Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области
Рассмотрение интегральных формул для уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами, факторизуемыми оператором Гельмгольца в неограниченной области. Доказательство справедливости интегральной формулы в неограниченной области.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.01.2018 |
| Размер файла | 131,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
Самаркандский государственный университет, кафедра: Дифференциальные уравнения
Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области
Жураев Д.А.
ассистент
Научный руководитель - к.ф-м.н., доцент З. Маликов
Рассмотрена интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в неограниченной области с растущими решениями систем.
В работе [1] доказана интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа первого порядка, с постоянными коэффициентами в ограниченной области.
Для гармонических функций в неограниченной области в работе [2] приведена интегральная формула со специальным ядром. При помощи этих конструкций для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Лапласа, в работе доказана справедливость интегральной формулы в неограниченной области. Конструкция построения фундаментальных решений позволяет доказать интегральную формулу в неограниченной области. Используя, методику работы и , построим интегральной формулы с растущими решениями. эллиптический уравнение интегральный формула
Пусть трехмерное вещественное евклидово пространство, , . ограниченная односвязная область, граница которой состоит из гладкой поверхности . транспонированный вектор ,
диагональная матрица, .
Обозначим через и линейные алгебры многочленов от и с коэффициентами из поля или .
Пусть и натуральные числа; ,
, для всех ,
(это условие означает, что операторы - эллиптические)..
Тогда означает класс матриц с элементами из линейных функций с постоянными коэффициентами комплексной плоскости , для которых выполняется условие:
,
где эрмитово сопряженная матрица к , вещественное число.
Пример.
Легко проверяется соотношения , где .
Рассмотрим в области систему дифференциальных уравнений
(1)
где характеристическая матрица.
Обозначим через класс вектор-функций, являющийся решением систем дифференциальных уравнений (1) в , и непрерывных на .
Если , то верна следующая интегральная формула типа Коши [1]
где
. (2)
Здесь внешняя единичная нормаль, проведенная в точке , поверхности фундаментальное решение уравнения Гельмгольца.
Формула (2) верна, если вместе поставим функцию
, (3)
где регулярное решение уравнения Гельмгольца.
Обозначим, через целую функцию, принимающую вещественные значения при вещественном и удовлетворяющую условиям:
(4)
Функцию при определим следующим равенством:
, (5)
В работе доказано, что функции , построенные по формуле (5) представимы в виде (3).
Тогда формула (2) имеет следующий вид
где
(6)
Формулу (6) обобщим для случая, когда неограниченная область.
Пусть, неограниченная область, с кусочно-гладкой границей (простирается до бесконечности).
Обозначим через часть , лежащую внутри круга радиуса с центром в нуле:
.
Теорема 1. Пусть , конечносвязная неограниченная область в , с кусочно-гладкой границей .
Если при каждом фиксированном имеет место равенство
, (7)
то верна формула (6).
Доказательство. Действительно, при фиксированном и учитывая (6), имеем
Учитывая условие (7), при , получаем (6).
Пусть, неограниченная область лежит внутри слоя наименьшей ширины, определяемой неравенством
,
причем простирается до бесконечности.
Предположим, что для некоторого площадь удовлетворяет условию роста
, (8)
Пусть, удовлетворяет условию роста
(9)
В равенство (5) положим
(10)
Где
.
Тогда верно интегральное представление (6).
При фиксированном и , оценим функцию и ее производные и . Для оценки воспользуемся равенством
, (11)
Действительно,
Так как
Следовательно,
,
не обращается в нуль в области и
Выберем теперь с условием . Тогда выполняется условие (8) и верна интегральная формула (6). Условие (10) можно ослабить.
Обозначим
.
Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть , удовлетворяет условию роста
(12)
где -некоторая константа.
Тогда справедлива формула (6).
Доказательство. Рассечем области линией на две области
и .
Рассмотрим область . В формуле (5) вместе поставим
(13)
Здесь определяется из (10). При этих обозначениях верна оценка (8).
Действительно,
так как
и .
Соответствующую обозначим через .
Так как
то при фиксированного , для и ее производные верна асимптотические оценки
Пусть в области удовлетворяет условию роста
(14)
Выберем в (13) из неравенства .
Тогда для области выполняется условие (12), следовательно, верна следующая интегральная формула
(15)
Если удовлетворяет в условию роста (12), то при аналогично получим следующую интегральную формулу
где
(16)
Здесь определяется формулой (5), в которой заменяется функцией
(17)
Где
.
В полученных при этом формулах интегралы (согласно (9)) равномерно сходится при , когда . Положим в этих формулах и объединяя полученные формулы, найдем
где
(18)
(интегралы по сечению взаимно уничтожается)
.
Здесь определяется формулой (5), в которой определяется из (17), где положено . Согласно принципу продолжения, формула (15) верна для . При условие (12) формула (15) верна для . Пологая получим доказательство теоремы.
Список литературы
1. Тарханов Н.Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в частных производных и некоторых его приложениях // Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Институт физики АН СССР, Красноярск, 1980 г. С. 147-160.
2. Ярмухамедов Ш. О продолжении решения уравнения Гельмгольца. ДАН, Узбекистан 1997 г. Т. 357. № 3. C. 320-323.
3. Маликов З., Ниёзов И. Интегральная формула для систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в неограниченной области. Узбекский Математический Журнал, № 3-4, Узбекистан, 2001. С. 28-32.
4. Ярмухамедов Ш. Формула Грина в бесконечной области и ее применение.- Изв. АН СССР. Сер. Физ-мат. 1981, №5. С.36-42.
5. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач, Наука, Москва, 1991 г. - С. 164.
6. Yarmukhamedov Sh., Yarmukhamedov I. Cauchy problem for the Helmholtz equation // Inverse and Ill-Posed Problems Series Proceedings of the International Conference Samarkand, Uzbekistan. Utrecht. Boston 2003. P. 143-172.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 27.06.2014Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.
контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Иоганн Карл Фридрих Гаусс - величайший математик всех времен. Интерполяционные формулы Гаусса, дающие приближенное выражение функции y=f(x) при помощи интерполяции. Области применение формул Гаусса. Основные недостатки интерполяционных формул Ньютона.
контрольная работа [207,3 K], добавлен 06.12.2014Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 06.05.2011Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями "назад". Рекуррентные формулы Адамса.
реферат [156,8 K], добавлен 08.08.2009Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016
