Введение понятия предела в курсе математического анализа (высшей математики) естественнонаучных направлений (кроме физических направлений)
Определение границы числовой последовательности. Рассмотрение понятия предела функции в точке. Проведение исследования непрерывного соответствия между элементами двух множеств на промежутках. Анализ отрезка, содержащего в себе все члены порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.01.2018 |
| Размер файла | 82,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»
О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ) ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ (КРОМЕ ФИЗИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ)
Незнамова М.А.
Оренбург
Как известно, понятие предела является одним из важнейших во всей математике в силу того, что с ним связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная, дифференциал и интеграл [1, с. 556].
К сожалению, практический опыт работы показывает, что понимание определений пределов последовательностей и функций усваивается студентами с огромными трудностями. Следует отметить, что в последние время они еще и существенно возросли из-за некоторого снижения качества школьного математического образования и уменьшения количества аудиторных часов, выделяемых на изучение высшей математики в вузах. Все вышесказанное приводит к тому, что общепринятые определения пределов числовых последовательностей и функций [2, с. 59, 80] не усваивается большинством студентов нематематических направлений.
Предлагается следующий порядок введения и рассмотрения данных понятий.
1. В качестве определения предела числовой последовательности предполагается давать геометрический смысл [2, с. 60] общепринятого определения [2, с. 59].
Определение. Пусть, какой бы малой длины интервал с центром в точке мы бы не взяли (рисунок 1)
Рисунок 1
все члены числовой последовательности , начиная с некоторого номера, попадут в этот интервал. Тогда будем говорить, что числовая последовательность стремиться к числу (числовая последовательность имеет предел ).
Обозначения: или .
При использовании приведенного определения доказательства теорем, выражающие свойства предела числовой последовательности, приобретают наглядность, что весьма упрощает восприятие студентами данного материала. В качестве примера приведем доказательство теоремы об ограниченности числовой последовательности, имеющей придел.
Теорема. Если последовательность имеет предел, то она является ограниченной. числовой последовательность функция множество
Доказательство.
Пусть числовая последовательность имеет предел . Опишем вокруг точки произвольный интервал . (рисунок 2).
Рисунок 2
Из определения числовой последовательности следует, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадут в этот интервал, а вне этого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Так как количество членов последовательности, лежащих вне интервала , конечно, то мы всегда сможем взять такой отрезок , которому они все принадлежат.
Увеличим отрезок в случае необходимости так, чтобы он содержал в себе и интервал .
Таким образом, существует отрезок , содержащий в себе все члены последовательности .
Ограниченность числовой последовательности доказана.
2. При рассмотрении понятия предела функции в точке будем использовать несколько модифицированный подход, предложенный в [3, с. 120-139]. В данном курсе математического анализа сначала рассматриваются непрерывные функции, а затем на их основе вводится понятие предела функции в точке.
Для упрощения изложения представляется целесообразным вместо определения непрерывности функции в точке на языке «» использовать следующее словесное описание непрерывной функции на промежутке.
Будем говорить, что функция является непрерывной на некотором промежутке, если ее график на этом промежутке представляет сплошную линию без разрывов.
Данное словесное описание следует проиллюстрировать конкретным примером. Например, функция, график которой изображен на рисунке 3, является непрерывной на промежутках: , , .
Рисунок 3
Определение. Пусть функция непрерывна на промежутках , (рисунок 4). В точке данная функция может быть, как определена, так и не определена.
Рисунок 4
Определим или переопределим (в случае необходимости) функцию в точке так, чтобы она стала непрерывной на всем промежутке (рисунок 5).
Рисунок 5
Если это возможно, то тогда значение будем называть пределом функции в точке или будем говорить, что при , стремящимся к , функция стремится к .
Обозначения: или при .
Приведенное определение целесообразно проиллюстрировать конкретным примером.
Следует отметить, что данный подход к введению понятия предела функции в точке несколько сужает множество функций, имеющих предел. В качестве примера, можно рассмотреть функцию (Ее график приведен на рисунке 6.)
Рисунок 6
Если пользоваться общепринятыми определениями предела функции в точке по Коши и по Гейне [2, с. 59, 80], то тогда рассматриваемая функция в точке имеет предел равный . Однако данный способ введения предела в данном случае не применим, так как нельзя указать промежутки вида , на которых функция является непрерывной.
Учитывая, что таким образом понятие предела будет вводиться в курсах математического анализа (высшей математики) нематематических и нефизических направлений, представляется оправданным жертвование строгостью определения ради его простоты и наглядности.
Список литературы
1. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. _ 1215 с.: ил.
2. Никольский, С.М. Курс математического анализа: учеб. для вузов. - 6-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 592 с. - ISBN 5-9221-0160-9.
3. Берс, Л. Математический анализ: учеб. пособие для вузов / Л. Берс. Т. 1. М.: Высш. школа, 1975. - 519 с.: ил.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики. Функция и задание ее аналитическим выражением. Область определения функции и область значений функции. Тесты по теме "Числовые функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции".
дипломная работа [213,1 K], добавлен 07.09.2009Теоретические аспекты применения правил Лопиталя. Определение предела функции в точке. Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций. Рассмотрение содержания теорем о дифференцируемых функциях. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 30.12.2021Нахождение определителя матрицы. Правило вычисления определителя 3-го порядка. Тождественные преобразования в виде цепочки действий. Симметрическая разность множеств. Область определения функции. Доказание равносильности формулы путем преобразований.
контрольная работа [46,6 K], добавлен 13.03.2011Алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. Функции и свойства рядов, их физический смысл.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 20.05.2015Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014Понятие предела функции и основные требования, предъявляемые к нему, геометрический смысл. Методика определения данной геометрической категории в заданной точке при различных условиях. Вычисление ординат графиков. Возрастание по абсолютной величине.
презентация [902,2 K], добавлен 21.09.2013Введение понятия переменной величины. Развитие интегральных и дифференциальных методов. Математическое обоснование движения планет. Закон всемирного тяготения Ньютона. Научная школа Лейбница. Теория приливов и отливов. Создание математического анализа.
презентация [252,6 K], добавлен 20.09.2015Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Теория графов как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Основные понятия теории графов. Матрицы смежности и инцидентности и их практическое применение при анализе решений.
реферат [368,2 K], добавлен 13.06.2011Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
курсовая работа [103,0 K], добавлен 28.02.2010Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.
контрольная работа [389,2 K], добавлен 12.12.2010
