О связи основного уравнения четырехполюсника и рекуррентных последовательностей чисел Фибоначчи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

О связи основного уравнения четырехполюсника и рекуррентных последовательностей чисел Фибоначчи

В работе [1] приведены начала анализа однородных электрических цепей методом лестничных чисел. В развитие работы [1], а также метода лестничных чисел, в настоящей статье рассмотрена связь параметров четырехполюсников, составляющих основу лестничных электрических цепей, с основным уравнением передачи четырехполюсника и последнего с так называемыми цепными матрицами [2] (Q-матрицами Фибоначчи [3]), и одним из основных соотношений рекуррентных последовательностей чисел Фибоначчи - соотношением Кассини [3, 4]

Уравнение передачи четырехполюсника. Пассивный четырехполюсник с подключенным генератором Е (источником) и приемником R_к (нагрузкой) электрической энергии (рисунок 1) характеризуется уравнениями передачи, которые могут быть выражены через соответствующие коэффициенты (проводимостей, сопротивлений и др.) [2].

Рис. 1. Четырехполюсник с коэффициентами А, В, С и D

Простейшими структурами четырехполюсников являются - и Г-образные схемы (рис. 2) на основе которых создаются Т- и П-образные схемы.

Рис. 2. Структуры четырехполюсников: а - -образная; б - Г-образный

Соотношения между величинами напряжения и тока на входе (U_н, I_н) и выходе (U_к, I_к) четырехполюсников определяются уравнениями

электрический цепь четырехполюсник кассини

(1)

где А, В, С и D - коэффициенты пропорциональности:

А = U_н/U_к - величина обратная коэффициенту трансформации по напряжению при разомкнутых зажимах 3, 4 (см. рис. 1);

B = U_н/I_к - величина, обратная проводимости передачи при замкнутых зажимах 3, 4;

С = I_н/U_к - величина, обратная сопротивлению передачи при разомкнутых зажимах 3, 4;

D = I_н/I_к - величина, обратная коэффициенту трансформации по току при закороченных зажимах 3, 4.

Связь между коэффициентами А, В. С и D характеризуется следующим уравнением:

AD - BC = 1. (2)

Уравнения передачи в матричной форме.

Входящие в уравнения (1, 2) коэффициенты пропорциональности А, В. С и D можно представить в виде цепочечной матрица типа А

(3)

В зарубежной литературе матрицу (3) также называют Q-матрицей Фибоначчи [3]). Такое название связано с тем, что коэффициенты А, В. С и D определяются числами последовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…,

F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆, F₇, F₈, F₉, F₁₀, F₁₁, F₁₂, … (4)

Последовательность (4) - это рекуррентная (возвратная) последовательность, у которой каждый последующий ее член (кроме первых двух F₁ = 1 и F₂ = 1) равен сумме двух предыдущих:

F_n = F _n-1 + F _n-2. (5)

Из последовательности (4) следует известное соотношение Кассини, что квадрат числа Фибоначчи

= F_п-1F_{п + 1} + (-1)^п+1. (6)

Соотношение Кассини (6) одно из свойств чисел Фибоначчи, обнаруженных в 1680 г. французским астрономом Жан-Домеником Кассини (1625-1712). Цепочечные матрицы электрических цепей, состоящих из n -образных четырехполюсников с резисторами R₁ = R₂ = 1 (рисунок 3) равны

(7)

Рис. 3

Цепочечные матрицы электрических цепей, состоящей из n Г - образных четырехполюсников с резисторами R₁ = R₂ = 1 (рис. 4) равны:

(8)

Рис. 4

Токи (напряжения) в ветвях цепи. В -цепи, состоящей из трех четырехполюсников (n = 3) с сопротивлениями R₁ = R₂ = 1 (см. рисунок 3), токи (напряжения) приведены в табл. 1.

Таблица 1. Токи лестничной - цепи (n = 3)

Токи (напряжения) в ветвях Г-цепи, состоящей из трех образных четырехполюсников (n = 3) с сопротивлениями R₁ = R₂ = 1 (см. рис. 4) приведены в табл. 2.

Таблица 2. Токи лестничной Г - цепи (n = 3)

Связь основного уравнения электрической цепи с соотношения Кассини. Из (7) и (8) следует, что коэффициенты В и С матриц электрических цепей равны и уравнение (2) для цепочечных - и Г-образные схем четырехполюсников принимает вид

AD - В² = 1 или В² = AD - 1. (9)

В символах чисел Фибоначчи основное уравнение - и Г-образных схем четырехполюсников (9) определяется соответственно соотношениями:

F_2n+1F _2n-1 - F²_2n = 1 или F²_2n = F_2n+1F _2n-1 - 1, (10)

F_2n-₁F _2n+1 - F²_2n = 1 или F²_2n = F_2n-₁F _2n+1 - 1

Связь токов П- и Т-образных структур электрических цепей. Разделив члены уравнения (10) на F²_2n+2, получим следующие соотношения:

или , (11)

которое соответствует соотношению Кассини для четных чисел Фибоначчи.

Для П - структуры цепей (в электротехнике треугольника сопротивлений) можно записать следующие соотношения связи токов продольных и поперечной ветвей цепи:

 или . (12)

Для Т-структуры цепи (в электротехнике для трехлучевой звезды сопротивлений) связь токов продольных и поперечной ветвей цепи:

или , (13)

В реальных электрических цепях число цепочечно соединенных четырехполюсников n >> 1. и цепи приобретают свойства цепей с распределенными элементами. Для таких цепей член 1/F²_2n+2 > 0 (F²_2n+2 > ?) и из соотношений (12) - (15) следуют новые закономерности для токов продольных и поперечных ветвей однородных цепей:

- токи поперечных ветвей однородной лестничной цепи равны среднему геометрическому токов прилегающих к нему продольных ветвей

, (14)

- токи продольных ветвей однородной лестничной цепи равны среднему геометрическому токов прилегающих к нему поперечных ветвей

. (15)

Из результатов анализа следует, что параметры однородных лестничных электрических цепей (уравнения передачи цепи) связаны с числами Фибоначчи и цепочечными матрицами (Q-матрицами Фибоначчи). Кроме того, между коэффициентами уравнения электрических четырехполюсников (1) и соотношениями Кассини (8) также существует связь, удивительная связь ХХI и ХVII веков! Заметим, что во времена Кассини наука располагала только начальными сведениями об электрических зарядах: стеклянном и смоляном (положительном и отрицательном). Исследования электрического тока в простейших одноконтурных цепях начались только в ХVIII в. после появления первых химических источников электрического тока [6].

Список литературы

электрический цепь четырехполюсник кассини

1. Семенюта Н.Ф. Элементы математики гармонии в теории линейных электрических цепей // Международные исследования в науке и образовании. -2012. - №1; URL www. es.rae.ru/mino/62-197.

2. Семенюта Н.Ф. Анализ линейных электрических цепей методом лестничных чисел // - Гомель: БелГУТ, 2010. - 109 с.

3. Гарновский Н.Н. Теоретические основы электропроводной связи: часть 1 // - М.: Связьиздат, 1956. - 692 с.

4. Stakhov A. The Mathematics of Harmony - From Euclid to comtemporary Mathematics and Computer Science // World Scientific. 2009. - 676 c.

5. Грехем Р., Кнут Д, Паташник О. Конкретная математика, Основание информатики // - М.: Мир, 1998. - 703 с.

6. Семенюта Н.Ф., Здоровцов И.А. История электрической связи на железнодорожном транспорте (прошлое, настоящее, будущее) // - М.: ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте». 2008. - 324 с.

Размещено на Allbest.ru