Особенности изложения понятия суммы ряда в курсе математического анализа (высшей математики)
Понятие и сущность рядов. Необходимость определения суммы числового ряда и естественность обычного определения с использованием софизма Бальцано. Составление последовательности частичных сумм ряда. Сходящаяся геометрическая прогрессия и бесконечность.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.02.2018 |
| Размер файла | 49,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Оренбургский государственный университет
Особенности изложения понятия суммы ряда в курсе математического анализа (высшей математики)
Незнамова М.А.
г. Оренбург
При изучении математического анализа (высшей математики) студенты зачастую формально подходят к некоторым, как им кажется легко, усвояемым понятиям, в дальнейшем при таком отношении появляется много математических ошибок. Одним из таких понятий является сумма числового ряда. Студенты должны понимать два основных момента: необходимость определения такой суммы и естественность обычного определения.
Рядом мы называем последовательность чисел, объединенных знаком плюс
Для выяснения необходимости определения суммы ряда приводится известный софизм Бальцано:
Обозначим через «сумму» следующего ряда
Объединим его члены попарно получим
С другой стороны
Легко также заметить, что
,
Откуда .
Этот пример показывает, что с бесконечной суммой нельзя обращаться также как с конечной, то есть нельзя законы, действующие для конечного числа слагаемых переносить на ряды. И в первую очередь необходимо определить, что означает сумма ряда.
Далее можно составить последовательность частичных сумм ряда
на примере ряда
Обычно кто-нибудь из студентов догадывается, что для нахождения всей суммы ряда надо перейти к пределу
сумма числовой ряд бесконечность
Важно отметить, что доказать последнее равенство невозможно, так как у нас еще нет определения суммы ряда. И поскольку это равенство естественно, то оно принимается по определению. В то же время здесь замечаем, что понятие суммы качественно отличается от понятия конечной суммы, ибо новое понятие суммы опирается на понятие предела.
Одним из важнейших сходящихся рядов, рассматриваемых в курсе математического анализа, является сходящаяся геометрическая прогрессия. Это название мы считаем более предпочтительным, чем «бесконечно убывающая» прогрессия. Действительно, вряд ли целесообразно называть бесконечно убывающей, например, следующую прогрессию:
которая на самом деле возрастает. Многие студенты формально воспринимают равенство
подчас считая его лишь приближенным. Так, на вопрос: существует ли число ближайшее к одному и меньшее его, очень многие студенты отвечали положительно, и даже называли его . Это обстоятельство подтверждает тот факт, что многие студенты воспринимают ряд (и в том числе бесконечные десятичные дроби) лишь как переменную частичную сумму (или, соответственно, как конечную десятичную дробь, у которой число десятичных знаков постепенно увеличивается, но «никогда не достигает бесконечности»). Таким образом, эти студенты остаются лишь на стадии восприятия потенциальной бесконечности. Для некоторых многоточие, стоящее в конце обозначения ряда означает лишь возможность продолжения суммы, а не ее фактическую бесконечность. Так многие студенты записывают ряд в виде конечной суммы: . На замечание, что подобная запись означает не ряд, а его частичную сумму, ибо содержит лишь конечное число слагаемых, иногда студенты отвечают: «Здесь же может принимать любое значение, как угодно большое. Значит это бесконечная сумма». Ввиду этого, необходимо обращать внимание студентов на то, что в обозначениях последовательности или ряда два раза встречается многоточие, которое имеет разный смысл: первое многоточие означает пропущенное конечное множество элементов, второе же означает незаписанную бесконечную часть. Но эту незаписанную часть последовательности или ряда нужно мысленно представить себе заданной одновременно с записанной частью. Таким образом, мы рассматриваем числовой ряд не столько как процесс накопления слагаемых, сколько как результат накопления.
Для преодоления указанной выше ошибки полезно также не только рассматривать задачи на суммирование прогрессии, где сумму надо найти, но и задачи на разложение данного числа в прогрессию. Например, площадь квадрата со стороной 1 разлагается в ряд
что можно наглядно проиллюстрировать на чертеже. Если мы будем рассматривать не процесс исчерпывания площади квадрата, а его результат, то получим точное равенство.
Для восприятия ряда как актуальной бесконечности очень помогает рассмотрение известного парадокса древнегреческого философа Зенона (550 год до н. э.) об Ахиллесе и черепахе, который заключается в следующем: Ахиллес (сказочный быстроногий герой греков) бежит в десять раз быстрее, чем ползет черепаха. Если черепаха находилась в начальный момент времени впереди Ахиллеса на расстоянии принимаемом нами за единицу, то пока Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха уйдет вперед на , пока Ахиллес пробежит эту , черепаха уйдет вперед на и так далее. Таким образом, как будто получается, что черепаха будет «все время» находиться впереди Ахиллеса, то есть Ахиллес ее никогда не догонит.
Однако, жизненный опыт и простой подсчет с помощью суммирования бесконечной прогрессии показывает другой ответ. Какова же психологическая причина кажущегося парадокса?
Даже вычислив путь, в конце которого Ахиллес догонит черепаху равный
первоначального расстояния между Ахиллесом и черепахой, студент мыслит себе процесс прохождения этого пути бесконечным, так как ему кажется, что все этапы прохождения этого пути проходятся за равные промежутки времени. Поэтому лучше подсчитать не путь, а время движения Ахиллеса до встречи с черепахой. Если обозначим скорость Ахиллеса через , то это время находится так:
А тот факт, что всякое число можно представить в виде бесконечной суммы слагаемых, уже не является новым для студентов.
Список литературы
1. Математическая энциклопедия / под ред. И.М. Виноградова. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. _ 1215 с.: ил.
2. Никольский, С.М. Курс математического анализа: учеб. для вузов. - 6-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 592 с. - ISBN 5-9221-0160-9.
3. Берс, Л. Математический анализ: учеб. пособие для вузов / Л. Берс. Т. 1. М.: Высш. школа, 1975. - 519 с.: ил.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. - 6-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1968. - 422 с.: ил.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013Алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. Функции и свойства рядов, их физический смысл.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 20.05.2015Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Динамический ряд: понятие, виды. Показатели ряда динамики: абсолютный прирост, темп роста. Способы обработки динамического ряда. Укрупнение интервалов, скользящая средняя. Аналитическое выравнивание ряда динамики. Сущность понятия "экстраполяция".
контрольная работа [1,3 M], добавлен 31.10.2013Понятие об основной тенденции ряда динамики, ее сущность и визуальное представление, методы анализа. Аналитическая оценка уравнения тренда. Характеристика, использование различных методов для выделения тренда временных рядов, прогнозирование показателей.
курсовая работа [207,2 K], добавлен 04.03.2013Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного. Асимптотическое решение интегралов. Асимптотическое вычисление суммы ряда. Приложения символа "О". Основные определения, примеры.
дипломная работа [151,2 K], добавлен 13.06.2007Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.
контрольная работа [266,9 K], добавлен 27.12.2010Рациональные и иррациональные числа и их свойства. Гипотеза Акулича и явные формулы. Разбиение натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности. Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами.
научная работа [1,1 M], добавлен 05.02.2011
