Нечеткие пропозициональные силлогизмы

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Нечеткие пропозициональные силлогизмы

Ионин В.К., д.ф.-м.н., профессор РГСУ

е-mail: vkionin@mail.ru

Плесневич Г.С., к.ф.-м.н., профессор МЭИ

е-mail: salve@mail.ru



1. ЛОГИКА АРИСТОТЕЛЯ

В классической логике Аристотеля рассматриваются так называемые категорические суждения вида «Все P есть Q», «Некоторые P есть Q», «Никакие P не есть Q» и «Некоторые P не есть Q». С современной точки зрения язык логики Аристотеля определяется следующим образом.

Синтаксис:

· имеется счетное множество имен (обозначающих классы объектов);

· предложения языка - это выражения вида P a Q, P i Q, P e Q и P o Q, где P и Q - имена классов.

Семантика определяется через интерпретации I предложений:

· задается непустое множество U I - область интерпретации I;

· задается подмножество P IU I для каждого имени класса Р;

· предложения интерпретируются так (1 обозначает истину):

(P a Q)I= 1 df P I Q I, (P i Q) I = 1 df P IQ I ? Ш,

(P e Q)I = 1 df P IQ I =Ш, (P i Q) I = 1 df P I\ Q I ? Ш

В дальнейшем в этом и следующем разделе, подразумевая, что задана произвольная интерпретация I, мы не будем писать I в качестве верхнего индекса.

Логическое следствие

Е |= ф,

где Е - конечное множество предложений, а ф - предложение логики Аристотеля, определяется стандартным образом:



Е |= ф df

не существует интерпретации, при которой все предложения из Е истинны, а предложение ф ложно.

С понятием логического следования тесно связано понятие невыполнимости. Множество Е называется невыполнимым, если не существует интерпретации, в которой все предложения из Е истинны.

В языке логики Аристотеля действует операция отрицания «~»:

~ (P a Q) =P o Q, ~ (P e Q) = P i Q, ~ (P o Q) = P a Q , ~ (P i Q) = P i Q .

Очевидно, что

E |= ф E{~ф} - невыполнимое множество.

Это показывает, что для логики Аристотеля проблема логического следствия сводится к проблеме невыполнимости. Наоборот, проблема невыполнимости сводится к проблеме логического следствия, так как любе непустое множество Е можно представить как Е \{~(~ф)}, где фЕ.

Аристотель указал 24 так называемых силлогизмов - правил вывода для логики Аристотеля.

Традиционно силлогизмы классифицируются по четырем группам, называемым фигурами (табл. 1).

Таблица 1 Фигуры силлогизмов

	1-я фигура	2-я фигура	3-я фигура	4-я фигура
1-я посылка	M б P	P б M	M б P	P б M
2-я посылка	S в M	S в M	M в S	M в S
Заключение	S г P	S г P	S г P	S г P

В табл.1 б, в, г {a, i, e, o}, а буквы S, M, P обозначают термины силлогизма, называемые, соответственно, субъектом, средним термином и предикатом. Очевидно, имеется ровно 216 (4444) возможных правил вывода. Но только 15 из них являются состоятельными, т.е. отвечающими логическим следствиям. Эти состоятельные правила (силлогизмы), приведены в табл.2.

Таблица 2 Силлогизмы

1-я фигура Barbara aaa Darii aii Celaren eae Ferio eio	2-я фигура Camestres aee Baroco aoo Cesare eae Festino eio
3-я фигура Datisi aii Ferison eio Disamis iai Bocardo оао	4-я фигура Camenes aee Fresison eio Dimaris iai

Замечания. 1) Названия силлогизмов были даны средневековыми логиками с мнемонической целью. Буквы в названии, отвечающие гласным звукам, определяют соответствующий силлогизм. Например, в силлогизм третьей фигуры Ferison входят буквы е, i, o, и поэтому в этом силлогизме первой посылкой будет M e P, второй посылкой - M i S, а заключением - S о P. 2) В современной нотации в правилах вывода используется знак |-, отделяющий посылки от заключения. (Например, правило первой фигуры записывается в виде M б P, S в M |- S г P). 3) На самом деле Аристотель, кроме указанных в табл.2 пятнадцати силлогизмов, указывал еще несколько силлогизмов. Однако эти силлогизмы не являются состоятельными правилами вывода. Например, один из этих силлогизмов первой фигуры, называемый Barbari: M i P, S a M |- S o P, состоятельным правилом вывода не является, так как не верно, что M а P, S a



M |= S i P.

Аристотель неявно принимал допущение, что «Все Р» влечет «Некоторые Р». С этим допущением силлогизм Barbari является состоятельным. (На самом деле, верно, что M а P, М i M, S a M |= S i P.)

Переставляя (если нужно) посылки силлогизмов и заменяя имена M, P, S на P, Q, R, а, также вводя обратные к б связки б* (P б*Q dfQ б P), можно все 15 силлогизмов свести к одному правилу вида P б Q, Q в R |- P г R (табл.3). При этом окажется, что некоторые силлогизмы будут представлены одинаковыми правилами. Возьмем, например, силлогизмы Darii и Datisi. Тогда имеем:

Darii: M a P, S i M |- S i P M a P, M i S |- S i P

S i M, M a P |- S i P

P i Q, Q a R |- R i P,

Datisi: M a P, M i S |- S i P M a P, S i M |- S i P

S i M, M a P |- S i P P i Q, Q a R |- R i P.

Таблица 3 Силлогизмы, приведенные к первой фигуре

P a Q, Q a R |- P a R P i Q, Q a R |- P i R P a Q, Q e R |- P e R P i Q, Q e R |- P o R P o Q, Q a*R |- P o R P о* Q, Q а R |- P o*R	Barbara Darii, Datisi, Disamis Celarent, Cesare, Camestres, Camenes Ferio, Festino, Ferison, Fresison Baroco Bocardo

Известно, что 15 силлогизмов составляют полную систему правил вывода. Это означает, что Е |= ф тогда и только тогда, когда ф может быть выведено из Е путем (многократного) применения силлогизмов. (Это было доказано Т. Смайли в работе [2].) Полноту системы силлогизмов можно также сформулировать следующим образом: множество Е невыполнимо тогда и только тогда, когда из Е путем (многократного) применения силлогизмов могут быть выведены некоторое предложение ф и его отрицание ~ ф.

2. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ЛОГИКИ АРИСТОТЕЛЯ

В логике Аристотеля областью интерпретаций (универсумом) может быть любое непустое множество. Будем теперь интерпретировать предложения логики Аристотеля только в одноэлементном универсуме U. Тогда значениями произвольного имени класса P может быть только само множество U или пустое множество Ш. Если теперь имя Р трактовать как пропозициональную переменную, то в первом случае можно считать, что Р истинно, а во втором - ложно. Ясно, что семантику предложений в предположении одноэлементного универсума можно определить так:

P a Q dfP Q ~(P~Q), Р i Q dfPQ,

P e Q df~(PQ), P i Q df~(PQ) P~Q.

Логику предложений с указанной семантикой назовем пропозициональным вариантом логики Аристотеля (ПВЛА). Одним из мотивов для рассмотрения ПВЛА является утверждение, что проблема логического следствия для логики Аристотеля сводится к проблеме логического следствия для ПВЛА.

Доказывая это утверждение, сначала заметим, что (так же, как и для логики Аристотеля) для ПВЛА проблема логического следствия равносильна проблеме невыполнимости. Поэтому указанное утверждение можно заменить на утверждение, что проблема невыполнимости для логики Аристотеля сводится к проблеме невыполнимости для ПВЛА.

Для доказательства того, что невыполнимость для логики Аристотеля сводится к невыполнимости для ПВЛА мы должны по произвольному множеству Е предложений логики Аристотеля построить новое множество E' такое, что Е невыполнимо в логике Аристотеля тогда и только тогда, когда Е' невыполнимо в ПВЛА. Покажем на примере, как это сделать.

Пример. Пусть

Е = {A i B, A o C, A a D, B e C, B e D}.

Предложения из Е запишем в языке логики предикатов:

x(A(x) B(x)), x(A(x) ~C(x)), (1)

x(~(A(x) ~D(x)), x(~(B(x) C(x))), x(~(B(x) D(x))). (2)

Заменим формулы (1) на формулы:

А(с1) B(с1), A(с2) ~C(с2), (3)

где с1 и с2 - сколемовские константы. Эта замена сохраняет свойство невыполнимости; поэтому

Е невыполнимо множество формул (2)(3) невыполнимо.

По теореме Эрбрана множество (2)(3) будет выполнимым тогда и только тогда, когда оно выполнимо в универсуме Эрбрана, который в данном случае состоит из двух элементов - констант с1 и с2.

Следовательно, множество (2)(3) будет невыполнимым тогда и только тогда, когда невыполнимо множество, состоящее из формул (3) и формул, получаемых из формул (2) подстановкой констант с1 и с2 вместо переменной х:

А(с1)B(с1), A(с2)~C(с2), ~(A(с1)~D(с1)), ~(B(с1)C(с1)),

~(B(с1)D(с1)), ~(A(с2)~D(с2)), ~(B(с2)C(с2)), ~(B(с2)D(с2)).

Здесь А(с1), A(с2), B(с1), B(с2), С(с1), С(с2), D(с1), D(с2) можно рассматривать в качестве пропозициональных переменных и обозначить их соответственно Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7, Р8. Возвращаясь к обозначениям со аристотелевскими связками, мы получим множество

Е'= {Р1 i Р3, Р1 o Р6, Р1 a Р7, Р3 e Р5, Р3 e Р7, Р2 a Р8, Р4 e Р6, Р4 e Р8}.

Ясно, что множество Е невыполнимо тогда и только тогда, когда невыполнимо множество Е'. Отношение логического следования в ПВЛА обозначим |=o (в отличие от знака |=, который мы использовали в логике Аристотеля). Очевидно, что (для любых Е и ф) Е |= ф влечет E |=o ф. Обратное не верно (например, P i Q |=o R a Q, но P i Q |? R a Q). Другими словами, отношение логического следствия в логике Аристотеля слабее отношения логического следствия в пропозициональном варианте этой логики.

В ПВЛА также можно рассматривать силлогизмы, которые мы будем называть пропозициональными. Точнее, пропозициональный силлогизм в ПВЛА - это правило вида

P б Q, Q в R |- P г R (где б, в, г{a, i, e, o}),

состоятельное в ПВЛА, т.е. такое, что

P б Q, Q в R |=o P г R.

Все указанные в табл.3 правила вывода являются, очевидно, пропозициональными силлогизмами. Но имеются также другие пропозициональные силлогизмы, например, правила вывода вида P б Q, Q в R |- P г R, отвечающие комбинациям aii и aoe. Замечание. Логика Аристотеля имеет свойство, что для любых двух связок б и в существует не более одной связки г, что состоятельно правило, отвечающее комбинации бвг. Для ПВЛА это не так: например, две комбинации iea и iee определяют состоятельные правила вывода.

3. НЕЧЕТКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ

Нечеткая логика Аристотеля характеризуется тем, что ее предложения имеют истинностные значения в интервале

[0,1] = {x | 0?x?1}, т.е. (P б Q)I [0,1], где б{a, i, e, o}

и I - произвольная нечеткая интерпретация. В случае нечеткого пропозиционального варианта логики Аристотеля нечеткая интерпретация I может быть определена с использованием треугольной нормы Т [2] следующим образом:

· PI [0,1] для любой пропозициональной переменной Р;

· (P a Q)I = ~(PIT ~QI) = 1-T(PI, 1- QI),

· (P i Q)I = PIT ~QI = T(PI, QI),

· (P e Q)I = ~(PIT QI) = 1-T(PI, QI),

· (P o Q)I = PIT ~QI = T(PI, 1- QI).

С нечетким ПВЛА ассоциирована четкая логика с нечеткими интерпретациями, предложениями которой служат выражения вида

a ? P б Q ? b, где б{a, i, e, o} и a, b [0,1].

Семантика этих предложений определяется так:

(a ? P б Q ? b)I = 1 df a ? (P б Q)I ? b.



Таким образом,

(a ? P a Q ? b)I = 1 a ? 1-T(PI, 1- QI) ? b, (4)

(a ? P i Q ? b)I = 1 a ? T(PI, QI) ? b,

(a ? P e Q ? b)I = 1 a ? 1-T(PI, QI) ? b, (5)

(a ? P o Q ? b)I = 1 a ? T(PI, 1- QI) ? b.

В дальнейшем, подразумевая, что задана произвольная интерпретация I, мы вместо (a ? P i Q ? b)I = 1 писать a ? P i Q ? b и, вообще, опускать индекс I.

Рассмотрим правила вывода вида

a ? P б Q ? b, с ? P в Q ? d |- g ? P г Q ? h.

Для данных произвольных a, b, c, d [0,1] существуют g, h [0,1], что

aP б Qb, сP в Qd |= gP г Qh. (6)

В самом деле, если взять g = 0 и h = 1, то предложение g ? P г Q ? h будет истинно (при любой интерпретации). Поэтому логическое следствие (6) для этих значений g = 0 и h = 1 будет тривиальным образом истинным. Ясно также, что если g' ? g и h' ? h и логическое следствие (6) истинно, то будет также истинным логическое следствие, получаемое из (6) заменой g на g' и h на h'. Поэтому для любых связок б, в, г {a, i, e, o, a*, o*} существуют числа g0 и h0 такие, что

a ? P б Q ? b, с ? P в Q ? d |= g0 ? P г Q ? h0

и, если g> g0 и h<h0, то

a ? P б Q ? b, сP в Q ? d |? g' ? P г Q ? h'.

Если a, b, с и d рассматривать как параметры, то g0 и h0 будут функциями от a, b, с и d:

g0 = g0(a, b, c, d) и h0 = h0(a, b, c, d).

Правило вывода

a ? P б Q ? b, с ? P в Q ? d |- g0(a, b, c, d) ? P г Q ? h0(a, b, c, d)

нечеткий пропозициональный силлогизм аристотель

назовем нечетким пропозициональным силлогизмом.

Построить нечеткий пропозициональный силлогизм с паттерном бвг - значит найти выражения для функций g0 и h0, основываясь на заданной треугольной норме Т(х, у).

Введем следующие условия для пар (x, y) [0,1]2:

Д1 = Д1(a, b, c, d): t [a ? T(x,t) ? cb ? T(1- t,y) ? d]},

Д2 = Д2(a, b, c, d): t [a ? T(x,t) ? cb ? T(t, y) ? d]}

и положим:

I1 = I1(a, b, c, d) = inf{T(x,y) | Д1(a, b, c, d)},

I2 = I2(a, b, c, d) = inf{T(x,1-y) | Д1(a, b, c, d)},

I3 = I3(a, b, c, d) = inf{T(x,y) | Д2(a, b, c, d)},

I4 = I5(a, b, c, d) = inf{T(x,1-y) | Д2(a, b, c, d)}.

S1 = S1(a, b, c, d) = sup{T(x,y) | Д1(a, b, c, d)},

S2 = S2(a, b, c, d) = sup{T(x,1-y) | Д1(a, b, c, d)},

S3 = S3(a, b, c, d) = sup{T(x,y) | Д2(a, b, c, d)},

S4 = S4(a, b, c, d) = sup{T(x,1-y) | Д2(a, b, c, d)}

Оказывается, любой нечеткий пропозициональный силлогизм можно построить, используя выражения для Si и Ii (i = 1,2,3,4). Рассмотрим, например, нечеткий пропозициональный силлогизм Сamenes, т.е.

aP а Qc, bQ e Rd |- g0P e Rh0.

Возьмем произвольную нечеткую интерпретацию I и обозначим PI = x,

QI = t и RI = y. Тогда благодаря (4) и (5) будем иметь

a(P a Q) Ica1- T(x,1-t)c1- cT(x,1-t)1-a,

b(Q e R) Id b1- T(t, y)d 1- dT(t, y)1-b,

g0 ? (P e R) Ih0 1- h0 ?T(x, y)1- g0.

Следовательно,

1- h0 = inf{1- T(x,y) |t [1-cT(x, t)1-a 1-dT(1- t, y)1-b]}

= inf{1- T(x,y) | Д1(1-b,1-a,1-d,1-c)}

= 1-sup{T(x,y) | Д1(1-b,1-a,1-d,1-c)} = 1- S1(1-b,1-a,1-d,1-c).

Аналогично

1- g0 = sup{1- T(x,y) | 1-bT(x,1-t)1-a, 1-dT(t, y)1-c}

= 1- I1(1-c,1-d,1-a,1-b)

Таким образом, для нечеткого силлогизма Camenes имеем

g0= I1(1-d,1-c,1-b,1-a), h0= S3(1-d,1-c,1-b,1-a).

Рассмотрим еще один пример - нечеткий силлогизм Baroco:

aP o* Qc, bQ a Rd |- g0P o* Rh0.

Тогда имеем

a(P o* Q) Ic a(Q o P) Ic aT(t,1-x)c,

b(Q a R) Id 1- dT(t, y)1- b 1- dT(y, t)1- b,

g0(P o* R) Ih0 g0T(y,1-x) h0.

Отсюда получаем для нечеткого силлогизма Baroco:

g0= I2(1-d, a,1-b, c), h0= S2(1-d, a,1-b, c).

4. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ Ii И Si К ЗАДАЧЕ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Здесь мы будем предполагать, что треугольная норма Т(х,у) непрерывна и строго возрастает по каждому аргументу на множестве {(x,y) | x > 0, y > 0}.

Оказывается, задачу нахождения выражений для Ii и Si можно свести к задаче нахождения выражений для условных экстремумов функции Т(х,у), причем условия имеют вид:

и1(r,s):

t [T(x,t) =r T(1-t,y) =s] или и2(r,s):t [T(x,t) =r T(t,y) =s].

ТЕОРЕМА. Если треугольная норма Т(х,у) непрерывна и строго возрастает по каждому аргументу на множестве {(x,y) | x >0, y >0, то Ii и Si (i = 1,2,3,4)

можно выразить следующим образом



5. НЕЧЕТКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ В ЛОГИКЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ НОРМОЙ

Мультипликативная норма Т(х,у) = ху является непрерывной и строго возрастает на множестве {(x,y) | x > 0, y > 0}.

Поэтому можно применить теорему из п.4. Условные экстремумы легко находятся, и мы получаем следующие выражения для Ii и Si.



Литература

1. Shirky C. The Semantic Web, Syllogism, and Worldview - http://www.shirky.com/writings/semantics_sylloisms.html.

2. Smiley Т. Aristotle's Completeness Proof// Ancient Philosophy, Special Issue, 1994.

3. Aristotle's Logic// Stanford Encyclopedia of Philosophy - http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic.

4. Pfeifer N. Contemporary Syllogistics: Comparative and Quantitative Syllogistics. Technical Report - http://www.users.sbg.ac.at/~pfeifer/pdf/syll.pdf.

5. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. Математические принципы нечеткой логики: Пер. с англ. - М.: Физматлит, 2006.

6. Плесневич Г.С. Силлогистики для семантических сетей// Труды 10-й Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием (Обнинск, 25-28 сентября 2006 г.). - М.: Физматлит, 2006. - Т.1. - С.321-330.

Размещено на Allbest.ru

...