Размещено на http://www.allbest.ru/

НЦЗІ ВІТІ ДУТ

Похибки вимірювань, їх класифікація

Ковач В.О., Зінченко М.О., Мужеський К.К., Ковальчук Ю.В.

Похибка - найважливіша характеристика засобу вимірювань. Вона визначає точність виміру, тобто якість виміру і визначає близькість результатів вимірів до істинного значення вимірюваної величини. Ми практично завжди заміняємо істинне (гіпотетичне) значення вимірюваної величини значенням найбільше до нього близьким і задовольняючої нас по точності. Таке значення обмірюваної фізичної величини називається дійсним значенням. Дійсне значення вимірюваної величини - це значення, знайдене експериментальним шляхом і настільки наближене до істинного значення, що в умовах даного вимірювального експерименту може бути використане замість нього.

Похибки вимірів можна класифікувати по ряду ознак (рис. 1).

Рис. 1. Классифікація похибок вимірювань

Для оцінки похибок вимірів уводять кількісні характеристики, а для визначення шляхів зменшення похибок необхідно проводити дослідження причин, джерел, закономірностей виникнення різних складових похибки.

Кількісно похибки вимірів виражаються в абсолютних і відносних одиницях.

Абсолютна похибка визначається як модуль різниці між результатом виміру і істиним (дійсним) значенням вимірюваної величини:

|. (1.1)

Абсолютна похибка має розмірність вимірюваної величини, тобто виражається в одиницях вимірюваної величини.

Відносна похибка визначається як відношення абсолютної похибки до дійсного значення вимірюваної величини:

. (1.2)

Відносна похибка виражається у відносних чи одиницях у відсотках.

У практиці зручно користатися приведеною похибкою, що визначається як відношення абсолютної похибки до нормованого значення:

, (1.3)

де - множник, що дорівнює верхній межі чи виміру довжині шкали в мм.

Джерелами похибок вимірів є методи, засоби вимірювань, а також оператор (суб'єкт).

Відповідно до місця виникнення, похибок вимірів розділяють на методичну, інструментальну й операторну складові.

Методична похибка вимірів викликана недосконалістю методу виміру (спрощенням, наближенням методу, чи розрахункової формули, покладених в основу методу чи розрахунку того іншого параметра), наприклад, заміна інтеграла на суму при непрямих вимірах ряду параметрів. Задача оператора - врахувати всі похибки методу і вибрати таку методику виміру, що зведе до мінімуму вплив таких похибок.

Інструментальна похибка виникає внаслідок недосконалості засобу вимірювань, тобто визначається похибкою власне самого засобу вимірювань, недосконалістю конструкції, не ідеальністю характеристик приладу і т.п.. Інструментальна похибка, у свою чергу, складається з ряду складових, обумовленими властивостями елементів і матеріалів, використовуваних при створенні засобів вимірювань: реакцією засобу вимірювань на зміну величин, що впливають на вимір, (температуру, тиск, вологість, вібрації, електромагнітні поля, випромінювання і т.п.), впливом засобу вимірювань на об'єкт вимірів, реакцією засобу вимірювань на швидкість (частоту) зміни вимірюваних параметрів і т.п.. В основному вони виникають внаслідок конструктивних чи недоробок технологічної недосконалості виготовлення засобів вимірювань. Основними причинами виникнення інструментальних похибок є:

1.Наявність люфтів у рухливих частинах вимірювальних приладів, нерівномірність тертя в осях і опорах обертових частин механізмів, ексцентричне розташування осей і т.п.;

2.Неточність градуіровки засобів вимірювань, що обумовлена масовістю виробництва приладів;

3.Старіння (знос) деталей, елементів і вузлів засобів вимірювань, а також їх розрегулюваненя;

4.Вплив засобів вимірювань на об'єкт вимірів;

5.Неправильна механічна установка (деякі стрілочні прилади вимагають установки в строго визначене положення, зазначене на шкалі приладу, наприклад, тільки строго чи горизонтально вертикально за рівнем), взаємним розташуванням приладів, якщо вони впливають один на одного (у виді перешкоди), неточністю установки нуля приладу і т.п..

Операторна (суб'єктивна) похибка викликана помилками оператора, обмеженістю його органів почуттів, його фізичних можливостей, уповільненою реакцією, відсутністю досвіду, чи просто прорахунками.

У залежності від характеру прояву похибки поділяються на систематичні, випадкові і грубі.

Систематична похибка - складова похибки, що залишається постійної чи закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.

Випадкова похибка вимірів - складова похибки виміру, що змінюється випадковим образом при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.

У процесі вимірів обидва види похибок виявляються одночасно, тому сумарну похибку можна представити у виді суми:

=+, (1.4)

де - випадкова похибка вимірів;

- систематична похибка вимірів.

Груба похибка - це похибка виміру, істотно перевищуюча очікувану похибку за даних умов. Груба похибка може мати як випадковий, так і систематичний характер. Вона може виникнути в результаті неправильних (некоректних) дій оператора, помилок при відліку чи результату запису показань, унаслідок несправності засобу чи вимірів під впливом різних перешкод. Грубі похибки повинні бути вчасно виявлені і виключені з результату виміру.

Крапкові та інтервальні оцінки похибки вимірювань.

Наявність випадкових похибок приводить до того, що при повторних вимірах однієї і тій же по розмірі фізичної величини, як би ретельно і на якому би науковому рівні вони не виконувалися, виходять різні обмірювані значення, розкид яких носить випадковий характер. При кожнім окремому вимірі випадкова похибка викликається безліччю причин, і врахувати їх при вимірах не представляється можливим. Оскільки за результатами вимірів завжди приймаються чи рішення робляться визначені практичні висновки, то для підвищення їхньої обґрунтованості винятково важливо вміти оцінити похибки вимірів.

Для оцінки похибок вимірів, що є випадковими величинами, використовуються імовірностні методи.

Найбільш повним описом похибки вимірів як випадкової величини є закон її розподілу. Однак його використання і незручне, і утруднено через великі складності експериментального одержання і наступної перевірки результатів вимірів. Тому для кількісної оцінки похибок вимірів, як правило, застосовують числові характеристики (невипадкові числа) законів розподілу. При цьому як функцію щільності розподілу імовірностей похибки чи вимірів її складових варто приймати закон, близький до нормального усіченому за умови, що маються підстави думати реальну функцію щільності розподілу симетричної, одномодульної, відмінної від нуля на кінцевому інтервалі значень похибки. Звичайно ця умова виконується.

Якщо впевненості в тім, що воно правильно, усе-таки ні, те варто приймати яку-небудь іншу апроксимацію функції щільності розподілу імовірностей похибки вимірів, але так, щоб вона дозволяла визначити числові характеристики закону розподілу, а виходить, і кількісні оцінки похибки вимірів із припустимою похибкою розрахунку.

Для кількісного вираження похибок вимірів, а, отже, і результату вимірів застосовуються крапкові та інтервальні оцінки.

Крапковою оцінкою похибки називають конкретне значення похибки, виражене одним числом. Так, крапковими оцінками похибки вимірів є її дисперсія і середньо-квадратичне відхилення.

Дисперсія похибки вимірів служить мірою розсіювання (розкиду) окремих значень похибки при повторних вимірах щодо математичного чекання (чи систематичної складовий) похибки вимірів. Іншими словами, дисперсія похибки вимірів характеризує розсіювання (розкид) результатів окремих (одиничних) вимірів біля середнього значення результатів вимірів (спостережень), що є найкращою оцінкою істиного значення вимірюваної величини. Недолік застосування дисперсії як характеристику похибки полягає в тому, що її розмірність виражається квадратом розмірності вимірюваної величини. Тому як числову характеристику похибки вимірів (крапкової оцінки) застосовують середньо-квадратичне відхилення (корінь квадратний з дисперсії) погрішності, що має ту ж розмірність, що і результати вимірів, мірою розсіювання яких воно є.

За допомогою середньо-квадратичного відхилення можна оцінювати ймовірне значення похибки. Але при цьому не можна вказати, у скількох відсотках випадків похибка і результат вимірів вийдуть за задані межі. Тому крапкова оцінка застосовна при прецизійних вимірах, коли погрішності вимірів досить малі і результати повторних вимірів того самого вимірюваного значення фізичної величини не відрізняються помітно друг від друга. Однак при технічних вимірах ця відмінність може виявитися досить істотним, щоб на нього не звертати уваги. У цьому випадку недостатньо одержати результат виміру як числове значення вимірюваної фізичної величини, необхідно ще визначити ступінь його вірогідності, тобто кількісно оцінити ступінь близькості між кожним випадковим результатом виміру і вимірюваним істинним значенням до фізичної величини, що невідомо, але є невипадковим. Вибір цієї міри близькості визначається наступними розуміннями. похибка імовірностний вимірюваний

У силу розкиду результатів вимірів, отриманих при повторних вимірах того самого параметра, їх не можна представити одним числовим значенням, тобто крапковою оцінкою. Природним виглядає введення інтервальної оцінки, при якій задається інтервал вимірюваного значення фізичної величини, обмежений межами ( - ) і ( + ), де , - нижня і верхня границі інтервалу, що представляють позитивні числа, що мають розмірність вимірюваної величини X. Завдання величин і не є однозначним. Очевидно, чим ширше інтервал (чи чим більше границі і ), тим з більшою імовірністю в нього буде попадати істинне значення вимірюваної величини (рис. 2).

Рис.2.

Але при цьому допускається більше значення абсолютної погрішності вимірів . Тому завдання величин і зв'язано з завданням імовірності, з яким істинне значення вимірюваної фізичної величини попадає в інтервал значень [ - , + ]. Для того щоб підкреслити фізичний зміст зазначених інтервалу й імовірності, їх називають довірчим інтервалом і довірчою імовірністю. Аналітичний зв'язок між цими характеристиками визначається виразом:

Р[ - < < + ] = Р, (1.5)

де Р - довірча імовірність перебування істинного значення вимірюваної фізичної величини в довірчому інтервалі [ - , + ]. Вона служить кількісною мірою вірогідності результату виміру.

Перейдемо до аналогічного співвідношення для погрішності

Р[] = Р, (1.6)

відкіля випливає, що інтервал [- , ] є довірчим інтервалом погрішності вимірів.

Вираз (2) означає, що погрішність виміру знаходиться в довірчому інтервалі [- , ] з довірчою імовірністю Р. Між виразами (1) і (2) мається принциповий зв'язок: улученню погрішності в довірчий інтервал [-, ] відповідає влучення щирого значення вимірюваної величини в довірчий інтервал [ - , + ]. Звичайно = = , при цьому довірчий інтервал є симетричним, а величину називають границями довірчого інтервалу, у яких погрішність вимірів знаходиться з заданої (довірчої) імовірністю Р.

Якщо границі інтервалу погрішності, що допускається, вимірів нормовані при довірчій імовірності Р = 1, то їх можна називати межами значень, що допускаються, і при цьому імовірність Р = 1 не вказувати. Межі значень погрішності, що допускаються, визначають найбільший по модулі інтервал, у якому повинна знаходитися погрішність з імовірністю Р = 1, тобто жодна з реалізацій погрішності не повинна виходити за ці межі

Таким чином, інтервальна оцінка несе інформацію не тільки про погрішність (точності вимірів, довірчому інтервалі, нижній і верхній границях погрішності), але і про надійність вимірів (довірчої імовірності).

Довірча імовірність визначається вираженням:

Р = , (1.7)

Де f( ) - функція щільності розподілу імовірностей випадкової погрішності . Для нормального закону розподілу

f() = , (1.8)

де = D -дисперсія, а = - середньо-квадратичне відхилення випадкової погрішності щодо центра розподілу, яким є систематична складова погрішності (чи математичне очікування погрішності вимірів).

Підставляючи співвідношення (4) у формулу (3), при симетричному довірчому інтервалі маємо:

Р = d( ),

Для зручності практичного застосування цей вираз нормують, вводячи в нього нормовану випадкову величину = / . Після такої підстановки воно приводиться до нормованої функції Лапласа:

Р= () = d, (1.9)

де = / .

Функцію ( ) називають також інтегралом імовірностей, його заздалегідь розраховують і задають найчастіше таблицею або графічно. Інтеграл імовірностей використовується при числі спостережень 20.

Границі довірчого інтервалу звичайно задають у значеннях середньо- квадратичного відхилення результатів спостережень:

= ,

де - числовий коефіцієнт, що залежить від виду закону розподілу погрішності вимірів і необхідної довірчої імовірності.

При вимірах, у залежності від їхніх цілей і відповідальності, задаються або довірчою імовірністю Р, або границями довірчого інтервалу випадкової погрішності вимірів. Якщо вихідної є довірча імовірність Р =Ф( ), то по таблиці (чи за графіком) знаходять відповідне значення коефіцієнта , а потім обчислюють границі довірчого інтервалу = , попередньо визначивши середньо-квадратичне відхилення .

Значення довірчої імовірності, що рекомендуються, рівні Р= 0,95 і Р= 0,9973 1. Довірчої імовірності Р= 0,95 відповідають границі довірчого інтервалу = 2 , а довірчої імовірності Р = 0,9973 межі значень погрішності, що допускаються, вимірів = ±3 . Поява погрішності ±3 з імовірністю Р = 0,9977 означає, що з 10000 вимірів тільки в 27 з них (чи один вимір з 370) випадкові погрішності вимірів перевищать по модулі 3 , а випадкові погрішності інших 9973 вимірів не вийдуть за межі значень, що допускаються, = ±3 .

При числі спостережень 2 < < 20 для визначення довірчого інтервалу використовується не функція Лапласа, а розподіл Стьюдента. У цьому випадку довірчий інтервал виражається через коефіцієнт Стьюдента (формально величина заміняється величиною ), що залежить не тільки від довірчої імовірності Р, але і від числа спостережень . Для розподілу Стьюдента імовірність Р и коефіцієнт зв'язані виразом

Р= Р[-<<] = 2, (1.10)

де - функція щільності імовірності розподілу Стьюдента.

Інтеграл 2 табулюється і використовується для визначення довірчого інтервалу.

Розподіл Стьюдента в порівнянні з нормальним розподілом приводить до розширення довірчого інтервалу при тій же довірчій імовірності. Однак зі збільшенням числа спостережень розподіл Стьюдента наближається до нормального.

Для визначення межі випадкової погрішності, що допускається, необхідно знати не тільки величини (чи ), але і середньо-квадратичне відхилення . Його знаходять або по функції щільності імовірностей f( ), якщо вона відома, або експериментально шляхом проведення багаторазових незалежних спостережень однієї і тієї ж величини і статистичної обробки отриманого ряду спостережень, при цьому звичайно досить зробити 10-20 спостережень.

Систематичні похибки вимірювань.

Систематичні похибки (погрішності) обумовлені впливом на результат виміру факторів, дія яких на практиці не врахована, чи не розпізнана.

У залежності від рівня наших знань про систематичні погрішності їх можна розділити наступні основні групи:

1.Систематичні погрішності, природа яких відома і значення (абсолютна величина, знак) може бути досить точно визначено. Результат виміру може бути скоректований шляхом внесення виправлення, тобто величини, чисельно рівної систематичної погрішності, узятої з протилежним знаком.

2.Систематичні погрішності, природа яких може бути встановлена, однак знак і абсолютне значення погрішності залишаються невідомими. Відомо тільки, що погрішність не перевершує по абсолютній величині деякого граничного значення , тобто .

3.Систематичні погрішності, про наявність яких ми не підозрюємо.

4.Систематичні погрішності, обумовлені властивостями об'єкта і впливом вимірювального ланцюга. По характері прояву систематичні погрішності можуть бути розділені на постійні і перемінні. До постійних систематичних погрішностей відносяться, наприклад, погрішності градуювання шкал приладів. Перемінні систематичні погрішності можуть бути прогресуючими, періодичними і изменяющимисяими по складному законі. Прогресуючими називають систематичні погрішності, що у процесі виміру монотонно чи наростають убувають, наприклад, погрішності, зв'язані з прогрівом чи апаратури поступовим зниженням напруги джерела харчування. Періодичними називають систематичні погрішності, що періодично змінюють абсолютне значення і знак, наприклад, у цифрових приладів одна з цифр індикатора встановлюється неправильно (замість цифри 5 завжди з'являється цифра 6). Всі інші види систематичних погрішностей вимірів можуть бути визначені чи експериментально враховані, а в наслідку і виключені з результату вимірів.

Усякий вимір повинний починатися з ретельного аналізу факторів, що обумовлюють поява систематичних погрішностей. Виявлення й усунення систематичних погрішностей може бути досягнуто: усуненням факторів, що обумовлюють їхня поява, вибором засобів вимірів з малими значеннями систематичних погрішностей, повторними вимірами однієї і тієї ж величини за допомогою різних засобів вимірів, з використанням різних методів і різних спостерігачів і т.п.

Універсального способу виявлення і виключення систематичних погрішностей не існує внаслідок значної розмаїтості методів і засобів вимірів, а також умов проведення вимірів. Повне виключення систематичних погрішностей досягти неможливо, можна лише зменшити їх до деякого рівня. Виявлення і виключення систематичних погрішностей можна проводити до, під час і після проведення вимірів.

1.Виключення систематичних погрішностей до початку вимірів досягається вибором методів і засобів вимірів, а також створенням таких умов, при яких виключаються фактори, що викликають ці погрішності. До таких заходів відносяться: правильне підключення й установка засобів вимірів, усунення зовнішніх негативних впливів, стабілізація джерел харчування, екранування і т.п..

2.Для виключення систематичних погрішностей у процесі виміру застосовується ряд способів.

Спосіб заміщення полягає в тому, що спочатку на вхід вимірювального приладу подають вимірювану величину, а потім її заміняють величиною з відомим значенням, змінюючи яке домагаються тих же показань.

Спосіб компенсації застосовують тоді, коли джерело погрішності має спрямована дія. У цьому випадку виміру проводять парне число раз, причому джерело погрішності повинне викликати в одній половині випадків погрішності, одного знака, наприклад, позитивного, а в іншій половині випадків - протилежного, наприклад, негативного. Систематична погрішність у цьому випадку виключається шляхом обчислення середнього значення.

Размещено на Allbest.ru