Основы представления многомерных данных. Решение линейных многомерно-матричных уравнений на основе псевдообращения многомерной матрицы
Упорядоченные множества элементов. Структура представления многомерных матриц. Преобразование старшинства индексов. Метод гиперплоскостей для построения выпуклой области множества неупорядоченных элементов. Метод сингулярного разложения матрицы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2018 |
| Размер файла | 555,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
-5,379325893
2,85624
C2(4*4)T1=4
0,9031908
0,4267491
0,046140148
-0,002837
-0,3297038
0,629015
0,655742556
0,264759
-0,0862882
0,29571
-0,857475982
1,738525
-0,7524703
1,903198
-2,592311398
1,854302
|
C1(4*4)T1=1 |
||||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,00000 |
1,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
|
|
0,00000 |
0,00000 |
1,00000 |
0,00000 |
|
|
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
1,00000 |
|
|
C1(4*4)T1=2 |
||||
|
0,94281 |
-0,26667 |
0,08529 |
-0,31252 |
|
|
0,33333 |
0,75425 |
-0,24125 |
0,88393 |
|
|
0,00000 |
0,59385 |
0,18886 |
-1,46923 |
|
|
0,00000 |
0,08571 |
1,07978 |
1,42864 |
|
|
C1(4*4)T1=3 |
||||
|
0,86603 |
-0,41329 |
-0,56173 |
-1,48258 |
|
|
0,48990 |
0,62439 |
1,49802 |
3,45953 |
|
|
0,10000 |
0,52029 |
-2,47405 |
-4,10864 |
|
|
0,00000 |
0,52417 |
2,56790 |
2,40919 |
|
|
C1(4*4)T1=4 |
||||
|
0,8 |
-0,873387 |
-2,987788 |
-4,163672 |
|
|
0,565685 |
1,364063 |
6,762341 |
8,7177743 |
|
|
0,197949 |
-0,56084 |
-7,955102 |
-8,656705 |
|
|
0,028571 |
1,333401 |
4,88509 |
3,955102 |
|
C1(4*4)T1=5 |
||||
|
0,726323 |
-2,179425 |
-8,450416 |
-9,124016 |
|
|
0,642642 |
3,837832 |
17,47384 |
17,818853 |
|
|
0,233494 |
-3,159088 |
-17,40999 |
-15,80326 |
|
|
0,097886 |
2,630205 |
8,307642 |
6,1912966 |
|
|
C1(4*4)T1=6 |
||||
|
0,60308 |
-4,970736 |
-18,39814 |
-17,23006 |
|
|
0,813904 |
9,049504 |
35,82176 |
32,054968 |
|
|
0,144313 |
-7,868827 |
-32,11195 |
-26,28676 |
|
|
0,221765 |
4,547524 |
13,11452 |
9,2665882 |
|
|
C1(4*4)T1=7 |
||||
|
0,371353 |
-9,982948 |
-34,44962 |
-29,43621 |
|
|
1,187481 |
18,12907 |
64,22593 |
52,836913 |
|
|
-0,138238 |
-15,3491 |
-53,44173 |
-40,90006 |
|
|
0,415588 |
7,229077 |
19,59965 |
13,343336 |
|
|
C1(4*4)T1=8 |
||||
|
-0,041605 |
-18,03833 |
-58,37781 |
-46,77729 |
|
|
1,886035 |
32,32099 |
105,3149 |
81,684668 |
|
|
-0,689457 |
-26,31542 |
-82,88034 |
-60,4887 |
|
|
0,696058 |
10,82813 |
28,07345 |
18,594699 |
|
C2(4*4)T1=5 |
||||
|
0,94281 |
0,33333 |
0,00000 |
0,00000 |
|
|
-0,26667 |
0,75425 |
0,59385 |
0,08571 |
|
|
0,08529 |
-0,24125 |
0,18886 |
1,07978 |
|
|
-0,31252 |
0,88393 |
-1,46923 |
1,42864 |
|
|
C2(4*4)T1=6 |
||||
|
0,9684583 |
0,2483254 |
-0,020514973 |
0,003924 |
|
|
-0,2110785 |
0,8611587 |
0,462426856 |
0,008324 |
|
|
0,092425 |
-0,321302 |
0,629416496 |
0,711692 |
|
|
-0,141517 |
0,4431565 |
-0,895418529 |
1,215169 |
|
|
C2(4*4)T1=7 |
||||
|
0,9845061 |
0,1733684 |
-0,026108756 |
0,006565 |
|
|
-0,1552819 |
0,9315656 |
0,328337802 |
-0,024056 |
|
|
0,0671916 |
-0,272425 |
0,837937987 |
0,4686 |
|
|
-0,0652904 |
0,2241969 |
-0,550734845 |
1,100048 |
|
|
C2(4*4)T1=8 |
||||
|
0,9939132 |
0,1077653 |
-0,022534954 |
0,007096 |
|
|
-0,100747 |
0,9731468 |
0,205510981 |
-0,031541 |
|
|
0,0397891 |
-0,186292 |
0,94051367 |
0,286214 |
|
|
-0,0283355 |
0,1056454 |
-0,316779054 |
1,038108 |
|
C1(4*4)T1=9 |
||||
|
-0,720408 |
-30,03815 |
-92,09786 |
-70,36276 |
|
|
3,045959 |
52,97494 |
161,9104 |
120,22003 |
|
|
-1,591026 |
-41,53484 |
-122,003 |
-85,94842 |
|
|
1,081055 |
15,50683 |
38,86272 |
25,203467 |
|
|
C1(4*4)T1=10 |
||||
|
-1,760193 |
-46,95657 |
-137,6573 |
-101,372 |
|
|
4,816437 |
81,53839 |
237,0141 |
170,1606 |
|
|
-2,930655 |
-61,82248 |
-172,4742 |
-118,2227 |
|
|
1,589538 |
21,43577 |
52,31005 |
33,361372 |
|
C2(4*4)T1=9 |
||||
|
0,9986408 |
0,0503468 |
-0,013121043 |
0,005042 |
|
|
-0,0487914 |
0,9940116 |
0,096174262 |
-0,022333 |
|
|
0,0170875 |
-0,092172 |
0,987161789 |
0,135092 |
|
|
-0,0095906 |
0,0383995 |
-0,141736075 |
1,008382 |
|
|
C2(4*4)T1=10 |
||||
|
1,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
|
|
0,00000 |
1,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
|
|
0,00000 |
0,00000 |
1,00000 |
0,00000 |
|
|
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
1,00000 |
Порядок выполнения работы
1. Пользуясь математическими пакетами, программами, осуществить аппроксимацию сигнала с помощью БПФ, БПУ, БПХ, с помощью функций с гибкой структурой.
2. Оценить точность аппроксимации по квадратичному критерию близости.
3. Оценить устойчивость методов аппроксимации.
Содержание отчета
1. Краткое описание алгоритмов БПФ, БПУ, БПХ, алгоритмов аппроксимации с помощью функций с гибкой структурой.
2. Результаты аппроксимации сигнала.
3. Выводы о целесообразности применения рассмотренных методов аппроксимации.
5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (Демонстрационный вариант)
5.1 Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка
1.Формулировка задачи
Решим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. В общем виде задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y=f(x) дифференциального уравнения следующего вида dy/dx = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(0) = yo .
Для решения поставленной задачи применим два метода: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Первый метод очень просто реализуется, а второй - гораздо точнее.
2. Метод Эйлера
Метод Эйлера заключается в том, что решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка задается рекуррентной формулой следующего вида:
yk+1= yk+ h* f(xk , yk ), где xk =xo+ h* k, xo=0, k=0,1,2,... N-1.
|
A |
B |
C |
D |
||
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
6 |
|||||
|
7 |
|||||
|
8 |
|||||
|
9 |
|||||
|
10 |
Пусть в колонке D вычисляется решение нашей задачи по формуле Эйлера; в колонке В находится текущее значение переменной x; в колонке С вычисляется точное решение; приближенное решение.
Алгоритм:
Шаг 1. Вводятся исходные данные: в ячейке D1- начальное значение yx; в ячейке A1- величина левой границы отрезка [0,T]; в ячейке A2 - величина правой границы отрезка [0,T]; в ячейке A4 - число точек N.
Алгоритм:
Шаг 2. В ячейки А3, В1, В2, С1 и D2 записываются соответствующие формулы:
A3:=(A2-A1)/A4; B1:=A1; B2:=B1+$A$3; C1: = точное решение;
D2: = пошаговое решение.
Алгоритм:
Шаг 3. На остальные ячейки распространяются записанные формулы.
Задача выполнена.
3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка заключается в том, что решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка задается рекуррентной формулой следующего вида:
yk+1= yk+ (m1+2*m2+2*m3+m4 ) * h /6,
где m1 = f (xk, yk); m2 = f (xk+ h/2, yk+ m1* h/2); m3 = f (xk+ h/2, yk+ m2* h/2); m4 = f (xk+ h, yk+ m3* h); k=0,1,2,... N-1.
Метод Рунге-Кутта значительно точнее метода Эйлера, но и программировать его сложнее, однако мощный аппарат формул электронной таблицы Microsoft Excel позволяет сравнительно просто организовать процесс вычисления.
Пусть в колонке А находятся границы отрезка [0,T]; в колонке В находится текущее значение переменной x; в колонке С вычисляется точное решение; в колонке H вычисляется значение численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка; в ячейках D2-G2 записаны формулы для коэффициентов m1-m4.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
||
|
1 |
|||||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|||||||||
|
5 |
|||||||||
|
6 |
|||||||||
|
7 |
|||||||||
|
8 |
|||||||||
|
9 |
|||||||||
|
10 |
Алгоритм
Шаг 1. Вводятся исходные данные: в ячейке A1- величина левой границы отрезка [0,T]; в ячейке A2 - величина правой границы отрезка [0,T]; в ячейке A4 - число точек N; в ячейке H1- начальное значение yx.
Алгоритм
Шаг 2. Далее записываются соответствующие формулы:
A3: = (A2-A1)/A4; B1: = A1; B2: = A1+$A$3; C2: = точное решение;
D2: = m1; E2: = m2; F2: = m3; G2: = m4; H2: = пошаговое решение.
Алгоритм
Шаг 3. Записанные формулы распространяются на остальные ячейки.
Алгоритм вычисления значений решения задачи Коши реализован.
5.2 Метод Эйлера-Коши с итерациями для систем дифференциальных уравнений
В общем случае система управления объектом описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:
с начальными условиями:
.
а) Выбирается достаточно малый шаг h:
.
Тогда «нулевое» приближение к решению системы дифференциальных уравнений в точке t:
,
где .
б) Уточнение решения проводится методом итераций:
,
где k - номер итерации (k = 1,2,3…).
Проверяют условия окончания итерации:
, если
или
, если .
Если , то шаг h делят пополам и все вычисления повторяют с пункта а).
Если неравенства выполняются, то принимается за решение.
Начинают вычисления для следующей точки:
с шагом h, который был выбран для предыдущей точки.
Если на трех подряд шагах величина h не изменяется, то h удваивается до тех пор, пока не становится равным hнач., заданное в исходных данных.
Вычисления продолжают до конца интегрирования.
Библиографический список
1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 576 с.
2. Дж. Деммель. Вычислительная линейная алгебра. - М.: Мир, 2001. - 428 с.
3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Matlab-система символьной математики. - М.: Нолидж,1999. - 634 c.
4. Мартынов Н.Н. Введение в Matlab 6. - М: Кудиц-образ, 2002. - 346 c.
Контрольные вопросы по дисциплине ”Вычислительная математика”
1. Упорядоченное множество элементов. Индексное представление многомерной матрицы.
2. Операции над многомерными матрицами. Умножение на скаляр, сложение, транспонирование матриц.
3. Операции над многомерными матрицами. Свернутое произведение и кронекеровское произведение матриц.
4. Операции над многомерными матрицами. Столбцовая и строчная векторизация матриц.
5. Операции над многомерными матрицами. Столбцовая и строчная девекторизация матриц.
6. Обращение многомерной матрицы. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.
7. Неупорядоченное множество элементов. Описание области системой линейных неравенств.
8. Получение уравнения гиперплоскости, проходящей через заданное количество точек.
9. Линейные преобразования Евклидова пространства. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.
10. Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений. Определение числа обусловленности матрицы.
11. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализаци Грамма-Шмидта. Ортогонализация столбцов матрицы, матрица перестановок.
12. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.
13. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы c комплексными числами на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта. Ортогонализация столбцов матрицы, матрица перестановок.
14. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Условия применения метода. Вычисление градиента функции, нормирование градиента.
15. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Формирование вектора направления, вектора положения.
16. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Поиск минимума функции методом золотого сечения. Определение интервала неопределенности, сокращение интервала неопределенности.
17. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Поиск минимума методом квадратичной аппроксимации. Определение интервала неопределенности, сокращение интервала неопределенности.
18. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Формирование вектора направления, вектора положения на второй и последующих итерациях.
19. Особенности минимизации многомерных функций при наличии линейных ограничений методом Давидона-Флетчера-Пауэлла.
20. Минимизация многомерных функций без ограничений методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.
21. Минимизация многомерных функций с линейными ограничениями методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.
22. Упрощенные методы минимизации многомерных функций. Метод Гаусса-Зайделя, метод наискорейшего спуска, овражный метод, формирование движения по прямой в заданном направлении.
23. Минимизация многоэкстремальных функций. Метод тяжелого шарика.
24. Определение псевдообратной комплексной матрицы для произвольной матрицы на основе сингулярного разложения. Определение собственных чисел и векторов.
25. Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного разложения комплексных произвольных матриц. Демонстрационный пример.
26. Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного разложения вещественных произвольных матриц. Демонстрационный пример.
27. Аппроксимация функций. Демонстрационный пример из лабораторной работы по минимизации функций многих переменных.
28. Понятие прямого быстрого дискретного преобразования Фурье.
29. Понятие обратного быстрого дискретного преобразования Фурье.
30. Понятие прямого и обратного быстрого дискретного преобразования Уолша-Адамара.
31. Вычисление производной функции на основе аппроксимации (демонстрационный пример из лабораторной работы по минимизации функций многих переменных) и метода конечных разностей.
32. Численное решение системы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши с итерациями.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Базовые действия над матрицами. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Понятия обратной и транспонированной матриц. Решение матричных уравнений различных видов: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.
курсовая работа [172,0 K], добавлен 09.09.2013Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.
контрольная работа [73,5 K], добавлен 21.10.2010Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.
реферат [296,6 K], добавлен 12.06.2010Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014
