О продолженных структурах Кенмоцу на распределениях субфинслеровых многообразий с нулевым тензором кривизны Схоутена

Размещено на http://www.allbest.ru/

О продолженных структурах Кенмоцу на распределениях субфинслеровых многообразий с нулевым тензором кривизны Схоутена

Букушева Алия Владимировна

В работе Мирона [34] было положено начало исследованию геометрии финслеровых векторных расслоений, являющихся естественным обобщением касательных расслоений многообразий с финслеровой метрикой. Финслерово векторное расслоение характеризуется заданием на тотальном пространстве векторного расслоения класса линейных связностей, специальным образом ассоциируемых с некоторой инфинитезимальной связностью. В работах [1] введено понятие гладкого распределения D с допустимой финслеровой метрикой, позволяющее с новой точки зрения взглянуть на проблематику финслеровых векторных расслоений. В настоящей работе на тотальном пространстве векторного расслоения(D,р,M), где D -- гладкое распределение на многообразии M с допустимой финслеровой метрикой, естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, изучаются свойства введенной структуры методами внутренней геометрии неголономного многообразия. кенмоцу схоутен векторный кривизна

Многообразия с допустимой финслеровой метрикой

Под субфинслеровым многообразием контактного типа будем понимать гладкое многообразие M размерности n с заданной на нем субфинслеровой структурой , где: -- 1-форма, порождающая распределение D: ; -- векторное поле, порождающее оснащение распределения D: , , при этом . , -- гладкая функция на многообразии [1], называемая допустимой финслеровой метрикой и удовлетворяющая следующим условиям:

1. L -- положительна на ;

2. L -- положительно однородна первой степени относительно слоевых координат;

3. Квадратичная форма

-- положительно определена.

Всюду в работе рассматриваются адаптированные [2-7] координаты . Символ «» обозначает производную по соответствующей слоевой координате. Распределение D является гладким многообразием размерности 2n-1. Над распределением D определяется внутренняя связность [32], порождаемая распределением , где

, , ,

, , .

В дальнейшем будем считать, что функции не зависят от слоевых координат. В этом случае, на многообразии M возникает внутренняя связность с коэффициентами [8-13].

Внутренней линейной связностью [18-26] на многообразии M называется отображение

,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ,

3. ,

где -- модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

,

,

где , . Тензор будем называть тензором кривизны субфинслерова многообразия [14, 15, 17].

Векторные поля определяют [17] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы -- соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

,

где -- компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [14, 15, 17]:

.

Определим на многообразии D почти контактную структуру , полагая , . Здесь -- естественная проекция, . Определим, далее, на многообразии M метрику , подчиняющуюся равенствам:

.

Имеют место следующие предложения.

Предложение 1

Структура является почти контактной метрической структурой [30].

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J, получаем:

1. ;

2. .

Назовем почти контактную метрическую структуру продолженной структурой.

Предложение 2

Пусть -- связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

.

Доказательство предложения 2 основано на использовании выражения для коэффициентов связности:

,

, , , .

В случае обращения в нуль тензора Схоутена субфинслерова многообразия M, приведенные выше выражения для коэффициентов связности приобретут более простой вид:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Если для многообразия D с продолженной почти контактной метрической структурой выполняются условия

,

то такое многообразие получает название многообразия Кенмоцу [33].

Теорема

Пусть M -- субфинслерово многообразие с нулевым тензором кривизны Схоутена. Тогда многообразие D с продолженной почти контактной метрической структурой является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда M -- субриманово многообразие, распределение интегрируемо и выполняется равенство .

Доказательство теоремы сводится к вычислению производной для разных векторных полей адаптированного базиса. Так, в частности, получаем, что равенство влечет равенство .

Список литературы

1. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

2. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

3. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов : Издат. центр."Наука", 2016. С. 105-107.

4. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

5. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

6. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

7. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

8. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

9. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 - 26 ноября 2015. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.

10. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. №46. С.58-62.

12. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2016. №47. С. 39-47.

13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

15. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

16. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

17. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.

18. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.

19. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

20. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. №2. С. 138-147.

21. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. Т. 46. №6 (255). C. 36-43.

22. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.

23. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.

24. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.

25. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.

26. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.

27. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.) 7 (3-4) (1993) 261-276.

28. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G., On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985) 563-566.

29. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 102 (2015) 133-144.

30. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30 (3) (2015) 341-351.

31. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds. J. Geom. 106 (2015) 229-242.

32. Manev M. Contactly conformal transformations of general type of almost contact manifolds with B-metric. Applications. Math. Balkanica (N.S.) 11 (3-4) (1997) 347-357.

33. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 65 (5) (2012) 283-290.

34. Manev M. Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost contact B-metric structure. Filomat 29 (10) (2015) 2437-2446.

35. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 65 (4) (2012) 429-436.

36. Manev M., Ivanova M. Canonical-type connection on almost contact manifolds with B-metric. Ann. Global Anal. Geom. 43 (4) (2013) 397-408.

37. Manev M., Ivanova M. A classification of the torsion tensors on almost contact manifolds with B-metric. Cent. Eur. J. Math. 12 (10) (2014) 1416-1432.

38. Manev M., Ivanova M. Natural connections with torsion expressed by the metric tensors on almost contact manifolds with Bmetric. Plovdiv Univ. Sci. Works - Math. 38 (3) (2011) 47-58.

Размещено на Allbest.ru