Моделирование напряженно-деформированного состояния манометрических трубчатых пружин

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

моделирование напряженно-деформированного состояния манометрических трубчатых пружин

Специальность 05. 13. 18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Пирогов Сергей Петрович

Тюмень 2010

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» (ТюмГНГУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бытев Владислав Олегович

доктор физико-математических наук, профессор Вельмисов Петр Александрович

доктор технических наук, профессор Малюшин Николай Александрович

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»

Защита состоится 20 декабря 2010 г. в 14 ⁰⁰ часов на заседании диссертационного совета Д212. 274. 14 при Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, д. 15А. ;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Семакова, д. 18

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Н. Н . Бутакова

вибростойкость пружина манометрический

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Манометрические трубчатые пружины (МТП) нашли широкое применение в качестве упругих чувствительных элементов (УЧЭ) деформационных манометрических приборов, используемых для измерения избыточного и вакуумметрического давлений, разности давлений, расхода и температуры. При этом такие характеристики приборов, как порог чувствительности, верхний и нижний пределы измерения, надежность определяются свойствами упругого чувствительного элемента.

В настоящее время выпуск приборов с МТП достигает миллионов штук в год, причем мощности объектов возрастают, а условия эксплуатации ужесточаются, растут интенсивность и частота вибраций, например, на трубопроводном транспорте и оборудовании нефтегазовой промышленности, в результате чего снижается точность измерения и снижается срок эксплуатации приборов. Поэтому резко возрастают требования к виброустойчивости УЧЭ и МТП в частности.

Кроме того, расширяются функциональности приборов и сферы применения МТП, например, предложено использовать их, в качестве силовых элементов тормозных устройств и манипуляторов. Основное достоинство подобных устройств в их герметичности, то есть отсутствие сопрягаемых поверхностей.

Это потребовало создания новых типов МТП, имеющих улучшенные технические характеристики и больший диапазон функциональных возможностей, в частности трубок с новыми формами поперечных сечений с переменной толщиной стенки , переменной по длине формой сечения , нелинейными характеристиками , а также создания методов их расчета

Цель и задачи исследования

Цель диссертационной работы - повышение чувствительности, работоспособности, тяговых усилий и вибростойкости трубчатых манометрических пружин за счет изменения их геометрических размеров и формы сечения, расширение их функциональных возможностей и сфер применения.

Для достижения этой цели поставлены и решены следующие задачи:

1. Проведение сравнительного анализа методов расчета и разработка классификации существующих конструкций манометрических трубчатых пружин.

2. Разработка математических моделей, позволяющей рассчитать тонкостенные трубчатые пружины с переменной по периметру сечения толщиной стенки и переменного по длина сечения и исследовать влияние геометрии манометрической пружины на ее напряженно-деформированное состояние.

3. Разработка эффективного алгоритма и комплекса прикладных программ для расчета и автоматического проектирования тонкостенных манометрических трубчатых пружин с переменной толщиной стенки и переменным по длине сечением.

4. Разработка алгоритма и комплекса прикладных программ для расчета собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин.

5. Экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния и частот собственных колебаний пружин постоянного и переменного сечения. Оценка достоверности полученных теоретических результатов.

6. Рекомендации по оптимальному выбору геометрических параметров пружин

Методы исследований

В работе использованы метод Ритца, численные методы: для решения дифференциальных уравнений, описывающий осессиметричный изгиб кривой трубы использовались методы гармонического баланса и стрельбы, при решении систем дифференциальных уравнений, описывающий колебательное движение трубчатых пружин использован метод Бубнова-Галеркина. При постановке численных экспериментов и при исследовании влияния геометрических параметров манометрической пружины на ее свойства была применена система компьютерной математики MATLAB, на языке программирования этой же системы создан пакет прикладных программ для расчета пружин с постоянным и переменным сечением.

Научная новизна заключается в следующем:

В работе впервые рассмотрен комплекс вопросов, связанных с исследованием манометрических трубчатых пружин с переменной толщиной стенки и произвольной формой сечения, включающий:

- обобщенный алгоритм расчета манометрических трубчатых пружин произвольной формы сечения и переменной по периметру толщиной стенки, основанный на решении дифференциальных уравнений, описывающих осесимметричный изгиб кривой трубы;

- уточненные и новые результаты, относящиеся к исследованию влияния геометрии сечения на напряженно-деформированное состояние трубчатой манометрической пружины;

- разработан метод расчета пружин с переменным сечением, при этом показано, что принятая математическая модель описывает реальную конструкцию достаточно точно.

- доказано, что манометрические пружины с переменным сечением в режиме силовой компенсации обладают лучшими техническими характеристиками в сравнении с традиционно используемыми пружинами постоянного сечения.

-разработан обобщенный алгоритм расчета пружин переменного сечения с заданной погрешностью.

- предложена схема «сечение из элементов постоянной кривизны» для задания формы манометрических пружин с постоянным сечением, при применении к их расчету метода, разработанного в работах Э. Л. Аксельрада и Б. Н. Васильева.

- в результате анализа напряженно-деформированного состояния пружины в разных режимах работы предложены и защищены авторскими свидетельствами новые конструкции манометрических пружин с переменным по длине сечением.

- составлена система уравнений Лагранжа второго рода, из которой получены выражения для определения первых двух собственных частот колебаний манометрических пружин постоянного поперечного сечения.

- разработан метод определения частот собственных колебаний пружин с переменным по длине сечением как для тонкостенного изогнутого стержня с учетом коэффициента Кармана, определяемого по полубезмоментной теории оболочек, показана сходимость решения.

- разработаны алгоритм и программа для автоматического расчета собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин с постоянным и переменным по длине сечением.

- установлено, что увеличение толщины стенки и отношения радиуса бокового закругления сечения к малой полуоси ведет к увеличению частоты собственных колебаний, а увеличение радиуса кривизны центральной оси, центрального угла и отношения малой полуоси к большой - к уменьшению частоты.

- установлено, что манометрические пружины с переменным сечением, изменяющимся от восьмеркообразного до плоскоовального, и пружины, изготовленные из конических трубок, имеют частоты собственных колебаний на 20-40% выше, чем аналогичные постоянного сечения.

- показано, что влиянием внутреннего избыточного давления (не превышающим номинального) на собственные частоты можно пренебречь.

-получены значения коэффициента, учитывающего влияние наконечников на частоты собственных колебаний.

Достоверность результатов работы обоснована применением известных уравнений и подтверждается результатами численных экспериментов, а также результатами экспериментальных исследований напряжений и деформаций, проведенных на нескольких образцах манометрических пружин разных типов с переменным по длине сечением и переменной толщиной стенки и экспериментальными исследованиями частот собственных колебаний, проведенными на латунных и стальных трубчатых пружинах постоянного поперечного сечения с диапазоном давлений от 0,06 МПа до 10 МПа и на нескольких образцах манометрических пружин разных типов с переменным по длине сечением.

Практическая ценность работы

1. Получены формулы и графики для практического расчета трубчатых пружин гантелеобразного и сильфонообразного сечений, а также пружин с вкладышем, используемых в манометрических термометрах.

2. Разработан алгоритм и прикладное программное обеспечение для расчета и автоматического проектирования манометрических пружин с переменой толщиной стенки и произвольной формой сечения.

3. Разработаны рекомендации по рациональному проектированию манометрических пружин с переменной толщиной стенки.

4. Предложены и рассчитаны, защищенные авторскими свидетельствами новые конструкции манометрических трубчатых пружин с переменной толщиной стенки.

5. Разработанный метод расчета и созданный пакет прикладных программ дает возможность определения технических характеристик у пружин с переменным по длине сечением и тем самым позволяет такие конструкции пружин внедрить в производство.

6. Предложенная схема «сечение из элементов постоянной кривизны», в сравнении с известными схемами, позволяет более точно задать форму наиболее распространенных типов поперечных сечений манометрической пружины.

7. Разработаны рекомендации по рациональному проектированию пружин с переменным по длине сечением.

8. Разработанный метод расчета и созданный пакет прикладных программ дает возможность определения частот собственных колебаний и других технических характеристик у пружин с переменным по длине сечением и тем самым позволяет такие конструкции пружин внедрить в производство.

Внедрение результатов

Результаты расчета трубчатых пружин гантелеобразного и сильфонообразного сечений, а тахже трубчатых пружин с вкладышем использованы в ЦПКБ «Теплоконтроль» (г. Казань)

Созданные комплексы прикладных программ для расчета статических и динамических характеристик манометрических трубчатых пружин постоянного и переменного сечения внедрены на Томском манометровом заводе ОАО «Манотомь».

Апробация работы

Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на всесоюзной юбилейной научно - технической конференции МВТУ им. Н. Э. Баумана, (г. Москва, 1981), на 6 всесоюзном съезде по теоретической и прокладной механике (г. Ташкент, 1985) на международной научно-практической конференции «Проблемы эксплуатации транспортных систем в суровых условиях» (г. Тюмень, 2002), на международном научно-практическом семинаре «Транспортный комплекс - 2002» (г. Тюмень, 2002) на конференции «Нефть и газ. Новые технологии в системах транспорта» (г. Тюмень, 2005), , на производственных совещаниях конструкторского бюро ОАО «Манотомь» (2005, 2007), на научных семинарах кафедры математического моделирования ТюмГУ (2007, 2010), на Всерос. научно-техн конф. ,посв. 45-летию Тюменского топливо-энергетического комплекса и 80-летию В. И. Грайфера (г. Тюмень, 2009), на расширенном заседании кафедры теоретической и прикладной механики ТюмГНГУ(2010).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 48 печатных работах, в том числе научной монографии, 12 статьях в научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ, получено 13 авторских свидетельств и патентов на изобретения и полезные модели, 4 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, шести разделов, заключения и приложений, списка использованных источников, включающих 178 наименований. Объем работы 406 страниц, в том числе 140 иллюстраций и 30 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая характеристика содержания диссертации, обоснована актуальность работы, научная новизна и практическая ценность.

В первом разделе рассмотрен принцип действия манометрической пружины, ее основные характеристики, дан обзор конструкций пружин.

В манометрической пружине используется свойство полой тонкостенной трубки некругового сечения деформироваться под действием подводимого давления. Пружина представляет собой кривую трубку, имеющую некруглую форму поперечного сечения (рис. 1).

Рис. 1 Манометрическая трубчатая пружина

Под действием давления пружина разгибается, и ее свободный конец совершает ход л_Р. При режиме силовой компенсации свободный конец пружины жестко или шарнирно закреплен и ее рабочей характеристикой является тяговый момент и сила, действующий на опору.

Основные техническими параметрами манометрических трубчатых пружин - чувствительность, жесткость на изгиб под действием внешних сил, работоспособность, изменение объема полости, а также максимальное напряжение.

На основании проведенных патентных исследований и обзора литературы была разработана классификация манометрических трубчатых пружин (пружин Бурдона) (рис. 2).



Рис. 2 Классификация трубчатых пружин

Рис. 3 Сечения трубчатых пружин с постоянной толщиной стенки



Рис. 4 Сечения трубчатых пружин с переменной толщиной стенки

На рис. 3 изображены основные формы сечений манометрических пружин, изготовляемых различными предприятиями. Наиболее широко используются плоскоовальная (а), эллиптическая (д) и восьмеркообразная (б) формы сечений. Пружина эллиптического сечения при одинаковых габаритах обладает большей чувствительностью по сравнению с плоскоовальными и восьмеркообразными. Пружины восьмеркообразного сечения обладают большой прочностью и жесткостью к действию внешних сил их применяют для измерения повышенных давлений. Плоскоовальное сечение обеспечивает достаточную чувствительность, большую, чем сечение в виде восьмерки, и в то же время способствует технологичности конструкции.

Кроме форм, обладающих двумя осями симметрии, находит применение сегментообразное сечение (рис. 3,ж). Оно обладает технологическими достоинствами плоскоовального сечения и несколько превосходит его по чувствительности.

Пружины ромбического сечения (рис. 3,в) и с продольным гребнем (рис. 3,з) предложены для увеличения чувствительности пружины. Трубчатые пружины сильфонообразного сечения (рис. 3,и) были предложены для повышения чувствительности и жесткости к действию внешних сил и предназначены для контактных манометров, регуляторов давления и температуры.

В приборах, где требуется минимальный начальный внутренний объем упругого чувствительного элемента (например, в манометрических термометрах), используют трубки «гантелеобразного» сечения (рис. 3,г) а также различные типы пружин с вкладышем.

На рис. 4 представлены различные формы сечений трубчатых пружин с переменной толщиной стенки, а на рис. 5 ряд конструкций пружин с переменным вдоль центральной оси сечением и толщиной стенки .

С целью увеличения частоты собственных колебаний предложена манометрическая пружина с переменной, уменьшающейся от основания к ее свободному концу толщиной стенки сечения, причем размеры сечения также уменьшаются от основания к свободному концу ( рис. 5,а).

Рис. 5 Трубчатые пружины с переменным по длине сечением

Для повышения чувствительности, относительной жесткости и прочности манометрических пружин, работающих в силовом режиме и в условиях вибрации предложена пружина с переменным по длине сечением , плавно изменяющимся от эллиптического на свободном конце к восьмеркообразному на закрепленном (рис. 5,б). Также предложена пружина, имеющая переменное по длине сечение, состоящая из нескольких соединенных между собой трубок, каждая из которых имеет постоянную толщину стенки и соотношение полуосей сечения, причем толщина стенки и размер полуосей сечения трубок увеличивается от свободного конца пружины к закрепленному (см. рис. 5,в).

К ранним работам, посвященных расчету трубки Бурдона, можно отнести статьи Е. Хилла, Х. Лоренца, Т. Кармана,И. В. Мещерского, М. Туэда.

Первым решением, доведенным до практического использования, следует назвать решение В. И. Феодосьева для трубки Бурдона с эллиптическим поперечным сечением, который рассматривал задачу в линейной постановке и применил для получения расчетных формул принцип минимума полной потенциальной энергии системы с привлечением метода Ритца. Этот метод расчета был развит Л. Е. Андреевой , где решение было распространено также на трубки с плоскоовальным сечением. В последующий период решение В. И. Феодосьева уточнялось Г. И. Тыжновым, М. П. Шумским, В. Г Афониным, В. Е. Буженко.

Решения, основанные на интегрировании дифференциальных уравнений тонкостенных оболочек приведены в работах В. Веста , Р. Кларка, Т. Джилроя , Е. Рейснера, Э. Л. Аксельрада, Б. Н. Васильева, Л. Е. Андреевой ,О. О. Барышниковой, С. С. Гаврюшина.

Для определения основных характеристик динамического расчета труб, то есть частот и форм собственных колебаний, использовались, в основном, результаты линейной теории механических колебаний стержней (Я. Г. Пановко, С. П. Тимошенко, В. Л. Бидерман).

Уравнения движения линейной теории колебаний тонких оболочек были получены в конце XIX века А. Лявом , использовавшим для этой цели полученные им уравнения равновесия элемента оболочки и принцип Даламбера.

Дальнейшее развитие теории колебания тонких оболочек пошло по пути упрощения уравнений и расчетных схем за счет введения различных допущений (В. Флюгге, О. Д Ониашвили, В. С. Гонткевич, И. И. Меерович, В. П. Ильин, О. Б. Халецкая, Д. Мак-Гил). Проблемам моделирования механической системы «Трубопровод-датчик давления» посвящены работы П. А. Вельмисова.

Согласно классификации В. Веста трубчатые пружины можно подразделить на три вида: тонкостенные, трубки средней толщины и толстостенные. Для типовых пружин, используемых в манометрах, к первому типу следует отнести пружины, предназначенные для измерения давления менее 1 МПа, ко второму - от 1 до 60 МПа, а к третьему - свыше 60 МПа. Поэтому выбор метода расчета зависит от геометрических параметров пружин.

Для расчета пружин первого типа наиболее подходят методы, основанные на теории оболочек, которые могут быть использованы и для расчета пружин второго вида с помощью введения коэффициентов, учитывающих гиперболический характер распределения напряжений на закругленных участков сечения. Недостатком этих методов является то, что решение может быть только численным.

Энергетический метод дает аналитическое решение, результаты получены в виде формул, однако теряет точность с увеличением параметра кривизны.

Хорошие результаты для пружин всех типов могут быть получены при использования метода конечных элементов но этот метод наиболее эффективен как проверочный.

Поскольку каждый метод имеет свои достоинства и недостатки, выбор метода для расчета манометрических трубчатых пружин зависит от их геометрических характеристик. Для уточнения границ применения этих методов необходимо провести экспериментальные исследования деформаций и напряжений в трубках различной кривизны.

Во втором разделе рассматривается математическая модель напряженно-деформированного состояния манометрической трубчатой пружины, полученная с помощью энергетического метода.

При этом равновесное положение пружины Бурдона, нагруженной давлением, определяется из условия минимума полной потенциальной энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформаций U и энергии положения внешних сил П Э=U+П.

Величина потенциальной энергии деформаций зависит от искривления контура поперечного сечения трубки и относительного угла поворота поперечного сечения. Энергия положения внешних сил определяется произведением давления на изменение объема внутренней полости пружины, которое в свою очередь также зависит от величины искривления контура поперечного сечения.

При исследовании на минимум выражения полной потенциальной энергии методом Ритца принимается приближенный закон деформации контура поперечного сечения.

Этот метод рассматривается для трубки переменной толщины плоскоовального сечения, причем толщину представим функциями координат Х и

,

где Н - максимальная толщина стенки, - функция, зависящая от закона изменения толщины по сечению трубки (рис. 6).

Удельная потенциальная энергия и при двухосном напряженном состоянии выражается через компоненты деформаций :

, (1)

где, и - относительные деформации в направлении главных осей 1 и 2, Е - модуль упругости; н - коэффициент Пуассона материала пружины.



Рис. 6 Бесконечно малый элемент и сечение трубки с переменной толщиной

Продольная и поперечная деформации определяются выражениями

; . (2)

где - изменение кривизны контура сечения трубки.

Потенциальная энергия бесконечно малого элемента равна

, (3)

После интегрирования по и z

(4)

Энергия положения внешних сил равна работе сил давления, взятой с противоположным знаком ,

где -изменение площади, ограниченной средней линией контура сечения. Тогда выражение полной потенциальной энергии принимает вид



(5)

Уравнение (5) содержит четыре неизвестных:

- относительный угол поворота концевого сечения пружины;

w - перемещение произвольной точки контура поперечного сечения в направлении малой оси сечения;

- изменение кривизны в произвольной точке среднего контура сечения;

-изменение площади, ограниченной средней линией контура сечения.

Эти величены определяются деформацией контура поперечного сечения; между ними можно найти связь и уменьшить число неизвестных в уравнении.

Выражаем ,w , и - через увеличение малой полуоси , после чего выражение полной потенциальной энергии принимает вид

(6)

Согласно методу Ритца, полная энергия в положении равновесия имеет минимум

.



Произведя интегрирование, и решая систему двух уравнений, получаем

, (7)

где и зависят от соотношения полуосей а/в и закона изменения толщины стенки, - главный параметр трубчатой пружины.

Далее были получены формулы для определения линейных перемещений конца трубчатой пружины под действием давления и внешних сил.

Известная формула для расчета перемещения конца трубчатой пружины под действием внутреннего давления не учитывает жесткий наконечник, состоящий из нерабочего участка самой трубки и кончика, служащего для снятия перемещения. Так как точка, с которой снимается перемещение, находится дальше от мгновенного центра скоростей Р (рис. 7), то есть , то действительные перемещения превышают рассчитанные по известной методике.

Положение точки относительно трубки задается координатами и (рис. 7). Для определения перемещения используем интеграл Мора

. (8)



Рис. 7 Расчетная схема трубки с жестким наконечником

Обозначая , полное перемещение можно представить в виде

, (9)

. (10)

Определим изменение центрального угла трубки, под действием внешнего изгибающего момента, приложенного к концу трубки в плоскости кривизны.

Потенциал внешних сил в этом случае равен , дифференцируя выражение полной потенциальной энергии по и и, решая систему двух уравнений, находим

, (11)

здесь - жесткость трубки на изгиб, - коэффициент Кармана, - момент инерции трубки относительно большой оси сечения.

Кроме того, используя данный метод расчета, получены выражения для тягового момента, изменения объема и напряжения в трубчатых пружинах.

Как показали исследования напряженного состояния трубки, вблизи соединения прямолинейных и закругленных участков сечения трубки поперечный изгибающий момент равен нулю, поэтому было предложено уменьшать толщину стенки в этих местах

Аналитически, толщину стенки можно выразить уравнениями:

, , (12)

где H - максимальная толщина стенки ( на концах полуосей сечения),

h - минимальная толщина ( в местах сопряжения прямых и закругленных участков), - соотношение минимальной и максимальной толщин.

Таким образом, технические характеристики трубчатых пружин будет зависеть от двух параметров соотношения толщин h_o и соотношения полуосей а/в. Алгоритм расчетов величин , необходимых для расчета пружин, был запрограммирован и реализован на ЭВМ.

Данные расчетов показали, что чувствительность возрастает с увеличением вытянутости сечения ( увеличением отношения полуосей а/в) и уменьшением h₀. Так, при а/в=2, чувствительность трубки с переменной толщиной (h₀=0,5) в 1,6 раза больше, чем у трубки с постоянной толщиной (h₀=1), для а/в=6 чувствительность возрастает уже в 1,9 раза, а для а/в = 9 - в 2,3 раза.

Трубчатая пружина с линейной зависимостью толщиной стенки имеет чувствительность в 1,5 -1,8 раза больше при одинаковых напряжениях, чем пружина с постоянной толщиной стенки, а лучшие свойства обладает сечение с соотношением минимальной и максимальной толщин 0,5-0,7.

С помощью данного метода были рассчитаны характеристики трубчатых пружин гантелеобразного сечения и плоскоовального с жестким вгладышем, применяемых в манометрических термометрах, которые показали, что трубчатые пружины с вкладышем практически по всем техническим характеристикам превосходят пружины "гантелеобразного" сечения. Рекомендуется сечение таких трубок делать более вытянутыми, то есть с большей величиной отношения а/в - а/в=8…12.

В третьем разделе рассматривается математическая модель напряженно-деформированного состояния манометрической трубчатой пружины, основанной на дифференциальных уравнениях полубезмоментной теории оболочек

Система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих состояние манометрической трубки с переменной по сечению толщиной стенки, имеет вид

(13)

В этих уравнениях искомыми являются функции , безразмерной координаты , пропорциональной длине меридиана , отсчитываемой от точки «О»:

, , (14)

здесь r - приведенный радиус поперечного сечения пружины (радиус срединной поверхности трубки-заготовки кругового сечения);П - периметр срединной поверхности в сечении.

В уравнениях штрихом обозначено дифференцирование по .

На рис. 8 показана схема задания поверхности трубки в цилиндрической системе координат.

Рис. 8 Задание поверхности трубки

Функция - представляет собой изменение начального угла наклона касательной . (15)

Функция характеризует напряжения в трубке и связана с нормальным усилием на единицу длины поперечного сечения выражением

. (16)

В уравнениях параметры и учитывают кривизну продольной оси и ее изменение:

, . (17)

Здесь и выше индексом «0» снабжены величины, относящиеся к недеформированному состоянию. - параметр внутреннего давления в трубке



, (18)

здесь - модуль упругости материала трубки, q - внутренне давление, - коэффициент Пуассона, h - толщина стенки трубки.

Функция определена выражением

. (19)

Относительная толщина стенки t(з) зависит от закона изменения толщины стенки по периметру сечения и определяется следующим образом

, t (20)

где h(з) - толщина стенки сечения, h_m- максимальная толщина стенки.

Если трубка имеет постоянную толщину, то t(з)=1 и уравнения принимают вид

. (21)

Решение полученных дифференциальных уравнений для трубок с постоянной толщиной стенки - (21) ищется методом гармонического баланса: все функции как известные, так и искомые, подставляются в уравнения в виде разложений в тригонометрические ряды Фурье.

Функции , являются нечетными, периодическими, учитывая это обстоятельство, они ищутся в виде разложений:



, , . (22)

Функции , определяют форму поперечного сечения трубки и задаются в виде рядов:

, , . (23)

(индексы суммирования включают четные и нечетные члены - нами рассматривается решение для случая, когда поперечное сечение может быть как симметричным относительно осей x и z, так и симметричным относительно только одной оси x).

Коэффициенты функций , можно найти по формулам Эйлера-Фурье

, .

В линейном приближении можно полагать коэффициенты линейно зависящими от изменения кривизны и параметра давления :

, (24)

что дает системы уравнений относительно и :

Затем обе части каждого из уравнений приводятся к виду разложения по . Равенства коэффициентов при , и т. д. дают систему алгебраических уравнений. Из решения полученной системы определяются коэффициенты искомых функций.

В режиме свободного хода основной характеристикой пружины является чувствительность. Определение чувствительности манометрической трубки следует из условия равенства изгибающего момента в сечении нулю , то есть выполнено условие .

Подставляя функции, входящие в подынтегральное выражение в виде их разложений получаем выражение для отношения изменения кривизны оси трубки к параметру давления:

,. (25)

Формула относительного угла поворота пружины имеет вид:

. (26)

Изменение кривизны продольной оси пружины под действием внешнего изгибающего момента, приложенного к ее концу, определяется из формулы:

, (27)

(где - коэффициент «Кармана»), решение в тригонометрических рядах дает следующее выражение для определения :



. (28)

Анализ теоретических и экспериментальных данных показывает, что у наиболее распространенных сечений - эллиптического и плоскоовального - наибольшие напряжения возникают на концах большой оси сечения. В этом случае формула для максимального эквивалентного напряжения принимает вид

. (29)

Для расчета трубчатых пружин с различной формой поперечного сечения необходим способ задания сечения, который давал бы возможность определять коэффициенты , для сечений различных форм и в широком диапазоне изменения их геометрических параметров.

Для пружины с постоянным поперечным сечением была предложена схема «универсального сечения», в которой профиль сечения (симметричного относительно осей x и z) образуется из прямых и дуг окружности постоянного угла раскрытия ( рис. 9,а) , а также сечение из элементов постоянной кривизны, которая позволит задавать сечения, показанные на рис. 9,б, в том числе имеющие только одну ось симметрии.

Точность задания формы рядами с конечным числом членов может быть оценена по величине интегралов этих рядов

(30)



определяющих профиль трубки до деформации.

Рис. 9 Схемы универсальных сечений

Для круговой формы сечения достаточно сохранить лишь первый член разложения, по мере увеличения вытянутости сечения количество членов ряда должно увеличиваться. В работе было исследовано сильфонообразное сечение, которое значительно отличается от круговой формы, поэтому сходимость рядов хуже, чем, например, для плоскоовальной формы сечения. Расчеты интегралов (30) при различных значениях j показали, что необходимо учитывать члены ряда, порядка , . Форма сечения, (j = 1,3,5,. . . ,15), показана на рис. 10 штриховой линией. Наибольшее отклонение наблюдается в точке с и составляет менее 5% от действительного значения. Для сравнения на рис. 11 штрих - пунктирной линией показана форма сечения, задаваемая первыми четырьмя членами ряда.

Рис. 10 Сечения, задаваемые различным количеством членов ряда

Для трубок с переменной толщиной стенки решение системы разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих состояние манометрической трубки (13) связано с очень громоздкими вычислениями, поэтому в данном случае использовался численный метод стрельбы.

Система уравнений (13) приводится к эквивалентной системе уравнений первого порядка. Введем обозначения: , .

Тогда система уравнений (13) запишется в виде:

(31)

Рассмотрим решение системы в двух случаях. В первом случае, когда сечение симметрично относительно двух осей, система уравнений дополнена граничными условиями:

, . (32)

Во втором случае, когда сечение симметрично относительно оси x, граничные условия имеют вид

, . (33)

В соответствии с методом стрельбы краевая задача заменяется задачей Коши для той же самой системы уравнений (13) и с начальными условиями, заданными в точке з=0:



, . (34)

При решении задачи Коши значения функций и при з=р/2 будут зависеть от c и d. Поскольку уравнения и начальные условия линейны, то зависимость иот c и d тоже линейная .

Например, в первом случае будем иметь

.

Для определения коэффициентов A₁,A₂, B₁, B₂, E₁, E₂ выбираем три набора констант:

, , .

В первом случае, решая задачу Коши для каждого из этих условий, получим

, , , , , .

Для определения значений с и d, в первом случае при которых выполняются два последних условия решаем систему уравнений:



.

При найденных значениях с и d ещё раз решаем задачу Коши, решение которой совпадает с решением краевой задачи, при этом выполнятся условия (32). Совершенно аналогично решается задача в случае граничных условий (33).

После определения искомых функций были получены формулы для определения технических характеристик трубчатых пружин.

Для решения задачи написан алгоритм в среде МАТАВ, интегрирование задач Коши проводилось методом Рунге-Кутта 4 порядка точности с использованием стандартного решателя ode45. На основании вышеприведенной методики для расчета и исследования напряженно-деформированного состояния манометрических трубчатых пружин с произвольной формой средней линии и переменной по периметру сечения толщиной стенки в среде MATLAB разработан пакет прикладных программ, позволяющий решить следующие задачи: расчет манометрических трубчатых пружин с переменной по периметру сечения толщиной стенки и плоскоовальной, овальной и восьмеркообразной формой средней линии; расчет манометрических трубчатых пружин плоскоовальной, овальной и восьмеркообразной формы с учетом технологической разностенности; расчет манометрических трубчатых пружин с сегментообразной формой поперечного сечения; расчет манометрических трубчатых пружин с продольными гребнями (гофрами).

В четвертом разделе рассматривается математическая модель напряжено-деформированного состояния манометрической трубчатой пружины с переменным по длине сечением.

При рассмотрении напряженно-деформированного состояния пружины с переменным по длине сечением будем полагать, что геометрические параметры сечений изменяются по длине пружины непрерывно.

Для реальных пружин с переменным сечением геометрические параметры вдоль продольной оси изменяются медленно, это позволяет предположить, что для пружин переменного сечения можно применить то же допущение, что и для пружин с постоянным поперечным сечением: взаимное влияние деформаций поперечных сечений пренебрежимо мало.

Введение этой гипотезы позволяет заменить трубку переменного сечения трубкой, составленной из нескольких частей, каждая из которых имеет постоянное сечение. Схема, описывающая разбиение трубки на части, показана на рис. 11. В этом случае деформация всей трубки в целом (перемещение ее свободного конца) будет зависеть от изменения кривизны продольной оси каждой части с постоянным сечением и определяться как сумма деформаций всех частей.

Применяя метод расчета пружин постоянного сечения, изложенный в разделе 3 и, используя для задания формы поперечного сечения схему «сечение из элементов постоянной кривизны», можем найти напряженно-деформированное состояние для каждого участка манометрической трубки при замене реальной конструкции приближенной расчетной схемой по рис. 12.

Для манометрической пружины постоянного сечения относительный угол поворота сечений вдоль продольной оси величина постоянная и равная относительному углу поворота всей трубки в целом .

Поэтому, разбивая пружину переменного сечения на части с постоянными геометрическими параметрами, для каждой такой части, можем записать

, (35)



где отношение для каждого участка трубки с постоянным сечением можно найти по формуле (25).

Используя интеграл Мора, получим следующее выражение для определения чувствительности по ходу для пружины переменного сечения:

. (36)

Рис. 11 Разбиение трубчатой пружины на части с постоянным поперечным сечением

Подобным же образом получены формулы для определения остальных характеристик пружин - изгибной жесткости, тягового момента, тяговых усилий, работоспособности. Их можно определить , также используя формулы численного интегрирования.

Введение гипотезы о пренебрежимо малом взаимном влиянии деформаций смежных сечений дает возможность рассматривать напряженное состояние пружины отдельно для каждого участка. Определяя из решения системы (21) функции , (, где n - количество участков) и рассчитывая по формулае (29) напряжения можно оценить напряженное состояние пружины в режиме свободного хода () и в режиме силовой компенсации при жестком защемлении кончика пружины ().

Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что для достижения относительной точности решения в 1% продольную ось пружины независимо от ее конструкции и в широком диапазоне изменения параметров сечений достаточно разбить на 40 частей .

Предложенный алгоритм реализован в пакете прикладных программ «Модуль» , который оснащен интерфейсом пользователя, что позволяет достаточно просто осуществить ввод данных для расчета, контроль геометрических параметров пружины и визуализацию результатов расчета.

Пакет программ написан на языке высокого уровня системы компьютерной математики «MATLAB» . Также в пакете предусмотрена возможность расчета пружин с постоянным поперечным сечением.

Исследование влияния переменных геометрических параметров сечения пружины на ее технические характеристики проведено на трех типах пружин, при этом обнаружено, что в кинематическом режиме пружины рассмотренных типов преимуществ по характеристикам перед пружинами с постоянным сечением не имеют. В силовом режиме работы тяговое усилие пружины типа плоский овал - плоский овал выше этой характеристики пружины с постоянным плоскоовальным сечением на 12%, по тяговому моменту расхождение несущественно - менее 1%. Характеристики пружин типа восьмеркообразное сечение - «эллипс» и плоский овал - «эллипс» в силовом режиме работы немного хуже лучших в этом отношении пружин с постоянным «эллиптическим» сечением: расхождение по тяговому моменту менее 3,5%, по тяговому усилию менее 1%.

В пятом разделе рассмотрено моделирование колебаний трубчатых пружин. При этом разработаны две математические модели - на основе энергетического метода, а также предложен метод расчета, в котором динамическая модель трубки Бурдона представлена в виде тонкостенного изогнутого стержня, совершающего колебания в плоскости кривизны центральной оси.

В первом случае динамическая модель манометрической трубчатой пружины представляет механическую систему с двумя степенями свободы. За обобщенные координаты принимаются относительный угол раскрытия пружины и величина увеличения малой полуоси поперечного сечения трубки w₀. Такой подход к решению задачи о статической деформации трубчатой пружины под действием внутреннего давления впервые был применен В. И. Феодосьевым.

Для получения дифференциальных уравнений движения использованы уравнения Лагранжа второго рода, которые для системы с 2 степенями свободы примут вид:

(37)

где; t - время; T - кинетическая энергия системы; U -потенциальная энергия. Выражение для потенциальной энергия трубки получено в разделе 2.

Кинетическая энергия трубки равна сумме кинетических энергий всех его точек: , где m_i - масса i-того элемента; - скорость i-того элемента. Выделяя элемент трубки и интегрируя по объему получим

, (38)

, ,



После подстановки значений кинетической и потенциальной энергии в уравнения Лагранжа получим систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

, (39)

где a₁₁, a₂₂ - коэффициенты инерции, С₁₁,, С₂₂ - коэффициенты жесткости.

В результате решения системы уравнений (39) получены выражения для определения первых двух частот собственных колебаний:

, а . (40)

Полученный метод расчета позволяет достаточно просто рассчитать первые две собственные частоты колебаний трубок постоянного сечения. Но, поскольку в качестве функции перемещений контура поперечного сечения была принята деформация прямой трубы, то погрешность расчетов должна возрастать с увеличением параметра кривизны м₀ пружины, далее предлагается метод, свободный от этого ограничения.

Здесь трубчатая пружина рассматривается как изогнутый тонкостенный стержень, совершающий колебания в плоскости кривизны. Уравнения движения (в соответствии с принципом Даламбера) получены из равенств нулю сумм соответствующих проекций всех сил, приложенных к элементу пружины (с учетом силы инерции) на нормаль и на касательную (рис. 12):



, (41)

где N - продольная сила; Q - поперечная сила; - масса единицы длины трубки (масса поперечного сечения с координатой ц); w, u - соответственно радиальная и окружная составляющие перемещения центра тяжести поперечного сечения с координатой ц.

Рис. 12 Изгиб манометрической трубчатой пружины а - кривой стержень; б - элемент трубки

Система уравнений (41) в перемещениях u и w имеет вид:

, (42)

, , .

Система (42) решалась при следующих граничных условиях: в сечении жесткого закрепления пружины (ц=0) касательное, нормальное перемещения и угол поворота поперечного сечения трубки равны нулю, а на противоположном конце (ц=г) изгибающий момент, перерезывающие, растягивающие усилия обращаются в нуль.

Собственные изгибные колебания происходят по гармоническому закону с частотой k, поэтому решение системы этих двух уравнений можно представить в виде:

, , (43)

где k - круговая частота колебаний.

При решении системы (42) применялся приближенный метод Бубнова-Галеркина. В соответствии с этим методом, зададим искомые функции составляющих перемещений в виде:

; ,

где a₁, a₂, …a_n, b₁, b₂, …b_n - неопределенные коэффициенты;

u₁, u₂, u_n, w₁, w₂, w_n - базисные функции переменной ц.

Подстановка выражений (43) в преобразованную методом Галеркина систему (42) приводит к системе из 2n уравнений. При этом в силу граничных условий часть слагаемых равны нулю.

Базисные функции u_i и w_j выбирались в виде:

(44)

Легко проверить, что выбранные функции удовлетворяют главным граничным условиям. Получим однородную систему алгебраических уравнений порядка 2n относительно неизвестных a₁, …, a_n, b₁, …, b_n. Данная система уравнений имеет ненулевое решение только в том случае, если определитель матрицы этой системы равен нулю. Запишем его в виде:

, (45)

Условие равенства нулю определителя (45) можно рассматривать как уравнение для определения частот колебаний k. Поскольку порядок определителя равен 2n, то уравнение будет иметь 2n корней, которые являются частотами собственных колебаний трубчатой пружины. Таким образом, для получения значений частот собственных колебаний нужно решить систему уравнений (45). Те значения k, при которых определитель равен нулю, являются круговыми частотами собственных колебаний.

Результаты численного эксперимента показали, что с увеличением количества базисных функций u_i и w_j, значение частоты стремится к некоторому предельному значению . Для получения удовлетворительных результатов по первой собственной частоте колебаний достаточно удерживать по пять базисных функций.

На основе этого способа определения частот собственных колебаний составлены алгоритм и программа для ЭВМ. Предложенный алгоритм реализован в пакете прикладных программ «ПКРМТП», который оснащен интерфейсом пользователя, что позволяет достаточно просто осуществить ввод данных для расчета, контроль геометрических параметров пружины и визуализацию результатов решения (рис. 13,14).

Пакет программ написан на языке программирования системы компьютерной математики «MATLAB» и может быть использован для расчета пружин как с переменным, так и с постоянным сечением.

При помощи программного комплекса «ПКРМТП» было исследовано влияние геометрии трубчатых пружин с постоянным и переменным поперечным сечением на частоты собственных колебаний.



Рис. 13 Окно запуска программного комплекса «ПКРМТП»

Рис. 14 Окно ввода данных для расчета манометрической пружины с переменным сечением

Для пружин с переменным по длине поперечным сечением установлено, что уменьшение толщины стенки трубки от закрепленного конца к свободному, а так же уменьшение радиуса трубки-заготовки от закрепленного конца к свободному приводит к увеличению частоты собственных колебаний.

Сравнение манометрических пружин с изменяющейся формой поперечного сечения по длине пружины показало, что наибольшей частотой собственных колебаний обладают манометрические пружины сечения которых изменяются от восьмеркообразного (в закреплении) до плоскоовального (на свободном конце).

В шестом разделе представлены экспериментальные исследования деформаций и напряжений в трубчатых пружинах.

Для уточнения пределов применения энергетического метода расчета были проделаны опыты по измерению угла поворота и линейных перемещений трубчатых пружин под действием внутреннего давления и внешних сил. Для испытания взят ряд трубок Томского завода "Манометр", предназначенных для измерения давления от 0,25 до 10 МПа. Материал пружин - сплав 156 ( Е = 1,16*10 МПа), радиус загибки - 54 и 38 мм, форма сечения - плоскоовальная.

Деформация пружин под действием давления и внешних сил замерялись на малом инструментальном микроскопе типа ММИ.

Для анализа характера отклонений на рис. 14 нанесены значения относительных погрешностей по энергетическому методу: треугольниками - по формуле для плоскоовального сечения, крестиками - по формуле, учитывающей реальную форму сечения, а также прямые, осредняющие эти отклонения.

Рис. 14 Зависимость отклонений от параметра кривизны

Уравнения зависимостей получаются в виде: - с учетом отклонений от реальной формы сечения, эта прямая показана на рис. 18 сплошной линией, а без учета действительной формы сечения: (штриховая линия). Задаваясь точностью 10%, получаем значение которое определяет границу энергетического метода, равное 7,5.

В целях проверки формул, полученных в разделах 2 и 3 , была испытана серия трубчатых пружин с переменной толщиной стенки. Пружины были изготовлены из латунных заготовок плоскоовальной формы путем фасонного фрезерования их внешней поверхности.

Результаты измерений показаны в табл. 1 Из граф 4 и 10, в которых приведены относительные погрешности расчетов чувствительности по углу поворота и по линейным перемещениям , видно, что погрешности, как по чувствительности, так и по ходу, примерно равны. Это подтверждает точность постановки опытов, следовательно, полученное отклонение расчетных значений объясняется погрешностями формы самих пружин.

В графах 11 и 12 приводятся результаты расчетов линейных перемещений без учета наконечника, сравнение показывает, что относительная погрешность в этом случае не равна погрешности по углу поворота, а значительно превышает ее. В графах 13 - 14 приведено сравнение линейных перемещений под действием внешней силы, приложенной к концу пружины.

Таблица1

Чувствительность образцов с переменной толщиной стенки

Для детального исследования напряжений был использован метод объемного моделирования. Для испытаний была изготовлена модель трубчатой пружины плоскоовального сечения с постоянной толщиной стенки, представляющая собой десятикратно увеличенный сектор пружины с центральным углом г=30°. Размеры модели: R, =650мм; а = 99,5мм; b = 17мм; Н = 13мм.

Для измерения относительных деформаций был использован высокостабильный 40-канальный электротензометр ВСТ-3.

Эпюры поперечного напряжения на внутреннем контуре сечения модели показаны на рис 15, сплошная линия соответствует экспериментальным, а штриховая - расчетным значениям.

Рис. 15 Эпюра напряжений.

После тензометрирования модели №1 внешняя поверхность ее была освобождена от датчиков. Модель №2, имеющая переменную толщину стенки, была изготовлена из модели № 1 обработкой ее поверхности. Совпадение результатов опытов с расчетными значениями также вполне удовлетворительное.

Целью экспериментального исследования напряженно-деформированного состояния трубчатых пружин с переменной по длине формой сечения является проверка приемлемости созданного метода расчета.

Для решения поставленных задач были изготовлены образцы манометрических пружин, отличающиеся друг от друга толщиной стенки и формой сечения (рис. 16).

Для того чтобы определить перемещения кончика пружины с высокой точностью и небольшой трудоемкостью, была сконструирована экспериментальная установка, содержащая экран, цифровой фотоаппарат, направляющая, скользящая стойка фотоаппарата, указатель положения кончика пружины, скользящая стойка пружины, основание, регулировочные и фиксирующие винты.

Принцип действия установки заключается в фотосъемке положения кончика пружины, которое он занимает при создании давления в пружине, при этом на фотографии также фиксируется положение кончика пружины в начальном положении (до подачи давления).

Рис. 16 Образцы трубчатых пружин с переменной по длине формой сечения

Таблица 2

Чувствительность образцов трубок переменного сечения

№	K = l/q, мм-1/мПа	и, %
	опыт	теория
1 2 3 4 5 6 7	6,99 9,73 8,70 62,13 38,5 7,1 100,5	7,37 10,76 8,88 65,12 41,8 7,5 106,2	5,1 9,6 2,0 4,6 7,9 5,3 5,3

Полученное изображение обрабатывается на персональном компьютере в графической программе, где определяется числовое значение перемещения кончика пружины. Данные испытаний чувствительности приведены в табл. 2. Как видно из таблицы, отклонение опытных и расчетных данных находятся в пределах 10%.

Для измерения относительных деформаций был использован измеритель деформаций ИТЦ-01. При этом использовались датчики с базой 10 мм, которые наклеивались на оси симметрии в нескольких сечениях трубки. Совпадение данных испытаний с расчетами также вполне удовлетворительное.

Это означает возможность применения созданного метода расчета для определения напряженного состояния пружин при их проверочном расчете и проектировании.

С целью проверки приемлемости созданных методов расчета проведено экспериментальное исследование частот собственных колебаний манометрических и сравнение этих значений с теоретическими.

Задачи эксперимента: исследование влияния внутреннего давления на собственные частоты колебаний трубчатых пружин; определение частот собственных колебаний манометрических пружин с различными геометрическими параметрами, исследование влияния жестких наконечников.

Для определения собственной частоты колебаний имеющихся образцов использовался универсальный виброанализатор модели «ТОПАЗ-В» (КУ-080-В) фирмы-производителя «Диамех. Общий вид установки показан на рис. 17.

Исследовалось два ряда образцов манометрических пружин постоянного эллиптического сечения из дисперсионно-твердеющей латуни марки ЛАНКМц 75-2-2,5-0,5-0,5 (сплав 156) и стали 36НХТЮ (ЭИ 702) с диапазонами рабочих давлений от 0,06МПа до 10МПа, отличающихся геометрическими параметрами (всего 20 образцов) и шесть образцов трубчатых пружин переменного по длине поперечного сечения.

...