

1.1 Определение определенного интеграла

Пусть функция задана в некотором промежутке. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между и точки деления Наибольшую из разностей будем впредь обозначать через .

Возьмем в каждом из частичных промежутков произвольную точку

и составим сумму

Говорят, что сумма при имеет (конечный) предел I, если для каждого числа найдется такое число что, лишь только (т.е. основной промежуток разбит на части с длинами ), неравенство выполняется при любом выборе чисел .

Записывают это так:



Этому определению «на языке », как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем - вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений сходится к нулю. Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы , отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом

Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый вид предела.

Конечный предел I суммы при называется определенным интегралом функции в промежутке от до и обозначается символом

в случае существования такого предела функция называется интегрируемой в промежутке .

Числа и носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. при постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.[1]

Приведенное определение принадлежит Риману (B/Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. И саму сумму иногда называют римановой суммой или интегральной суммой.

Поставим теперь себе задачей выяснить условия, при которых интегральная сумма имеет конечный предел, т.е. существует определенный интеграл (2).

Прежде всего, заметим, что высказанное определение в действительности может быть приложено лишь к ограниченной функции. В самом деле, если бы функция была в промежутке неограниченна , то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать , а с ней и сумму , сколь угодно большой; при этих условиях, очевидно, конечного предела для существовать не могло бы. Итак, интегрируемая функция необходимо ограничена.

Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед предполагать рассматриваемую функцию ограниченной

(если ).

В качестве вспомогательного средства исследования наряду с интегральными суммами введем в рассмотрение сумму Дарбу

Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции в - м промежутке и составим суммы

, .

Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу.

1.2 Условия существования интеграла

С помощью сумм Дарбу теперь легко сформулировать это условие:



Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

Сказанное в п.1.1 достаточно для усвоения смысла этого предела. Например, «на языке » условие (3) означает, что для любого найдется такое , что лишь только (т.е. промежуток разбит на части с длинами ), тотчас выполняется неравенство

Доказательство необходимости. Предположим, что существует интеграл . Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все , тотчас [2]

или ,

как бы мы ни выбирали в пределах соответствующих промежутков. Но суммы и при заданном разбиении промежутка, являются, как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней границами, поэтому для них будем иметь



так что

откуда и следует (3).

Доказательство достаточности. Предположим, что условие (3) выполнено; тогда из сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через

Если под разуметь одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы то, как мы знаем

Согласно условию (3), если предположить все достаточно малыми, суммы и разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и :

так что является пределом для , т.е. определенным интегралом.

Если обозначить колебание функции в -м частичном промежутке через , то будем иметь



,

и условие существования определенного интеграла может быть переписано так:

В этой форме оно обычно и применяется.[1]

1.3 Свойства определенного интеграла

1) Геометрический смысл определенного интеграла.[2]

Если f(x) - непрерывна на [a;b] и f(x)0, , то

,

где S - площадь криволинейной трапеции с основанием и ограниченной сверху кривой .

2) Физический смысл определенного интеграла

Если функция задает скорость движущейся точки в момент времени то

определяет путь пройденный точкой за промежуток времени .



3) .

4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

6) Если отрезок интегрирования разбит точкой на две части и , то

Замечание. Формула (7) будет иметь место и в том случае, когда точка лежит не внутри отрезка , а вне его.

7) Если , то

()

8) Если , то



9) Следствие свойств 8 и 3.

Если и - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то

.

10) Если - нечетная функция, то .

Если - четная функция, то .

11) Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на , то в интервале найдется такая точка , что справедливо равенство



2. Несобственные интегралы

Для существования необходимы условия:

1) - конечен,

2) - ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла).

Несобственные интегралы - обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.

2.1 Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)

Пусть непрерывна на непрерывна на , где

Определение. Несобственным интегралом I рода от функции по промежутку называется предел функции при .

Обозначают: . Таким образом, по определению

При этом если предел в правой части формулы (8) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся.

В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся.

Если непрерывна на , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл I рода для функции по промежутку :

.

Если непрерывна на R, то несобственным интегралом I рода для функции по промежутку называют

,

где - любое число.

Несобственный интеграл от по промежутку называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (9) сходятся.

В противном случае, несобственный интеграл по промежутку называется расходящимся.

Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по промежутку . Для интегралов по промежутку и все полученные результаты останутся справедливы.

Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов I рода.

Пусть непрерывна на и .

Тогда - площадь криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой

Если несобственный интеграл от по сходится и равен S, то полагают, что область, ограниченная , кривой и прямой (криволинейная трапеция с бесконечным основанием) имеет площадь .

В противном случае говорить о площади указанной области нельзя. Для несобственных интегралов существует обобщение формулы Ньютона - Лейбница.

Пусть - первообразная для на .

Тогда имеем

Обозначим

Тогда (10) примет вид:

Формулу (11) называют обобщением формулы Ньютона - Лейбница для несобственных интегралов по промежутку .

Аналогично для несобственных интегралов по промежутку доказывается справедливость формулы

.

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:



1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) .

2.2 Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

Пусть непрерывна на и непрерывна на , где .

существует Размещено на http://www.allbest.ru/

.274

Имеем: .

Определение. Несобственным интегралом II рода по промежутку от функции , неограниченной в точке , называется предел функции при .

Обозначают: .

Таким образом, по определению

При этом, если предел в правой части формулы (12) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся.[1]

В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся.

Если непрерывна на и , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл II рода по промежутку от функции , неограниченной в точке :

.

Если непрерывна на и - точка бесконечного разрыва функции, несобственным интегралом II рода от функции по промежутку , называют

Несобственный интеграл по промежутку от функции неограниченной внутри этого отрезка, называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (13) сходятся.

В противном случае, несобственный интеграл по промежутку называется расходящимся.[1]

Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по промежутку от функции, неограниченной в точке . Для других несобственных интегралов II рода все результаты останутся справедливыми.

Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов II рода. интеграл формула предел теорема

Пусть непрерывна на и , .

Тогда - площадь криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой

Если несобственный интеграл от по сходится и равен , то полагают, что область ограниченная кривой и прямыми (неограниченная криволинейная трапеция) имеет площадь .

В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся интегралов I рода.

Кроме того, для несобственных интегралов II рода также существует обобщение формулы Ньютона - Лейбница.

Пусть - первообразная для на .

Тогда имеем

Ранее вводили обозначение:

.

Тогда (14) примет вид:

Формулу (15) называют обобщением формулы Ньютона - Лейбница для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке.

Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций неограниченных в точке , доказывается справедливость формулы

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) 2) 3) .

Замечание.

Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно приписать определенное числовое значение. А именно:

1) Если - расходится, но , то число называют главным значением этого несобственного интеграла.

2) Главным значением расходящегося интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке называют число равное

.

Обозначают соответственно:

.



3. Приложения определенного интеграла

3.1 Вывод формулы Валлиса

Вычислить интеграл

,

(при натуральном m).

Интегрируя по частям, найдем

.

Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя через , получим откуда рекуррентная формула:

,

,

по которой интеграл последовательно приводится к или . Именно, при имеем

,

если же , то

.

Такие же точно результаты получаются и для .

Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом . Тогда можно будет написать

(при четном)

(при нечетном)

Из формулы (16), легко вывести знаменитую формулу Валлиса (J.Wallis).[1]

Предполагая имеем неравенства

.

Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от до:

.

Отсюда в силу (16), находим



или

Так как разность между двумя крайними выражениями

,

очевидно, стремится к при, то является их общим пределом. Итак,

или

.

Это и есть формула Валлиса. Она имеет исторический интерес, как первое представление числа в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты. В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас. Для приближенного вычисления числа теперь существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели.



3.2 Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера - Пуассона

Обратимся к вычислению интеграла Эйлера - Пуассона:

встречающегося в теории вероятностей. С этой целью предварительно установим некоторые неравенства.[2]

Обычными в дифференциальном исчислении методами нетрудно установить, что функция достигает своего наибольшего значения 1 при . Следовательно, для будет

.

Полагая здесь , мы получим

и

откуда

.

Ограничив в первом из этих неравенств изменение промежутком (так что), а во втором считая любым, возвысим все эти выражения в степень с любым натуральным показателем ; это дает нам



и

Интегрируя первое неравенство в промежутке от до , а второе - от до , получим

Но

(подстановка ).

(подстановка ),

и наконец,

(подстановка ).

Таким образом, неизвестное нам значение может быть заключено между следующими двумя выражениями:

.

так что, возводя в квадрат и преобразуя, получим



.

Из формулы Валлиса:

легко усмотреть теперь, что оба крайних выражения при стремятся к одному и тому же пределу , следовательно.

и (так как ).

3.3 Выражение остаточного члена формулы Тейлора с помощью определенного интеграла

Опираясь на формулу интегрирования по частям:

можно для остаточного члена в формуле Тейлора найти другую форму, которую часто удобно использовать.

Рассмотрим тождество



где по определению равно

Предположим теперь, что имеет -ю производную. Дифференцируем тождество (17) раз:

Полагая в заданном тождестве (17) и полученных тождествах (18) (кроме последнего) . Тогда мы получим:

,

Теперь

,

и так как , то имеем:

Будем применять к интегралу (19) формулу интегрирования по частям раз подряд, учитывая, что , и считая постоянным [откуда ]:

Согласно последней формуле (18), будем окончательно иметь [полагая снова ]:

.

Это и есть новая форма остаточного члена.

Пример. Если , то

.

3.4 Исследование функций, заданных интегралами

Класс функций не является замкнутым по отношению к операции интегрирования, т. е. первообразная функция от функций, элементарной в указанном смысле, может уже быть элементарной функцией. Впервые этот факт был установлен в работах Абеля и Лиувилля в первой четверти XIX столетия. Дальше вопрос об интегрировании в элементарных функциях разбирался многими авторами, среди которых наиболее замечательные результаты получил русский математик П. Л. Чебышев. В настоящее время следует считать установленным, что первообразные для большинства элементарных функций не являются элементарными функциями.[2]

Теорема существования первообразной для любой непрерывной функции показывает, что если мы и не можем выразить первообразные от многих функций как «элементарных» функции, тем не менее, они существуют и однозначно определены, если только задать их произвольно в какой-нибудь точке. Таким образом, интегралы становятся источниками образования новых трансцедентных функций. Многие, таким образом, полученные функции прочно вошли в науку (интегральный логарифм, эллиптические функции Якоби и др.) и находят, широкое приложение в физике и технике. Поэтому естественно возникают вопросы: как вычислять значения функций, заданных интегралами, как исследовать поведение этих функций или найти некоторые их свойства. Полное рассмотрение всех этих вопросов возможно лишь при использовании аппарата теории функций комплексного переменного и дифференциальных уравнений. Сейчас мы рассмотрим лишь один простой пример исследования поведения функций, заданной интегралом. Прежде чем перейти к этому примеру, заметим, что приемы, которыми мы будем пользоваться часто прилагаются не только к исследованию новых трансцедентных функций, но и к исследованию и ранее известных «элементарных» функций, если они заданы с помощью знака интеграла, так как часто формулы, выражающие этот интеграл через основные элементарные функций настолько сложны, что проще исследовать функцию, взятую в виде интеграла, чем заранее ее интегрировать, а потом подвергать исследованию.

Рассмотрим первообразную от функции , обращающуюся в нуль при . Обозначим эту первообразную через .

Прежде всего, заметим, что , т. е. график рассматриваемой функции проходит через начало координат, образуя в нем угол 45 с осью абсцисс.

Производная от положительна для всех значений . Следовательно, монотонно возрастает при всех значениях .

Далее, делая замену переменных , получаем:

,

т. е. - нечетная функция.

Исследуем поведение нашей функции при и при .

В обоих случаях. Покажем, что остается ограниченной при . Действительно, так как , то имеем:

.

Следовательно,, что и доказывает наше утверждение

Так как ограничена и монотонно возрастает, то она должна иметь горизонтальную асимптоту и при . В силу нечетности, имеет горизонтальную асимптоту и при . При этом, если при уравнение асимптоты есть , то при уравнение асимптоты будет .

Эти данные уже дают нам возможность представить себе характер графика исследуемой функций



Заключение

В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения остаточного получения формулы Тейлора с помощью определенного интеграла.

Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления, то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели.

Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности.

Новое выражение для остаточного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала.



Библиографический список

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.,2003, т. 2.

2. Немыцкий В. В., Слудская М. И., Черкасов А. Н. Курс математического анализа. - М. 1957, т. 1.

3. Райков Д. А. Одномерный математический анализ. - М., 1982.

Размещено на Allbest.ru

...