Об алгебраических основаниях голографической парадигмы в искусственном интеллекте: алгебра Фурье-дуальных операторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОСНОВАНИЯХ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ПАРАДИГМЫ В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ: АЛГЕБРА ФУРЬЕ-ДУАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Павлов А.В., к.т.н., с.н.с.

СПб ГУ ИТМО

тел./факс: (812)232-14-67

e-mail: pavlov@phoi.ifmo.ru

Введение

В искусственном интеллекте хорошо известна голографическая парадигма (ГП), основанная на ряде аналогий между механизмами работы и свойствами мозга с одной стороны и оптической голографии с другой [1]. Предтечей ГП можно считать А. Гольдшайдера, предложившего еще в 1906 г. рассматривать механизмы памяти и внимания как взаимодействие (т.е. интерференцию) волновых фронтов, формирующихся при поступлении стимулов в кортикальные области мозга. Известно, что голографическая парадигма пересекается с нейросетевой парадигмой [2], а также имеет ряд глубоких аналогий с теорией нечетких множеств. Для выявления этих аналогий полезно рассмотреть алгебраические основания ГП. В данной статье, исходя из принципа физической обоснованности математической модели, рассмотрены алгебраические основания голографии Фурье.

1. Алгебра Фурье-дуальных операторов

Определение 1. Пусть U - универсальное множество, его элементы обозначим x. Обозначим через Im элементы модели, построенной на универсальном множестве U, и определим множество элементов модели (множество всех подмножеств) следующим образом:

Equation Section (Next) (1)

Нетрудно видеть, что (1) формально совпадает с определением нечеткого множества [3].

Аналогия в оптике. Рассмотрим плоский волновой фронт, ограниченный апертурой кадрового окна. В силу универсального свойства ограниченности, в том числе, Фурье-спектра, этот волновой фронт в соответствии с теоремой Котельникова (или теорией дифракции в оптике) может быть представлен в виде набора пикселей - дифракционно-ограниченных элементов разрешения, имеющих конечный размер. В предположении безаберрационности оптической системы и отсутствия геометрических искажений положение пикселей строго фиксировано и не изменяется. Любое изображение Im, т.е. электромагнитное поле в данной плоскости или транспарант, также состоит из пикселей. Приняв для изображений обычную процедуру нормировки, ограничившись только амплитудными изображениями, и обозначив плоский волновой фронт U, а пиксели x, правомочно представить любое изображение в виде , формально совпадающем с определением нечеткого подмножества (1).

Таким образом, мы можем принять плоский волновой фронт, ограниченный апертурой кадрового окна в качестве оптической реализации абстрактного понятия универсального множества U, пиксели - в качестве его элементов. Обратим внимание, что допущение на безаберрационность системы позволяет однозначно приписать каждому пикселю x его координату, которую также обозначим x (для простоты рассмотрим одномерный случай).

Определение 2. Определим алгебру как модель , где и - определяющие модель операции, D - оператор, задающий дуальность определяющих операций и в форме

, (2)

o и u - наименьший и наибольший элементы.

Определение 3. Определим коммутативную, ассоциативную и неубывающую бинарную операцию с нейтральным элементом e(x), т.е.

(3)

Тогда, если e(x)=u(x), то определим V как абстрактное умножение (V = ); а если e(x) = o(x), то V определим как абстрактное сложение (V = )). Нетрудно видеть, что определенные таким образом операции суть t-норма и t-конорма соответственно [3, 4].

Определение 4. Определим D как унарный оператор , удовлетворяющий следующему набору аксиом, включая (2):

, (4)

(5)

Здесь мы предполагаем, что на задано отношение порядка, но не конкретизируем его.

. (6)

Определение 5. Используем классическое определение оператора Фурье-преобразования F, связывающего функцию Im(x), удовлетворяющую условиям Дирихле и абсолютно интегрируемую (x в данном контексте координата), с ее Фурье-образом F():

, (7)

где j - мнимая единица, - координата в Фурье-пространстве (частота).

Операция Фурье-преобразования (ФП) реализуется в оптике положительной линзой. В задней фокальной плоскости линзы формируется Фурье-образ распределения амплитуд волнового поля в передней фокальной плоскости.

Нетрудно видеть, что в силу хорошо известных свойств Фурье-преобразования оператор F удовлетворяет аксиомам (4) в форме:

где (x)- -функция Дирака, определяемая следующим образом:

,

и аксиоме (5) в случае нормальных унимодальных функций (обозначим их a(x) и b(x))

,

где а - -срез а. Если функции не унимодальные, то последнее условие имеет силу для глобальных максимумов автокорреляционных функций

,

где символ обозначает операцию корреляции.

В оптике -функция суть дифракционно-ограниченный точечный источник (пиксел).

Требование инволютивности (6) удовлетворяется при использовании пары прямого и обратного ФП, отличающихся лишь знаком под экспонентой. При двукратном применении прямого ФП (7) имеет место инверсия координат , учет которой эквивалентен выполнению условия (6).

Таким образом, в алгебре с Фурье-дуальными определяющими операциями в качестве минимального элемента о(x) выступает -функция, а максимального, Фурье-дуального минимальному, Const(x) = 1 .

В качестве операции умножения примем обычное умножение. Операция умножения в оптике реализуется при освещении транспаранта волновым фронтом. Тогда операция абстрактного сложения, Фурье-дуальная умножению, определяется в соответствии с (2). Получаем формулировку известной теоремы Бореля о свертке -Фурье-образ свертки двух функций равен произведению их Фурье-образов, т.е. в качестве абстрактного сложения выступает свертка

, (8)

где символ * обозначает операцию свертки двух функций

.

В силу свойства инволютивности (6) свертка вычисляется методом двойного ФП, т.е.

. (9)

Здесь, как и в дальнейшем изложении, в целях упрощения выкладок мы пренебрегли инверсией координат, возникающей вследствие двукратного применения прямого ФП.

Операция свертки (абстрактного сложения) в оптике реализуется методом Фурье-голографии (ФГ) [5].

Замечание 1. Заметим, что алгебра с Фурье-дуальными определяющими операциями есть алгебра нечетких множеств - даже в случае определения исходных элементов модели как четких множеств, уже однократное применение операции абстрактного сложения ведет к преобразованию четких множеств в нечеткие

.

Замечание 2. В алгебре Фурье-дуальных операторов операция сложения определена не поточечно, но учитывает внутреннюю коррелированность как фундаментальный атрибут информации, отличающий ее от -коррелированного шума.

Замечание 3. Оператор Фурье-преобразования в общем случае представляет собой отображение в пространство комплексных функций. Отсюда c неизбежностью следует необходимость применения для реализации Фурье-дуальности (9) технологий, обеспечивающих регистрацию и восстановление комплексных функций. Для волн любой природы и частотного диапазона (оптических, радио, и.т.д.) единственной на сегодня технологией, удовлетворяющей этому требованию, является голография.

Замечание 4. В силу ограниченности (пространственной или временной) как U, так и области определения Фурье-образа F(o(x))Supp= [-Max,Max], -функция в реальности имеет ненулевую ширину и описывается в Фурье-области функцией

где [-,] - область определения U, Sinc - обозначение Вудварда для функции вида Sin(x)/x. Аналогично, в силу ограниченности области определения Фурье-образа [-Max,Max], -функция на U также описывается функцией, определяемой аналогично.

Если U=XY, т.е. плоскость, то для прямоугольной области определения

,

а для области определения с осевой симметрией (т.е. круглой апертуры радиуса rmax)

,

где J1 - функция Бесселя первого рода первого порядка.

Элементы модели

Для любого элемента модели можно определить четыре связанных с ним элемента: дуальный, дополнительный, инверсный и противоположный. Определения дуального и дополнительного элементов очевидны.

Инверсный элемент Imi для элемента Im относительно операции S определяется [6] из условия

(10)

Противоположный элемент Imo определяется условием

(11)

где x, как и ранее, - обобщенная координата элемента Im на оси элементов модели. Пользуясь свойством симметрии ФП, получим

,

где звездочка - символ комплексного сопряжения. Отсюда, используя определение вычитания как сложения с аддитивно противоположным элементом [6], получим:

т.е. операция корреляции в алгебре Фурье-дуальных операций суть вычитание.

Операция корреляции в оптике реализуется в той же схеме, что и операция свертки - схеме голографии Фурье. Свертка реализуется в - 1 порядке дифракции, корреляция - в +1 порядке дифракции.

2. Реализация нечетких логик методом Фурье-голографии

Определение 6 (по Л.Заде [7]). Лингвистической переменной (ЛП) называется набор Y, Tm(Y),U,G,M, где Y - название ЛП, Tm(Y) - терм-множество, U - универсальное множество, G - множество синтаксических правил, порождающее термы множества Tm(Y), M - множество семантических правил (семантическое правило каждому лингвистическому значению Y ставит в соответствие его смысл m(Y) , причем m(Y) обозначает нечеткое подмножество множества U). В рамках настоящей статьи ограничимся рассмотрением реализации семантических правил из M.

Нетрудно видеть, что адекватная схеме ФГ алгебра суть алгебра нечеткозначной логики [4], множество элементов модели суть решетка нечетких множеств. Соответственно, метод логико-лингвистического моделирования (ЛЛМ) Л.Заде может быть реализован на этой алгебре методом Фурье-голографии при представлении смысла входных ЛП посредством нечетких чисел, что и было показано в [8]. Однако обратим внимание на то, что модель не запрещает представление смысла ЛП любым изображением Im и не накладывает на Im ограничений, обычно накладываемых на множества, представляющие смысл ЛП (нормальность, унимодальность и выпуклость). Таким образом, алгебра нечеткозначной логики реализуется и при обработке схемой ФГ изображений Im, не удовлетворяющих требованию унимодальности. Следовательно, возможна реализация идеи ЛЛМ и при обработке произвольных изображений, в том числе, аналогов паттернов внутренней репрезентации (ПВР). Тем самым, в рамках данной модели и ее голографической реализации возможна интеграция двух форм мышления - логической и образной. При этом эталонные ПВР задаются не формализовано, а посредством обучения системы - записи голограммы. Иными словами, речь идет уже об интеграции нечетких и нейронных систем.

Однако, в рамках такого подхода возникает проблема, отсутствующая в классическом подходе Л.Заде [7] - интерпретация смысла, представленного унимодальным множеством очевидна, но для придания методу Заде биологической мотивированности мы отказались от требования унимодальности Im. Непосредственная же интерпретация смысла, представленного многомодальным множеством ведет к … шизофрении.

Для наглядности изложения предложенного подхода к решению проблемы интерпретации рассмотрим его на примере реализации композиционного правила вывода «Обобщенный Modus Ponens», связывающего набор входных ЛП с одной выходной ЛП (заключением). Используем классический пример вывода «Если яблоко большое и красное, то оно хорошее». Нетрудно видеть, что проблема интерпретации разделяется на две:

Интерпретация смыслов входных ЛП, представленных в соответствии с требованием на биологическую мотивированность в виде изображений - аналогов ПВР, которые обозначим Imin ;

Интерпретация смысла логического заключения ImOut.

Примем достаточно очевидное с практической точки зрения условие, что заключение, формируемое системой ImOut, должно удовлетворять требованиям к нечетким числам, в первую очередь - требованию унимодальности. В следующем разделе покажем, что это условие удовлетворяется выбором семантического оператора.

Тогда остается первая проблема - проблема объединения двух моделей - описывающей реальную схему Фурье-голографии и предложенной Заде, т.е. оперирующей НЧ. Обратим внимание, что при реализации метода ЛЛМ Л.Заде алгеброй Фурье-дуальных операторов существует «внутренний» этап - вычисление Фурье-образов и их перемножение. Поэтому решение задачи интерпретации будем искать не в пространстве ПВР, а в Фурье-пространстве, а именно - приравняем действительные части Фурье-образов реально обрабатываемых системой ПВР Imin и абстрактных нечетких чисел, которые обозначим FN (от Fuzzy Numbers)

абстрактный сложение фурье голография

.Equation Section (Next) (12)

Выражение (12) связывает характеристики изображений, обрабатываемых схемой ФГ, с характеристиками нечетких чисет, используемых в абстрактном описании - увеличение моды НЧ сопровождается расширением его функции принадлежности [4], что в соответствии с (3.1) ведет к уменьшению разрешения изображения Imin - увеличению размеров его элементов. Таким образом, два подхода - абстрактно-алгебраический, использующий представление смысла ЛП посредством НЧ и биологически мотивированный (нейросетевой) объединяются и согласовываются в Фурье-пространстве.

Заключение

Таким образом, схема голографии Фурье строит алгебру нечетких множеств. Нечеткость в данном случае возникает не по прихоти автора модели, а как математическая формализация реального физического явления - дифракции. Соответственно, и физическая обусловленность порождаемой логики позволяет объединить в одном методе два понятия образа - биологически мотивированное как картины нейронной активности коры мозга (паттерна внутренней репрезентации) и формальное как вектора в абстрактном пространстве признаков и, тем самым, интегрировать две формы мышления - логическую и образную.

Литература

1. Прибрам К. Нелокальность и локализация: голографическая гипотеза о функционировании мозга в процессе восприятия и памяти// Синергетика и психология. Вып. 1: Методологические вопросы: Пер. с англ. - М.: МГСУ "Союз", 1997.

2. Кузнецов О.П. Неклассические парадигмы в искусственном интеллекте // Известия РАН: Теория и системы управления. -1995. - №5. - С.3-23.

3. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И., Математические принципы нечеткой логики: Пер. с англ. - М.: Физматлит, 2006.

4. Аверкин А.Н., Батыршин И.З. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Физматлит, 1986.

5. Dubois D., Prade H. Fuzzy Numbers: An Overview// Analysis of Fuzzy Information/ Ed. by J.C.Bezdek. - Boca Raton FL: CRC Press, 1987. - Vol.1.- P.3-39.

6. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976.

7. Павлов А.В. Реализация логико-лингвистических моделей методом Фурье-голографии// Известия РАН: Теория и системы управления. - 2003. - №2. - C.118-125. .

8. Павлов А.В. Математические модели оптических методов обработки информации // Известия РАН: Теория и системы управления. - 2000. - №3. - C.111-118.

9. Павлов А.В. Об алгебраических основаниях Фурье-голографии// Оптика и спектроскопия. - 2001. - Т.90. - Вып.3. - С.515-520.

Размещено на Allbest.ru