Виды неопределенности и их раскрытия
Характеристика особенностей первого и второго замечательного пределов. Сравнение бесконечно малых функций. Рассмотрение значения и места непрерывных функций. Определение непрерывности функции в точке. Исследование точки разрыва и их классификации.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 18.12.2017 |
Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Чувашской Республики «Новочебоксарский политехнический техникум»
Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики
Реферат
Виды неопределенности и их раскрытия
Выполнил студент группы СП - 1- 16
Захаров Евгений Александрович
Новочебоксарск 2017
Содержание
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Сравнение бесконечно малых функций
Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке
Точки разрыва и их классификация
Источник информации
Первый замечательный предел
Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х>0.
функция предел точка разрыв
Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол б, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < б < р/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака б, то достаточно рассмотреть случай, когдаб > 0.) Из рисунка видно, что:
Так как указанные площади соответственно равны
Следовательно,
Разделим все члены неравенства на sin б > 0:
Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что, выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .
Примеры.
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1? и выглядит следующим образом Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).
Примеры.
Сравнение бесконечно малых функций
Пусть при x>a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.
Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка.
Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительно g(x).
Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ? g.
Примеры.
Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x>0. Найдем . Следовательно, f(x) - бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
Пусть f(x)=x2-4,g(x)=x2-5x+6 - бесконечно малые при x>2.
Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.
f(x)=tg2x,g(x) = 2x - бесконечно малые при х>0.
Следовательно, f ? g.
- бесконечно малые при n>?.
- этот предел не существует.
Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.
При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть f и g - бесконечно малые функции при х>а. Если
и f ? f1, g ? g1, то ,
т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.
Доказательство. Имеем .
Тогда что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при x>0: sinx ? x,tgx ? x,arcsinx ? x,arctgx ? x,1-cosx ? x2?2,loga(1+x) ? x/lna,ln (1+x) ? x,(1+x)m-1 ? mx,ax-1 ? xlna,ex-1 ? x.
Примеры.
Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке
Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x0, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0).
Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x0
Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия:
она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;
имеет предел при x > x0;
этот предел равен значению функции в точке x0.
Формулу (1) можно записать в виде , т.к.
Пример: Докажем, что функция y = 3x2 непрерывна в произвольной точке x0. Для этого найдем . Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Непрерывные функции обладают следующими свойствами.
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма ц(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x0.
Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь
.
Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.
Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = ц(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.
Примеры:
y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u.
y = etg x, u = tg x, y = eu.
Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое - либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция u = ц(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = ц(x0), а функция f(u) непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(ц(x)) непрерывна в точке x0.
Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.
Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке отлично от 0, f(x0) ? 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое д > 0, что на интервале(x0- д;x0+ д) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).
Точки разрыва и их классификация
Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.
Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.
В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел
, или если предел существует, но.Размещено на http://www.allbest.ru/
Примеры.
Рассмотрим функцию:
Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:
Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 - слева, т.к.
Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена:
Функция разрывна при x = 0. Действительно,
.
При x = 0 функция не определена.
Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).
Точки разрыва функции можно разбить на два типа.
Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела, но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 - 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.
Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.
Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.
Источник информации
http://toehelp.ru/theory/math/lecture03/lecture03.html
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.
контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014Теоретические аспекты применения правил Лопиталя. Определение предела функции в точке. Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций. Рассмотрение содержания теорем о дифференцируемых функциях. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 30.12.2021Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Доказательство замечательных пределов величайшими умами знаменитых математиков. Неактуальность расчетов тригонометрических функций, логарифмов и степеней. Нахождение первого и второго замечательных пределов. Проведение модификации и значение пределов.
презентация [351,2 K], добавлен 27.06.2014Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.
презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010