Метод планирования автономных агентов команды PSI
Метод планирования действий автономных агентов, использованный при создании команды "PSI", для участия в чемпионате мира по игре в футбол среди программ и роботов RoboCup’99. Элементарные планы как "основные навыки" агента. Назначение планирующей системы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.01.2018 |
| Размер файла | 137,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
14
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод планирования автономных агентов команды PSI
А.Н. Кожушкин
Аннотация
В работе описывается метод планирования действий автономных агентов, использованный при создании команды PSI, для участия в чемпионате мира по игре в футбол среди программ и роботов - RoboCup'99. Основой архитектуры агентов являются множество элементарных планов и планирующая система. Элементарные планы представляют ”основные навыки” агента. Планирующая система служит для создания начального плана поведения и поддержания его нормального продолжения путем динамического обогащения плана новыми действиями, в зависимости от изменений окружающей среды.
1. Введение
В работе описывается метод планирования действий автономных агентов, использованный при создании команды PSI. Эта команда представляла Институт программных систем РАН на третьем чемпионате мира по игре в футбол среди программ и роботов - RoboCup'99, который проходил в рамках конференции IJCAI-99.
Игры под эгидой ассоциации RoboCup хорошо зарекомендовали себя как средство проверки методов искусственного интеллекта, применяемых для создания мультиагентных систем реального времени [RoboCup-97, 1998; RoboCup-98, 1999]. К настоящему моменту разработаны правила проведения состязаний. В случае программ (лига симуляторов), футбольное поле заменяет стандартная программа Soccerserver, которая моделирует физическую среду, сенсоры и органы управления агентов [Itsuki, 1995]. Целью участников состязаний является создание команды роботов или команды из одиннадцати программ-игроков. Необходимо отметить, что условиями соревнований запрещено всякое вмешательство человека, за исключением рефери, в ход игры.
Команда PSI принимала участие в соревнованиях в лиге симуляторов. В основу идеологии программы игрока" были положены следующие рассуждения о поведении разумного агента. Пусть некто регулярно совершает прогулки из пункта (дом) в пункт . и разделяет значительное расстояние, и прогулка занимает много времени. При этом, если агент слишком долго находится вне , его состояние изменяется (агент чувствует голод). В данном случае он возвращается в . Очевидно, что у агента выработались умения или, другими словами, планы перемещения из в и обратно. Использование этих умений почти всегда приводит к цели.
Что означает почти всегда? Среда обитания изменяется, и на пути могут появиться препятствия. Из-за неполноты знаний о среде агент неспособен предвидеть все подобные изменения. С другой стороны, на протяжении своего опыта агент крайне редко сталкивался, а, возможно, и вовсе не сталкивался, с препятствиями на маршруте , и их подробное рассмотрение в рамках данных умений не оправдано или даже невозможно. Таким образом, почти всегда, в данном случае, равносильно если не существует препятствий, и они не появятся во время перемещения агента.
Предположим, что путешествия не ограничиваются указанным хорошим маршрутом, и существует набор умений по преодолению препятствий, кроме того, агент допускает возможность существования препятствий на пути . Рассмотрим поведение агента.
Допустим, что препятствия отсутствуют. Пусть агент находится в и у него появилось желание отправиться в пункт . Применяя план перемещения из в , агент окажется в пункте . Через некоторое время пребывания в внутренне состояние агента изменится, и он направится в .
Теперь предположим, что по пути из в агент увидел препятствие. В этом случае он временно откладывает, или, другими словами, прерывает план движения из в и применяет какое-либо умение преодоления препятствия. После того, как препятствие преодолено, агент продолжит план движения в пункт . Каков статус отложенного умения? План перемещения из в , будучи прерванным, не может непосредственно влиять на действия агента (органы управления - ресурс неразделяемый), но продолжает изменять его внутреннее состояние. Это позволяет корректировать поведение при обходе препятствия так, чтобы быстрее попасть в .
Поведение агента при обходе препятствия имеет ряд особенностей. (1) Агент может оказаться в пункте . В данном случае обход препятствия будет прекращен, несмотря на то, что рассматриваемое умение агента не учитывает существование пункта . (2) Агент может решить, что возвращение в важнее прогулки в . В этом случае обход препятствия также будет завершен. (3) Из набора планов по преодолению препятствий агент выберет наилучший, в зависимости от природы препятствия и своего состояния. Возможна ситуация, когда наилучших умений несколько. Агент может задуматься" до тех пор, пока изменение окружающей среды или внутреннего состояния не приведет к тому, что останется одно наилучшее умение.
О поведении агента можно сделать следующие выводы:
Имеется множество основных умений или планов, которые осуществляют активные действия и изменяют внутреннее состояние агента. С каждым планом связаны условия начала и продолжения его применения. Например, условие начала перемещения из в - агент находится в и появилось желание переместиться в , условие продолжения - агент находится вне пункта .
На множестве планов существует иерархия, определяющая, какие умения являются основными, какие вспомогательными для осуществления основных, какие вспомогательными для осуществления вспомогательных и т.д. Например, перемещения из в и обратно - основные умения, планы преодоления препятствий - вспомогательные. Каждое умение более низкого уровня иерархии может прервать некоторые умения более высокого уровня.
Прерванный план может изменять внутреннее состояние агента.
Если умение прервало умение , то наследует условия продолжения . Эти условия усиливают исходные условия начала и продолжения . Например, условие применения плана обхода препятствия - существует препятствие. Если данное умение прервало план перемещения из в , условием его применения будет: агент находится вне пункта и существует препятствие.
На каждом уровне иерархии задан частичный порядок - приоритет. Выполнение условий начала плана вызывает завершение любого менее приоритетного плана . При этом, если прерван планом , то будут завершены и . Так, выполнение условий начала плана возвращения в вызывает завершение не только плана перемещения из в , но и прервавшего его умения обхода препятствия.
Необходимо подчеркнуть, что семантика вспомогательного умения не является фиксированной, она зависит от прерванного этим умением плана (см. (3) - (5) выше).
В каждый момент времени поведение агента можно представить как последовательность умений, которую мы будем называть расширенным планом. Часть этих умений использовалась в прошлом (завершенные или прерванные планы), часть агент намеревается выполнить в будущем (продолжение прерванных планов). В каждой такой последовательности существует одно выделенное умение, а именно, умение, используемое агентом в настоящее время. Будем помечать такие умения символом . Например, прогулку из в , если агент заметил препятствие?на?пути,?можно?представить?в?виде?следующего?расширенного?плана:
<Движение из в > <Обход препятствия> <продолжение движение из в >.
В зависимости от изменений внешней среды и внутреннего состояния агент модифицирует исходную последовательность, уточняя ее (посредством механизма прерываний), добавляя к ней новые умения или переходя к выполнению следующего умения последовательности.
В архитектуре агентов команды PSI умения представлены множеством базисных элементарных планов, каждый из которых является ”техническим навыком" игрока (передача паса, ведение мяча, удар по воротам) или планом игровой комбинации (защита, нападение). Выбор начального плана поведения и его модификацию осуществляет планирующая система.
В статье содержится описание модели поведения агента (раздел 2) и краткие пояснения смысла используемых понятий (раздел 3). В разделе 4 представлен пример, иллюстрирующий работу планирующей системы. Раздел 5 содержит некоторые замечания о предполагаемом развитии подхода.
планирование автономный агент планирующая система
2. Модель планирующей системы
Рассмотрим дискретное множество моментов времени , множество (выход) элементарных действий, которые способен выполнять агент, множество (вход) входных состояний, определяемое всеми возможными значениями входных данных, и множество внутренних состояний агента. Множества и представляют входную информацию и возможные действия агента, соответственно. В этом случае, история игры или игра, с точки зрения агента, может быть определена как отображение , где - полное" состояние агента. представляет информацию, получаемую агентом из внешнего мира и его внутреннее состояние в момент времени .
Пусть и некоторые логические условия на множестве , , - некоторые отображения, , . Определим элементарный план как четверку , где и , соответственно, условия начала и продолжения плана .
Возьмем фиксированное конечное множество элементарных планов , которое назовем множеством базисных элементарных планов. На множестве зададим семейство множеств , где - число уровней иерархии, такое, что и для . На каждом определим отношение частичного порядка (отношение приоритета). Теперь введем бинарное отношение прерываемости - , определенное на , и удовлетворяющее условию . Для краткости, будем говорить задано множество , подразумевая, что вместе с ним определены покрытие , отношение и семейство частичных порядков .
Из множества для каждого момента времени игры выделим подмножества и элементарных планов, для которых выполнены условия начала и продолжения, соответственно. Назовем множество подмножеством применимых, а множество - подмножеством исполняемых базисных элементарных планов в момент времени игры .
Пусть задано множество , построим его расширение - в соответствии со следующими правилами:
.
Если план , то план .
Если элементарные планы и , то и элементарный план , где , .
Определим расширенный план как слово языка планов в алфавите , при этом будем для краткости обозначать символ как . определяется набором следующих правил (здесь последовательности букв без , возможно пустые):
.
Если и , то .
Если , где , то .
Если?,?где?,?и существует?,?то .
Введем функции кодирования: и , являющиеся проекциями.
Под планирующей функцией будем понимать отображение , где - множество всех конечных слов в алфавите , определенное следующим образом:
Пусть , , , - последовательность символов без , возможно пустая, тогда
Если и существует наибольший элемент по отношению Prior1, то .
Если?, где , , и для всех и - наибольший элемент множества по отношению , тогда если существует наибольший элемент , то
, где , , и существует () такой, что для любого и наибольший элемент множества и такой, что для любого найдется , для которого или не является наибольшим элементом множества . В этом случае . Если же такого не существует, то .
Во всех остальных случаях .
Легко видеть, что при таком определении .
Пусть задана некоторая история игры . Сопоставим каждому моменту времени расширенный план по правилу: , . Таким образом, расширенный план, определяющий поведение агента в момент , может быть построен из начального расширенного плана " путем последовательного применения к нему планирующей функции.
3. Содержательный смысл используемых понятий
Дадим краткие пояснения используемых понятий. Множество представляет набор умений агента. На этом множестве мы вводим уровни иерархии посредством семейства таким образом, что большему () соответствует умение более низкого уровня иерархии. Так, соответствует основным умениям, - вспомогательным для осуществления основных и т.д. В нашей системе соответствует наиболее высокоуровневым типам поведения игрока или его реакциям на возникновение аварийных ситуаций, делающих невозможным или нежелательным дальнейшее выполнение изначально выбранного плана. Необходимо отметить, что один и тот же базисный элементарный план может принадлежать сразу нескольким уровням иерархии. Это соответствует интуитивному представлению о том, что одно и то же умение может быть одновременно вспомогательным для осуществления основного умения и вспомогательным для осуществления другого вспомогательного умения. Поясним сказанное примером из рассматриваемой нами области. Умение передача паса является вспомогательным для умения атака и одновременно для умения комбинация стенка, которое, в свою очередь, является вспомогательным для умения атака.
Семейство отношений играет роль функций оценки (см., например, [Dean, et al., 1996]) на каждом . Однако требование того, чтобы каждое было линейным порядком, видимо, не совсем оправдано по нескольким причинам: (1) Сравнение двух умений, условия применения которых не могут выполняться одновременно, является нецелесообразным. (2) Определение функции оценки в значительной мере ложится на разработчика системы, и легко представить ситуацию, когда сам разработчик не сможет отдать предпочтение одному умению перед другим. В этом случае более слабое требование на функцию оценки может дать один из механизмов обучения, когда сам агент на основе опыта имеет возможность уточнять отношение приоритета. При определении отношений в планирующей системе агентов команды PSI основным критерием служила степень детализации ситуации. Планы с более общими условиями применения имеют меньший приоритет. Другой критерий - важность результата применения плана.
Проиллюстрируем сказанное. Планы движение к мячу () с условием применения вижу мяч, перехват неподвижного мяча () - вижу мяч и скорость мяча равна 0 и могу первым перехватить мяч, перехват движущегося мяча () - вижу мяч и скорость мяча неравна 0 и могу первым перехватить мяч лежат на уровне иерархии . Отношение задается перечислением , . Планы и имеют более высокий приоритет, чем ; и несравнимы друг с другом. С другой стороны, план удар по воротам при возможности забить гол" заведомо более приоритетен, чем ведение мяча.
Рассмотрим отношение . Смысл в том, что план может быть прерван планом на некоторое время, если выполнены условия для прерывания. Эти условия - начальные условия плана , неявно связанные с планом при помощи отношения . Если некоторый план прерван другим планом , то он будет находиться в прерванном состоянии, пока , где - условия продолжения плана . После этого план продолжит свое выполнение. Пусть план , тогда множество представляет все базисные элементарные планы уровня иерархии , которыми может быть прерван план .
Рассмотрим расширение множества . Пусть элементарный план прерван другим элементарным планом . После завершения агент вернется к исполнению плана . Но в данном случае завершающей части плана будут приписаны другие условия начала применения, а именно, условия продолжения плана . Таким образом, правило (2) в определении позволяет строить по плану его завершающую часть. Как уже отмечалось во введении, семантика умения зависит от другого, прерванного им умения. Правило (3) позволяет уточнить" умение , в случае, если оно прервало умение . Уточнение производится за счет усиления условий начала и продолжения применения , а также за счет изменения переходной функции элементарного плана .
Понятия расширенного плана и планирующей функции требуют дополнительных пояснений. Рассмотрим алфавит . Первая компонента каждого элемента представляет семантику умения, в контексте прерванных им умений. Вторая () - умение, принадлежащее , из которого оно было получено. Другими словами, вторая компонента - это имя умения. Третья () - уровень иерархии, из которого было взято умение. Несмотря на то, что умение может лежать на нескольких уровнях иерархии, в расширенном плане его уровень иерархии является фиксированным. Для каждого , и являются частью" внутреннего состояния агента, необходимой планирующей функции для построения нового расширенного плана по старому.
Каждый расширенный план из - некоторое поведение агента. Все символы до " представляют элементарные планы, которые агент уже выполнил, первый символ после " - текущий элементарный план, т.е. поведение агента в данный момент времени определяется отображениями , этого плана. Все остальные символы соответствуют элементарным планам, которые агент собирается выполнить в будущем. Расширенный план - пустой план, соответствующий моменту запуска. Входная информация не проанализирована, и не выбраны надлежащие умения.
Рассмотрим расширенный план , где , а . Предположим простейший случай - отсутствие планирующей системы. Этот план соответствует времени, когда агентом уже были выполнены все умения, представленные символами из . Теперь изменение внутреннего состояния агента определяет переходная функция , а его выход . Пусть в момент времени условие нарушено. Тогда расширенный план преобразуется в , и если выполнено , то агент перейдет к выполнению умения, соответствующего . В противном случае, расширенный план преобразуется в и т.д. Указанные преобразования расширенных планов соответствуют планам, полученным из исходного по правилу (3) в определении языка . Возможна ситуация, когда из исходного расширенного плана будет получен план , т.е. исходная последовательность умений будет исчерпана. В этом случае можно по правилу (2) добавить основное умение, получив расширенный план . Правило (4) позволяет временно прервать выполнение и построить расширенный план , в соответствии с отношением .
Планирующая функция осуществляет преобразования расширенного плана на основе данных о применимости базисных элементарных планов (множества и ) и отношений приоритета, заданных на уровнях иерархии. Так, правило (2) в определении планирующей функции позволяет прервать (или, иными словами, уточнить) текущее умение, вспомогательным. Из всех применимых в данный момент умений будет выбрано умение обладающее наибольшим приоритетом. Если расширенный план исчерпан или представлен в виде , то присоединение нового умения осуществляется по правилу (1). Правило (3) позволяет завершить все планы с низкими приоритетами, а затем заменить их по правилу (2) более приоритетными умениями.
В реализации рассматриваемого подхода роль преобразователя расширенных планов выполняет планирующая система. Определение множеств и производится путем опроса планирующей системой базисных элементарных планов, реализованных как отдельные модули, на предмет возможности начала и продолжения их применения. На основе полученных данных, планирующая система модифицирует расширенный план в соответствии с правилами (1) - (4) определения планирующей функции. К сожалению, объем статьи не позволяет дать описание архитектуры агентов, которое может быть найдено в [Kozhushkin, 1999].
4. Пример работы планирующей системы
Рассмотрим пример, иллюстрирующий работу планирующей системы. Предположим, что множество базисных элементарных планов агента содержит пять элементов. Это движение к мячу () с условием применения вижу мяч и не владею мячом, перехват неподвижного мяча () - вижу мяч и скорость мяча равна 0 и могу первым перехватить мяч и не владею мячом , перехват движущегося мяча () - вижу мяч и скорость мяча неравна 0 и могу первым перехватить мяч и не владею мячом , обход препятствия" () - существует другой игрок, препятствующий движению и план удар по воротам противника () - владею мячом. Таким образом, . Пусть имеется два уровня иерархии: и . Отношение задается перечислением: , , . Отношение - очевидно; задано следующим образом: , . Заметим, что в рассматриваемом примере .
В начальный момент (запуск системы) поведение агента представлено расширенным планом . Предположим, что мяч расположен на значительном расстоянии от агента, и агент определил, что мяч неподвижен, и существует другой игрок, способный раньше него завладеть мячом. В этом случае , и планирующая система строит расширенный план . В некоторый момент времени агент заметил игрока противника на своем пути к мячу. Теперь и будет преобразован в , где и определяются по правилам (2) и (3) определения множества , соответственно.
Возможны следующие сценарии развития событий:
Агент успешно обошел игрока противника и не может первым достичь мяча, тогда .
В ходе обгона игрока противника выяснилось, что агент может первым завладеть мячом, тогда ?и?планирующая?система?преобразует??в??следующим?образом: , .
Предположим, умение завершилось успешно, и игрок завладел мячом в момент времени , тогда и .
5. Заключение
В заключении отметим, что существуют некоторые аналогии между нашим подходом к планированию действий и подходом, предложенным в [M. Ginsberg, 1995a], [M. Ginsberg, 1995b], [M. Ginsberg, et al, 1994]. Основное отличие нашего метода в том, что планирующая система осуществляет уточнения планов динамически, в случае необходимости. В будущих работах мы хотим провести сравнение двух данных подходов. Кроме того необходимо дальнейшее развитие выбранного подхода и более детальное его изучение. По меньшей мере наши эксперименты и участие в чемпионате мира этого года показали, что используемый метод является достаточно мощным средством для построения автономных агентов.
Представляется возможным дополнить рассматриваемый подход механизмами обучения. Используемая архитектура позволяет применять обучение на уровне базисных элементарных планов (подстройка умений) и на уровне планирующей системы. Обучение на уровне планирующей системы может основываться на изменении отношений и , что было отмечено в разделе 3.
Литература
1. [RoboCup-97, 1998] RoboCup-97: Robot Soccer World Cup I. Springer 1998.
2. [RoboCup-98, 1999] RoboCup-98: Robot Soccer World Cup II. Springer 1999.
3. [A. Kozhushkin, 1999] A. Kozhushkin. PSI Team: Planning Method and Main Principles of the Agents Architecture. Team Descriptions (Simulation League), pp.110-115. Linkoeping University Electronic Press 1999.
4. [N. Itsuki, 1995] N. Itsuki. Soccer Server: a simulator for RoboCup. ISAI AI-Symposium 95: Special Session on RoboCup. 1995.
5. [T. Dean, et al., 1996] T. Dean, S. Kambhampati. Planning and Scheduling. CRC Handbook of Computer Science and Engineering. 1996.
6. [M. Ginsberg, 1995a] M. Ginsberg. Modality and Interrupts - Journal of Automated Reasoning, (14) 1, pp.43_91, 1995.
7. [M. Ginsberg, 1995b] M. Ginsberg. Approximate Planning - Artificial Intelligence Journal, (76) 1_2, pp.89_123, 1995.
8. [M. Ginsberg et al, 1994] M. Ginsberg, H. Holbrook. What defaults can do that hierarchies can't - Fundamental Informaticae (21), pp.149_159, 1994.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Дифференциальное уравнение с начальными данными. Свойства предельных множеств автономных систем. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Вопрос о сходимости ряда. Предельные множества траекторий автономных систем, состоящие из целых траекторий.
реферат [1,1 M], добавлен 12.12.2012Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Определение потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов елочных украшений, цены единицы продукции, производимой предприятиями отрасли. Решение системы уравнений тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
контрольная работа [90,0 K], добавлен 22.07.2009Опис одного з поширених ітераційних методів, методу хорда — ітераційного методу знаходження кореня рівняння, який ще має назви метод лінійного інтерполювання, метод пропорційних частин, або метод хибного положення. Задачі для самостійного розв’язування.
реферат [336,8 K], добавлен 04.12.2010Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Свойства решений автономных систем. Предельное поведение траекторий, циклы. Функция последования и направления их исследования, оценка характерных параметров.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 24.09.2013Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Асимптотическая устойчивость линейных однородных автономных систем. Изображения фазовых кривых при помощи ПО Maple.
дипломная работа [477,4 K], добавлен 17.06.2015Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Основные понятия аксиоматической теории. Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях. Этапы развития аксиоматического метода в науке. Евклидова система обоснования геометрии.
курсовая работа [28,9 K], добавлен 12.05.2009Табличный метод представления данных правовой статистики. Абсолютные и обобщающие показатели. Относительные величины, их основные виды и применение. Среднее геометрическое, мода и медиана. Метод выборочного наблюдения. Классификация рядов динамики.
контрольная работа [756,5 K], добавлен 29.03.2013Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.
творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.
контрольная работа [340,6 K], добавлен 14.08.2010Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Математические модели явлений или процессов. Сходимость метода простой итерации. Апостериорная оценка погрешности. Метод вращений линейных систем. Контроль точности и приближенного решения в рамках прямого метода. Метод релаксации и метод Гаусса.
курсовая работа [96,7 K], добавлен 13.04.2011Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Формулювання задачі мінімізації. Мінімум функції однієї та багатьох змінних. Прямі методи одновимірної безумовної оптимізації: метод дихотомії і метод золотого перерізу. Метод покоординатного циклічного спуску. Метод правильного і деформованого симплексу.
курсовая работа [774,0 K], добавлен 11.08.2012Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.
лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013
