Свойства и график степенной функции

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Понятие степенной функции прошло длительный исторический путь своего формирования. Таблицы некоторых натуральных степеней имелись еще в Древнем Китае, Вавилоне, однако вплоть до эпохи Возрождения не существовало общепринятых обозначений. Впервые современную символику для степеней с целым показателем стал использовать Д. Валлис (1616-1703), а общепринятой она стала после работ Ньютона и Лейбница. Также в XVII веке, вместе с открытием переменной величины Декартом и Ферма, появляется понятие функции в более-менее современном ее понимании, в том числе степенной. В частности, Ферма первым сформулировал правило дифференцирования степенной функции. В следующем веке понятие степенной функции, как и других элементарных функций, было обобщено на случай комплексных чисел Леонардом Эйлером.

Функция вида , где число, принадлежащее множеству действительных чисел, называется степенной функцией. Число может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых. Рассмотрим в следующем порядке: степенная функция (прямая), степенная функция (функция с четным показателем степени - парабола), степенная функция (функция с нечетным показателем степени - кубическая парабола) и функция (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола), функция с рациональным (дробным) показателем.

Актуальность: в настоящее время степенные функции, наряду с остальными элементарными функциями, играют огромную роль в математике и, следовательно, в преподавании математики. В школьном курсе степенные функции являются элементом многих задач, включая уравнения и неравенства, поэтому хорошее знание их свойств необходимо для успешного усвоения программы. Кроме того, степенная функция представляет собой сравнительно простой и в то же время нетривиальный пример функции, на примере которой становится возможным рассмотрение общих свойств функций. В высшей математике степенные функции также широко используются как техническое средство рассмотрения более сложных вопросов математического и функционального анализа, математической физики, дифференциальных уравнений, а также часто встречаются в приложениях. степенной функция график монотонность ограниченность

Объект исследования: степенная функция.

Предмет исследования: свойства и графики степенной функции.

Цель исследования: обобщить и кратко описать свойства и графики степенных функций.

Задачи исследования:

- изучить теоретические основы изучаемой темы;

- научится строить графики степенных функций;

- рассмотреть и изучить свойства степенных функций;

- уметь применять свойства при решении практических задач.



Параграф 1. Свойства и график степенной функции

Функция

Рассмотрим степенную функцию где т.е. функцию Графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат (рис.1).

Составим таблицу значений для функции (таблица 1):

Таблица 1.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…

Рис.1

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность: функция нечетная;

4. Монотонность: монотонно возрастает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: не выпукла;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Функция

Рассмотрим степенную функцию где Рассмотрим на примере квадратичной функции Графиком данной функции является парабола (рис.2).

Составим таблицу значений для функции (таблица 2):

Таблица 2.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	9	4	1	0	1	4	9	…

Рис.2

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность: функция нечетная

4. Монотонность: на монотонно убывает, на монотонно возрастает;

5. Экстремумы: нет

6. Выпуклость: выпукла вниз;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция ограничена снизу

9. Функция непрерывна.

Такими же свойствами обладают функции с натуральным четным показателем Такой показатель также можно записать в виде где натуральное. График функции такой же как у функции парабола, только ветви графика при тем круче идут вверх, чем больше А при тем ближе к оси , чем больше

Функция

Рассмотрим степенную функцию где рассмотрим на примере кубической функции Графиком данной функции является кубическая парабола (рис.3).

Составим таблицу значений для функции (таблица 3):

Таблица 3.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	-27	-8	-1	0	1	8	27	…



Рис.3

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция нечетная

4. Монотонность: монотонно возрастает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: при выпукла вверх, при выпукла вниз;

7. Точки перегибов: ;

8. Функция не ограничена

9. Функция непрерывна.

Такими же свойствами обладают функции с натуральным нечетным показателем Такой показатель также можно записать в виде где целое неотрицательное. График функции напоминает кубическую параболу.

Функция

1) Рассмотрим степенную функцию где рассмотрим на примере функции Графиком данной функции является, лежащая на боку, ветвь параболы (рис.4).

Составим таблицу значений для функции (таблица 4):

Таблица 4.

	0	1	4	9	…
	0	1	2	3	…

Рис.4

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция нечетная

4. Монотонность: монотонно возрастает;

5. Экстремумы: ;

6. Выпуклость: выпукла вверх;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция ограничена снизу;

9. Функция непрерывна.

2) Рассмотрим степенную функцию где рассмотрим на примере функции Графиком данной функции является, лежащая на боку, кубическая парабола (рис.5).

Составим таблицу значений для функции (таблица 5):

Таблица 5.

	…	-27	-8	-1	0	1	8	27	…
	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…

Рис.5

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция нечетная

4. Монотонность: монотонно возрастает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: при выпукла вниз, при выпукла вверх;

7. Точки перегибов: ;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Функция

1) Рассмотрим степенную функцию где рассмотрим на примере функции Графиком данной функции является гипербола (рис.6).

Составим таблицу значений для функции (таблица 6):

Таблица 6.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	-1/3	-1/2	-1	0	1	1/2	1/3	…



Рис.6

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция нечетная

4. Монотонность: монотонно убывает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: при выпукла вверх, при выпукла вниз;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Аналогичны свойства для функций вида с нечетным отрицательным показателем

2) Рассмотрим степенную функцию где рассмотрим на примере функции (рис.7).

Составим таблицу значений для функции (таблица 7):



Таблица 7.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	-1/9	-1/4	-1	0	1	1/4	1/9	…

Рис.7

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция четная

4. Монотонность: при монотонно возрастает, при монотонно убывает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: выпукла вниз;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Аналогичны свойства для функций вида с четным отрицательным показателем

Функция

1) Рассмотрим степенную функцию где . Рассмотрим на примере функции (рис.8).

Составим таблицу значений для функции (таблица 8):

Таблица 8.

	0	1	2	3	…
	0	1	5,657	15,588	…

Рис. 8

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция ни четная ни нечетная;

4. Монотонность: монотонно возрастает;

5. Экстремумы: ;

6. Выпуклость: выпукла вниз;

7. Точки перегибов: нет;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна;

Аналогичны свойства для функций вида , где

2) Рассмотрим степенную функцию где . Рассмотрим на примере функции (рис.4).

Составим таблицу значений для функции (таблица 9):

Таблица 9.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	2,080	1,587	1	0	1	1,587	2,080	…

Рис.9

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция четная;

4. Монотонность: при монотонно убывает, при монотонно возрастает;

5. Экстремумы: ;

6. Выпуклость: выпукла вверх;

7. Точки перегибов: нет ;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Аналогичны свойства для функций вида , где

3) Рассмотрим степенную функцию где . Рассмотрим на примере функции (рис.4).

Составим таблицу значений для функции (таблица 10):

Таблица 10.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	1,551	1,319	1	0	1	1,319	1,551	…



Рис.10

Опишем свойства функции :

1. Область определения:

2. Множество значений: ;

3. Четность: функция нечетная;

4. Монотонность: при монотонно возрастает, при монотонно убывает;

5. Экстремумы: нет;

6. Выпуклость: выпукла вниз;

7. Точки перегибов: нет ;

8. Функция не ограничена;

9. Функция непрерывна.

Аналогичны свойства для функций вида , где



Параграф 2. Практические задания

Задача 1

(№ 38.1). Постройте график функции

Решение

Для построения графика функции составим таблицу значений (таблица11).

Таблица 11.

	…	-2	-1	0	1	2	…
	…	1024	1	0	1	1024	…

Рис.11

Задача 2

(№ 38.2). Построить график функции



Решение

Для построения графика функции составим таблицу значений (таблица12).

Таблица 12.

	0	1	2	3	…
	0	1			…

Рис.12

Задача 3

(№ 38.3). Известно, что Вычислите

Решение

Ответ: 32.



Задача 4

(№ 38.4). Известно, что Вычислите

Решение

Ответ: 4.

Задача 5

(№ 38.5). Исследуйте степенную функцию на четность

Решение

функция четная.

Ответ: четная.

Задача 6

(№ 38.6). Исследуйте степенную функцию на ограниченность

Решение



Рис.13

Задача 7

(№ 38.7). Исследуйте степенную функцию на монотонность

Решение

Функция монотонно убывает на и монотонно возрастает на (рис.14).

Рис.14

Задача 8

(№38.8) Найти наименьшее и наибольшее значение функции , на отрезке .

Решение

На отрезке ,

Рис.15

Задача 9

(№ 38.9). Найти наименьшее и наибольшее значение функции , на луче .

Решение

На луче , , не существует.



Рис.16

Задача 10

(№38.10). Найти наименьшее и наибольшее значение функции , на отрезке .

Решение

На отрезке ,



Ответ:



Заключение

Выполнив данную работу, мы научились строить графики степенных функций, задавая таблицы, рассмотрели и изучили свойства степенных функций, а так же научились применять полученные знания для решения практических задач.

Таким образом, по результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы: функция вида , где число, принадлежащее множеству действительных чисел, называется степенной функцией. Число может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Например, степенная функция (прямая), степенная функция (функция с четным показателем степени - парабола), степенная функция (функция с нечетным показателем степени - кубическая парабола) и функция (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола), функция с рациональным (дробным) показателем.

В заключении можно отметить, что исследуемая мной тема широко применяется во многих областях. Например, в школьном курсе степенные функции являются элементом многих задач, включая уравнения и неравенства, поэтому хорошее знание их свойств необходимо для успешного усвоения программы. Кроме того, степенная функция представляет собой сравнительно простой и в то же время нетривиальный пример функции, на примере которой становится возможным рассмотрение общих свойств функций. В высшей математике степенные функции также широко используются как техническое средство рассмотрения более сложных вопросов математического и функционального анализа, математической физики, дифференциальных уравнений, а также часто встречаются в приложениях



Литература

1. Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 2008-104с.

2. Мордкович А.Г. , Учебник Алгебра 7-9 класс. - М.: Мнемозина, 2014-221с.

3. Мордкович А.Г., Семенов П.В., Учебник Алгебра 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014 - 222с.

4. Мордкович А.Г. Задачник Алгебра 10 класс.- М.: Мнемозина, 2014-240с.

5. Муравин Г.К., Муравина О.В. Учебник Алгебра 10 класс. - издательство Дрофа, 2013 - 290с.

Размещено на Allbest.ru

...