Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем
Ознакомление с процессом приближенного решения с помощью степенных рядов. Рассмотрение численного решения методом Эйлера и Рунге-Кутты. Исследование порядка вычисления абсолютной и относительной погрешности. Изучение совместного графического решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2018 |
| Размер файла | 4,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Высшая и прикладная математика»
Типовой расчет
Тема: «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем»
Дисциплина «Вычислительная математика»
Вариант №24
Выполнил: студент группы УТС-214,
Кулясова Л.М.
Проверил: преподаватель Медведева Н.В.
Екатеринбург 2016
Содержание
1. Решение дифференциального уравнения
1.1 Постановка задачи
1.2 Классический метод решения
1.3 Операторное решение
1.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
1.5 Численное решение методом Эйлера
1.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
1.7 Совместное графическое решение
1.8 Вычисление абсолютной и относительной погрешности
2. Точное решение системы дифференциальных уравнений
2.1 Постановка задачи
2.2 Классический метод решения
2.3 Операторное решение
2.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
2.5 Численное решение методом Эйлера
2.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
2.7 Совместное графическое решение
2.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
Заключение
Список литературы
1. Решение дифференциального уравнения
1.1 Постановка задачи
Получить точное решение дифференциального уравнения с начальными условиями:
,
аналитическим методом, операторным методом, приближенным решением с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0, 1], численными методами Эйлера и Рунге-Кутты. Представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать абсолютную и относительную погрешность указанных методов решения.
1.2 Классический метод решения
1.3 Операторное решение
,
Решение:
Ответ:
1.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
1.5 Численное решение методом Эйлера
Решение: численный эйлер погрешность
1.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
1.7 Совместное графическое решение
1.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
x(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0.1 |
1.401 |
1.401 |
1.4 |
1.401 |
|
|
0.2 |
1.809 |
1.809 |
1.8 |
1.809 |
|
|
0.3 |
2.232 |
2.232 |
2.207 |
2.232 |
|
|
0.4 |
2.681 |
2.681 |
2.63 |
2.681 |
|
|
0.5 |
3.168 |
3.167 |
3.08 |
3.168 |
|
|
0.6 |
3.708 |
3.705 |
3.569 |
3.708 |
|
|
0.7 |
4.32 |
4.311 |
4.115 |
4.32 |
|
|
0.8 |
5.027 |
5.006 |
4.737 |
5.027 |
|
|
0.9 |
5.855 |
5.81 |
5.458 |
5.855 |
|
|
1 |
6.838 |
6.75 |
6.307 |
6.838 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
4.567e-11 |
1.006e-6 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
1.197e-8 |
0.04 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
3.14e-7 |
0.08 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
3.213e-6 |
0.119 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
1.963e-5 |
0.159 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
8.652e-5 |
0.199 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
3.046e-4 |
0.238 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
9.097e-4 |
0.278 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
2.396e-3 |
0.318 |
0 |
|
|
1 |
- |
5.719e-3 |
0.358 |
0 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
3.26e-9 |
9.672e-5 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
6.615e-7 |
3.847 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
1.407e-5 |
7.653 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
1.198e-4 |
11.457 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
6.195e-4 |
15.259 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
2.333e-3 |
19.061 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
7.05e-3 |
22.861 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
0.018 |
26.661 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
0.041 |
30.462 |
0 |
|
|
1 |
- |
0.084 |
34.263 |
0 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
4.567e-9 |
1.006e-4 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
1.197e-6 |
4.001 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
3.14e-5 |
7.962 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
3.213e-4 |
11.925 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
1.963e-3 |
15.889 |
0 |
|
|
0.6 |
- |
8.652e-3 |
19.855 |
0 |
|
|
0.7 |
- |
0.03 |
23.824 |
0 |
|
|
0.8 |
- |
0.091 |
31.773 |
0 |
|
|
0.9 |
- |
0.24 |
35.754 |
0 |
|
|
1 |
- |
0.572 |
39.741 |
0 |
2. Точное решение системы дифференциальных уравнений
2.1 Постановка задачи
Получить точное решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями:
x(0)=1, y(0)= -2
классическим методом решения, операторным методом, приближенным решением с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале от [0, 1], численным решением методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное решение системы ДУ всеми способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов решение с использованием точного решения.
2.2 Классический метод решения
2.3 Операторное решение
x(0)=1, y(0)= -2
2.4 Приближенное решение с помощью степенных рядов
Свелик ДУ :
Найдем xr(t):
2.5 Численное решение методом Эйлера
2.6 Численное решение методом Рунге-Кутты
2.7 Совместное графическое решение
x(t)
y(t)
2.8 Вычисление абсолютной и локальной относительной погрешностей
x(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0.1 |
0.133 |
0.2 |
0.2 |
0.133 |
|
|
0.2 |
-0.921 |
-0.613 |
-0.71 |
-0.921 |
|
|
0.3 |
-2.259 |
-1.497 |
-1.797 |
-2.259 |
|
|
0.4 |
-4.012 |
-2.605 |
-3.142 |
-4.012 |
|
|
0.5 |
-6.352 |
-4.225 |
-4.848 |
-6.351 |
|
|
0.6 |
-9.514 |
-6.83 |
-7.044 |
-9.512 |
|
|
0.7 |
-13.819 |
-11.123 |
-9.9 |
-13.816 |
|
|
0.8 |
-19.705 |
-18.078 |
-13.634 |
-19.702 |
|
|
0.9 |
-27.776 |
-28.992 |
-18.534 |
-27.771 |
|
|
1 |
-38.858 |
-45.525 |
-24.978 |
-38.85 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0.1 |
- |
0,335 |
0,335 |
0 |
|
|
0.2 |
- |
-0,502 |
-0,297 |
0 |
|
|
0.3 |
- |
-0,509 |
-0,257 |
0 |
|
|
0.4 |
- |
-0,54 |
-0,277 |
0 |
|
|
0.5 |
- |
-0,503 |
-0,31 |
-2E-04 |
|
|
0.6 |
- |
-0,393 |
-0,351 |
-2E-04 |
|
|
0.7 |
- |
-0,242 |
-0,396 |
-2E-04 |
|
|
0.8 |
- |
-0,09 |
-0,445 |
-2E-04 |
|
|
0.9 |
- |
0,0419 |
-0,499 |
-2E-04 |
|
|
1 |
- |
0,1464 |
-0,556 |
-2E-04 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
0,067 |
0,067 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
0,308 |
0,211 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
0,762 |
0,462 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
1,407 |
0,87 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
2,127 |
1,504 |
0,001 |
|
|
0,6 |
- |
2,684 |
2,47 |
0,002 |
|
|
0,7 |
- |
2,696 |
3,919 |
0,003 |
|
|
0,8 |
- |
1,627 |
6,071 |
0,003 |
|
|
0,9 |
- |
-1,216 |
9,242 |
0,005 |
|
|
1 |
- |
-6,667 |
13,88 |
0,008 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
33,5 |
33,5 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-50,24 |
-29,72 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-50,9 |
-25,71 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-54,01 |
-27,69 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-50,34 |
-31,02 |
-0,016 |
|
|
0,6 |
- |
-39,3 |
-35,07 |
-0,021 |
|
|
0,7 |
- |
-24,24 |
-39,59 |
-0,022 |
|
|
0,8 |
- |
-9 |
-44,53 |
-0,015 |
|
|
0,9 |
- |
4,1943 |
-49,87 |
-0,018 |
|
|
1 |
- |
14,645 |
-55,57 |
-0,021 |
y(t)
|
t |
Операторный метод |
Вычисление с помощью степенных рядов |
Численное решение методом Эйлера |
Численное решение методом Рунге-Кутты |
|
|
Решение: |
|||||
|
0 |
-2 |
-2 |
-2 |
-2 |
|
|
0.1 |
-1.946 |
-1.684 |
-1.9 |
-1.946 |
|
|
0.2 |
-1.987 |
-1.42 |
-1.89 |
-1.987 |
|
|
0.3 |
-2.138 |
-1.322 |
-1.972 |
-2.138 |
|
|
0.4 |
-2.421 |
-1.561 |
-2.155 |
-2.421 |
|
|
0.5 |
-2.87 |
-2.343 |
-2.453 |
-2.87 |
|
|
0.6 |
-3.537 |
-3.89 |
-2.893 |
-3.537 |
|
|
0.7 |
-4.494 |
-6.424 |
-3.508 |
-4.493 |
|
|
0.8 |
-5.842 |
-10.148 |
-4.347 |
-5.841 |
|
|
0.9 |
-7.722 |
-15.231 |
-5.476 |
-7.72 |
|
|
1 |
-10.329 |
-21.782 |
-6.982 |
-10.327 |
|
|
Относительная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
-0,156 |
-0,024 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-0,399 |
-0,051 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-0,617 |
-0,084 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-0,551 |
-0,123 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-0,225 |
-0,17 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
0,0907 |
-0,223 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
0,3004 |
-0,281 |
-2E-04 |
|
|
0,8 |
- |
0,4243 |
-0,344 |
-2E-04 |
|
|
0,9 |
- |
0,493 |
-0,41 |
-3E-04 |
|
|
1 |
- |
0,5258 |
-0,479 |
-2E-04 |
|
|
Абсолютная погрешность |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
0,262 |
0,046 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
0,567 |
0,097 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
0,816 |
0,166 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
0,86 |
0,266 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
0,527 |
0,417 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
-0,353 |
0,644 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
-1,93 |
0,986 |
0,001 |
|
|
0,8 |
- |
-4,306 |
1,495 |
0,001 |
|
|
0,9 |
- |
-7,509 |
2,246 |
0,002 |
|
|
1 |
- |
-11,45 |
3,347 |
0,002 |
|
|
Относительная погрешность в процентах (%) |
|||||
|
0 |
- |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,1 |
- |
-15,56 |
-2,421 |
0 |
|
|
0,2 |
- |
-39,93 |
-5,132 |
0 |
|
|
0,3 |
- |
-61,72 |
-8,418 |
0 |
|
|
0,4 |
- |
-55,09 |
-12,34 |
0 |
|
|
0,5 |
- |
-22,49 |
-17 |
0 |
|
|
0,6 |
- |
9,0746 |
-22,26 |
0 |
|
|
0,7 |
- |
30,044 |
-28,11 |
-0,022 |
|
|
0,8 |
- |
42,432 |
-34,39 |
-0,017 |
|
|
0,9 |
- |
49,301 |
-41,02 |
-0,026 |
|
|
1 |
- |
52,58 |
-47,94 |
-0,019 |
Заключение
Рассмотрев такие типы решений дифференциальных уравнений, как классический метод, операционный метод, приближенное решение с помощью степенных рядов, приближенное решение методом Эйлера, приближенное решение методом Рунге-Кутта было выявленно то, что самым точным из приближенных решений является решение методом Рунге-Кутта, а обладающим большей погрешностью - решение методом Эйлера.
Порядок точности степенных рядов может варьировать благодаря изменению количества членов в ряде Маклорена. Точность метода Эйлера можно улучшить путем уменьшения шага и увеличения числа узлов сетки.
В данном случае метод решения степенными рядами и методом Эйлера не дают достаточную точность, так как это связано с малым числом членов разложения и выбора относительно большого шага интегрирования.
Вывод имеет место быть только в данном решении.
Список литературы
1. Казанцева, Н.В. «Численное решение задач высшей математики с использованием пакетов MathCad и MATLAB», 2009
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010
