Деякі аспекти застосування спорідненості при розв’язуванні задач в ортогональних проекціях

Размещено на http://www.allbest.ru

ДЕЯКІ АСПЕКТИ ЗАСТОСУВАННЯ СПОРІДНЕНОСТІ ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ В ОРТОГОНАЛЬНИХ ПРОЕКЦІЯХ

Валерій КРІВЦОВ

кандидат технічних наук,

доцент кафедри теоретичної механіки,

інженерної графіки ти машинознавства

Національного університету водного

господарства та природокористування

Із метою тлумачення сутності таких понять, як «споріднені перетворення» та «споріднені відповідності», свідомого їх використання для розв'язку задач із нарисної геометрії в статті на конкретних прикладах показано, як встановлюється споріднена відповідність на кресленнях з ортогональними проекціями.

Ключові слова: споріднені перетворення, споріднена відповідність, нарисна геометрія, ортогональні проекції.

споріднений відповідність задача нарисний геометрія ортогональний

С целью толкования сущности таких понятии, как «родственные преобразования» и «родственное соответствие», сознательного их использования для решения задач по начертательной геометрии в статье на конкретных примерах показано, как устанавливается родственное соответствие на чертежах с ортогональными проекциями.

Ключевые слова: родственные преобразования, родственное соответствие, начертательная геометрия, ортогональные проекции.

In order to interpret the essence of such concepts as «related transformations» and «related accordance», conscious of their use for solution of problems in descriptive geometry in the article on the concrete examples shown as to set a related accordance on the drawings with orthogonal projections.

Key words: related transformations, related accordance, descriptive geometry, orthogonal projections.

Значну кількість задач нарисної геометрії просто та зручно розв'язувати, задаючи спорідненість зображених на кресленні об'єктів. Це перш за все стосується тих задач, де обриси геометричних фігур зображено неповністю або під час розв'язку задачі потрібні точки та лінії опиняються за межами поля графічних побудов. Використання спорідненості дозволяє відтворювати обриси геометричних фігур шляхом перетворення їх проекцій, переміщувати шукані точки та прямі в межах креслення.

Постановка проблеми. З метою ефективного використання споріднених перетворень необхідно досконало знати правила їх застосування. У фундаментальних працях [2; 4; 6; 8; ) поряд зі спорідненими перетвореннями вживається таке близьке за значенням поняття, як «споріднена відповідність».

Розуміння сутності цих понять дозволить свідомо підходити до використання спорідненості при розв'язуванні задач нарисної геометрії, більш ефективно її застосовувати, враховуючи умову задачі та результат, який потрібно отримати.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. У сучасній навчальній літературі [3-5: 7). на наш погляд, тлумаченню представлених вище понять, а також питанню меж їх застосування приділяють недостатньо уваги. Зокрема, для яких саме геометричних фігур та їх проекцій властиві споріднені перетворення, а для яких споріднена відповідність. Практично не висвітлено питання стосовно різних видів споріднених перетворень га їх можливого поєднання при розв'язуванні задач.

Мета етапі - на конкретних прикладах показати, то спільного та в чому відмінність таких понять, як «споріднені перетворення» га «споріднена відповідність»; здійснити графічні побудови різних видів споріднених перетворень та поєднати їх для розв'язку задач.

Виклад основною матеріалу

Спорідненість «частковим випадком гомології, коли центром гомології є невласна точка. Споріднені перетворення, які найчастіше застосовують на ортогональних проекціях, можна поділити на $еув та стискування (розтягування), причому розв'язок задачі може бути результатом комбінації двох зазначених перетворень. При зсуві нескінченно віддалений центр гомології лежить на осі (площині для проекцій просторових фігур) гомології, яка називається віссю (площиною) спорідненості, при цьому подвійні прямі гомології (напрям спорідненості) стають паралельними осі спорідненості.

На рис. І виконано споріднені перетворення, то складаються з комбінації зсуву іа стискування, в результаті чого визначено точки К' і К~ перегину прямої а з поверхнею кругового нахиленого (еліптичного) циліндра. Спочатку зсувом отримано фронтальну проекцію поверхні циліндра з точкою 1₂ іга верхній основі, що є спорідненою фронтальній проекції циліндра з точкою /Разом із циліндром піддасться ісуву і фронтальна проекція а2 прямої а. При ньому горизонтальні проекції точок поверхні циліндра га прямої а перемішуються прямими, які паралельні до осі х. Для цього першого спорідненого перетворення плотиною спорідненості є площина її. що проходить через нижню основу циліндра, а напрям спорідненості паралельний площинам проекцій 7TJ І

Слід зазначити, що між горизонтальними та фронтальними проекціями циліндра з прямої а в загальному випадку існує тільки проекційний зв'язок, а споріднена відповідність відсутня. Проте між фронтальними проекціями циліндра з точками /, і 1, існує не тільки споріднена відповідність, а й проекційний зв'язок, якщо прийняти напрям спорідненості за напрям ліній проекційного зв'язку. При цьому слід зауважити, що споріднену відповідність між ними проекціями встановлено спорідненим перетворенням у вигляді зсуву фронтальної проекції циліндра з точкою І

Размещено на http://www.allbest.ru

Між перетвореними проекціями циліндра з точками 1, І 1/ існує тільки проекційний зв'язок, як і між горизонтальними проекціями циліндра з точками /₇ і 1₇. якщо прийняти подвійні прямі за лінії проекційного зв'язку

Це дозволяє, взявши на будь-яких із перетворених чи заданих проекціях циліндра та прямої а проекцію якогось елемента, наприклад, точки, знайти її проекції на інших зображеннях. Зазначимо, що проекції елементів на фронтальних проекціях циліндра З точками 12 і її та прямої а можна знайти двома способами: за допомогою ліній проекційного зв'язку або за правилами графічних побудов на споріднених зображеннях.

Точка А2 = А / подвійна точка, що лежать на осі х. через яку проходить площина спорідненості її. Нижня основа циліндра перетворюється «сама в себе», оскільки лежить на площині спорідненості 6.

Далі за допомогою стискування горизонтальної проекції циліндра з точкою 1₇ на верхній основі перетворюємо нахилений циліндр у прямий. Для другого спорідненого перетворення площиною спорідненості с та ж площина її', спорідненими площинами to і їо та напрям спорідненості, перпендикулярний осі .V. Визначаємо точки К^/ і К² перетину прямої а з поверхнею прямою кругового циліндра з точкою її її на верхній осггові. За допомогою прямих, що збігаються з напрямом спорідненості та ліній проекційного зв'язку визначаємо шукані точки К¹ і К- перетину прямої а з поверхнею циліндра.

При виконанні споріднених перетворень споріднена відповідність встановлюється між однією з проекцій фігури га її перетвореною проекцією. Розглянемо умови, за якими між ортогональними проекціями встановлюється споріднена відповідність. Для кращого розуміння розглянемо наочне зображення.

Наведене на рис. 2. На ньому її,, - парна бісекгорна площина (бісектор II і IV кутів простору). В просторі площину сі задано трикутником АВС. Точки / і 2 цс точки перетину прямих АВ і АС площини « з площиною її,,.

Між площиною а(ААВС) та її вертикальною проекцією (i/_t(AA/,B/,C/J на площину її,, встановлю- сться псрснсктнвно-афінна нідповілність із віссю спорідненості = а(ААВС) П а^(АА,Д^С^) або s,, = а(ЛАВС) П її,,. тобто віссю спорідненості є пряма лінія перетину площини а(ААВС) з парною бісектор- иою площиною її,,. Спроскіїіюгмо A ABC і АА,,В/,С/> на суміщені площини проекцій її, і я? з віссю v їх перетину в просторі. Отримані таким чином фронтальна і горизонтальна проекції а(ААВС) утворюють між собою споріднену відповідність. В ЯКІЙ S вісь спорідненості, лінії проекційного зв'язку збігаються з напрямом спорідненості. Точки 11 = 12 і 21 =2^ с проекціями точок / і 2. які лежать в парній бісектор- ній площині її,,. Відомо, що у точок, які знаходяться на її,,, горизонтальні та фронтальні ортогональні проекції збігаються на кресленні. Через ці подвійні точки проходить вісь спорідненості s, яка с ортогональною проекцією ОСІ S/,.

Якщо вісь спорідненості збігається з віссю проекцій т. це означає, що задана площина проходить через вісь х.

Таким чином, між фронтальною і горизонтальною проекціями площини загального положення встановлюється споріднена відповідність, в якій віссю спорідненості є пряма лінія, що проходить через точки перетину двох пар відповідних прямих площини, а напрям спорідненості збігається з лініями проекційного зв'язку на ортогональних проекціях.

Размещено на http://www.allbest.ru

Важлива особливість креслень в ортогональних проекціях, між якими встановлено споріднену відповідність, полягаг в можливості розв'язувати задачі на одному кресленні як за допомогою традиційних побудов, що застосовуються на ортогональних проекціях, гак і побудов, притаманних спорідненим кресленням, причому ці побудови можна поєднувати.

Размещено на http://www.allbest.ru

Так. на рис. З горизонтальну проекцію прямої EF. то належить ААВС. можна визначити як за допомогою двох точок / і 2 площини ААВС. так і за однією точкою /, а також за подвійною точкою 3/ = ЗJ, яка лежить на осі спорідненості.

Размещено на http://www.allbest.ru

На рис. 4 побудовано лінію перетину K^JK² площин, заданих а(ААВС) і a(ADEF).

Точку К' побудовано за правилами споріднених креслень як точку перетину осі спорідненості S¹ для ортогональних проекцій ААВС з віссю спорідненості л- для ортогональних проекцій ADEF. Ця подвійна точка К і¹ = К 2^і с точкою, в якій перетинаються лінії перетину заданих площин з парною бісскторною площиною, котру можна прийняти за допоміжну січну площину. Другу січну площину 03. за допомогою якої визначено точку К-. проведено за прийнятим у нарисній геометрії алгоритмом побудови лінії перетину двох площин. Площина ш перетинає задані площини но прямим лініям 12 і 34. в перетині яких знаходимо точку К².

Висновки

Споріднену відповідність між ортогональними проекціями можна встановити лише для плоских фігур. Для цього визначають вісь спорідненості. В інших випадках споріднену відповідність встановлюють між однією з проекцій фігури і її перетвореною за правилами спорідненості проекцією. Важливо розуміти, що для цього задають, а не визначають, вісь (площину) спорідненості, напрям спорідненості, а також споріднені прямі (площини), які визначають межі перетворень проекцій фігури. Спорідненому перетворенню підлягають проекції всіх фігур, які входять в умову задачі. За потреби на одному кресленні можна застосовувати різні вили споріднених перетворень.

Список використаної літератури

1. Бубенчиков А. В. Начертательная геометрия : учебник для вузов / А. В. Бубенников, М. Я. Громов. -- М.: Высш. школа, 1973. --416 с.

2. Гильберт Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен; пер. с нем. М. : Наука, 1981. -- 344 с.

3. Климухин А. Г. Начертательная геометрия : учеб, пособие / А. Г. Климухин. - М. : Архитектура-С, 2007. -336 с.

4. Королев Ю. И. Начертательная геометрия : учебник для вузов / К). И. Королев. - Спб. : Питер. 2010.-266 с.

5. Королев Ю. И. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Ю. И. Королев. - М. : Архитек- тура-С, 2014. - 422 с.

6. Кузнецов Н. С. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Н. С. Кузнецов. -- М. : Высш. школа. 1969. - 501 с.

7. Михайленко В. Є. Нарисна геометрія : підручник / В. Є. Михайленко, М. Ф. Євстіфєєв, С. М. Ковальов, О. В. Кащенко. - К. : Вища школа, 2004. - 303 с.

8. Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия / Н. Ф. Четверухин. М.: Просвещение, 1969. -368 с.

Размещено на Allbest.ru