Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Пачев Урусби Мухамедович

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЭРГОДИЧЕСКОГО МЕТОДА К АРИФМЕТИКЕ БИНАРНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕРНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

МОСКВА - 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, БЫКОВСКИЙ ВИКТОР АЛЕКСЕЕВИЧ

доктор физико-математических наук, профессор ГОЛУБЕВА ЕЛЕНА ПЕТРОВНА;

доктор физико-математических наук, профессор ГРИЦЕНКО СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится ____ ________________ 2009 г. в _____ч.

на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу:

107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан ____ ______________ 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета Муравьева О.В.



ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Арифметика квадратичных форм является одним из активно разрабатываемых разделов современной теории чисел. В настоящее время наибольший интерес представляет случай целочисленных тернарных квадратичных форм, поскольку к ним не применимы те аналитические методы, которыми удалось полностью исследовать случай квадратичных форм от четырех и более переменных. Важнейшие результаты в рассматриваемой тематике получили акад. Ю.В. Линник и его школа. Ю.В. Линник для изучения вопроса о представлении целых чисел тернарными квадратичными формами разработал своеобразный аналитико-алгебраический метод, использующий некоммутативную арифметику, и названный впоследствии дискретным эргодическим методом (ДЭМ). Проблема представления чисел тернарными квадратичными формами, поставленная Ю.В. Линником, и имеющая связь и с другими важными проблемами математики, еще далека от своего завершения, хотя в последнее время в этом направлении получен ряд новых результатов, относящихся к случаю изотропных неопределенных тернарных квадратичных форм.

Цель работы: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой; 2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм.

Общая методика выполнения исследований

В работе применяется матричный вариант ДЭМ.

Научная новизна

В работе имеются следующие новые научные результаты:

Получены эргодическая теорема и теорема перемешивания для потоков целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.

Получены асимптотические формулы для числа целых точек на изотропных гиперболоидах как по областям на них, так и по классам вычетов по заданному модулю, обобщающие ранее известные результаты в полном объеме.

С помощью ДЭМ получены новые асимптотические формулы для числа классов бинарных квадратичных форм заданного определителя с условием делимости первых коэффициентов на заданное число.

Получены новые асимптотические формулы для гауссовых родов бинарных квадратичных форм с условием делимости их арифметических минимумов.

Практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных форм, теории квадратичных полей и теории диофантовых уравнений и в ряде других областей математики.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), Всесоюзной школе по конструктивным методам и алгоритмам теории чисел (Минск, 1989), на Международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994), на I-V международных конференциях по теории чисел (Тула, 1993, 1996, 2001, 2003), на VI международной конференции по теории чисел (Саратов, 2004), на семинарах по теории чисел МГУ.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает, включая библиографию, 189 страниц. Библиография содержит 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основными результатами диссертации являются доказательства эргодической теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых примитивных точек в заданных областях на изотропных гиперболоидах общего вида и в классах вычетов по заданному модулю (теоремы 3.3 и 3.4, дающие полное обобщение исследований Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко) относящихся к случаю простейшей формы; доказательство асимптотической равномерной распределенности целых точек как по областям на поверхности изотропного гиперболоида, так и по классам вычетов по заданному модулю (теоремы 3.5 и 3.6), дающие полное решение вопроса о представлении целых изотропными тернарными квадратичными формами общего вида), доказательство эргодических теорем и асимптотической равномерной распределенности классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам (теорема 4.2), доказательство асимптотической формулы для числа классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (теорема 4.4), доказательство асимптотической формулы для числа классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов (теорема 4.5), доказательство асимптотических формул для числа классов бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (теоремы 4.11-4.13, обобщающие и уточняющие соответствующие результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко).

Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации.

Первая глава носит предварительный характер и в основном посвящена арифметике матриц второго порядка - аппарату, существенно используемому при приложении ДЭМ к задаче представления целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами.

В §1 этой главы приводятся стандартные сведения из теории бинарных квадратичных форм и алгебры матриц второго порядка и взаимосвязь понятий вектор-матрицы второго порядка и бинарной квадратичной формы, существенно используемая в ДЭМ.

В §2 излагается элементарная теория делимости матриц второго порядка, используемая в остальных главах при применениях ДЭМ.

Из теории делимости матриц наиболее существенным для ДЭМ являются предложение 1.10 о делении с остатком и предложение 1.12, представляющее собой матричный аналог основной теоремы арифметики для целых чисел.

В §3 даются основы теории поворотов вектор-матриц также существенно используемой в гл. III при приложении ДЭМ к простейшей форме

(1)

и к изотропной форме общего вида, определяемой соотношением

(2)

где - некоторое целое число ; - целые числа; .

Теория поворотов вектор-матриц позволяет строить потоки вектор-матриц второго порядка, а значит и потоки целых точек на гиперболических поверхностях.

Частично теория поворотов вектор-матриц была развита Ю.В. Линником в цитированной выше работе и в полном виде в совместной работе [7] А.В. Малышева и автора. В теории поворотов вектор-матриц рассматриваются равенства вида

(3)

бинарный матрица вектор дискретный

где - целые вектор-матрицы одинаковой нормы ; - целая невырожденная матрица, осуществляющая поворот в .

Последовательное выполнение преобразования вида (3) позволяет строить поток вектор-матриц второго порядка нормы m и соответствующих им точек гиперболоида , лежащих в области приведения, причем этот поток состоит из r(m) цепочек вектор-матриц длины s порядка log |m|, где r(m) - число целых точек в области приведения. Цепочки (траектории) потока целых примитивных точек гиперболоида можно разделить на две категории: «хорошие» цепочки (траектории), обладающие свойством эргодичности, приводящие к асимптотическому равномерному распределению целых точек на гиперболоиде и «плохие» цепочки, которых мало и оценивается o(r(m)) (эта взаимосвязь подробно изложена в §1, главы II на модельном примере в случае целых точек на сфере).

Наконец, в §4 гл. I приводится, полученное с помощью асимптотической формулы Е.В. Подсыпанина предложение о делимости матриц большой нормы, используемое в гл. III и IV.

Глава II диссертации относится уже к ДЭМ и состоит из четырех параграфов.

В §1 рассматривается идея ДЭМ на модельном примере, относящемся к случаю примитивных представлений целых чисел суммой трех квадратов.

В гл. II (§§2, 3) изложены различные варианты ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц второго порядка, используемые при получении основных результатов гл. III и IV. Ключевая лемма, являющаяся центральной частью ДЭМ, ведет свое начало с замечательной работы Ю.В. Линника [9], где были заложены основы этого метода (и где, по-существу, доказан ослабленный вариант этой леммы для кватернионов).

Первоначальный вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ, восходящий к идее Ю.В. Линника [9], использован в монографии [12] к кватернионам (случай сферы) и к матрицам второго порядка (случай двуполостного и однополостного гиперболоидов), причем в последнем случае возникли затруднения, которые были преодолены Б.Ф. Скубенко своей теоремой о циклах неопределенных вектор-матриц второго порядка.

Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б.М. Бредихиным и Ю.В. Линником для изучения асимптотической геометрии решений уравнений Харди-Литтлвуда p+x2+y2=m, где p пробегает последовательность простых чисел.

В развитие ДЭМ дальнейший вклад внес также немецкий математик М. Петерс получивший оценки для числа представлений чисел положительными тернарными квадратичными формами общего вида.

Более завершенные исследования по применению ДЭМ к вполне положительным тернарным квадратичным формам в случае алгебраического поля проведены Ю.Г. Тетериным.

После появления работы А.И. Виноградова и Ю.В. Линника появилась возможность дать другой вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ. А именно А.В. Малышевым предложено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для кватернионов, не использующее теории поворотов Б.А. Венкова. Новый вариант ключевой леммы для кватернионов был использован в совместной работе автора и А.В. Малышева [8].

В дальнейшем автором [6] (см. гл. II, §2, предложение 2.1) доказана ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц второго порядка положительной нормы, используемая нами в гл. IV.

В §2 гл. II рассматривается также вариант ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц положительной нормы, который наиболее удобен при оценке остаточных членов в эргодических теоремах, а также в теоремах равномерного распределения для целых точек на двуполостных гиперболоидах (см. [16]).

Пусть , , -положительные функции аргумента с условием

при , , - вещественные постоянные. Следующее утверждение будем называть ключевой леммой ДЭМ типа .

Утверждение. . Пусть в кольце целых матриц второго порядка выполнены матричные равенства

, (4)

где - целые вектор-матрицы нормы , и пусть выполнены условия

, (5)

НОД, (6)

, (7)

где - число целых приведенных примитивных вектор-матриц нормы , - число неассоциированных справа матриц нормы .

Обозначим через w число неассоциированных справа матриц в равенствах (4). Тогда

, (8)

где постоянные, входящие в оценку (8), зависят только от и постоянных, входящих в оценки (5)-(7).

Для оценки остаточных членов в получающихся асимптотических формулах необходимо привлекать некоторые гипотезы о поведении L-функции Дирихле, существенно более слабые, чем расширенная гипотеза Римана. Отметим, что исследования Ю.В. Линника, Б.Ф. Скубенко и Е.П. Голубевой по проблеме распределения целых точек на гиперболических поверхностях проведены при сходных предположениях. В связи с этим отметим также, что

В.А. Быковский) с помощью спектральной теории автоморфных функций получил безусловное степенное уточнение остаточного члена в асимптотической формуле для числа целых точек на двуполостном гиперболоиде 4xy-z2=D, когда D делится на достаточно большой квадрат натурального числа.

Пусть - вещественный характер Дирихле, имеющий наименьший модуль среди характеров, для которых

,

если НОД, (здесь - символ Кронекера),

есть L-функция Дирихле, определяемая рядом

, .

Обозначим



,

где

,

.

Следующие две гипотезы для L-функции Дирихле используются в гл. IV в доказательствах асимптотических формул с остаточными членами.

Гипотеза (K). При

.

Гипотеза (Y). В области

комплексной переменной при достаточно больших m нет нулей .

На следующей ключевой лемме типа (см. [16]) основаны доказательства основных результатов гл. IV §2; 5.

Теорема 2.1. (ключевая лемма типа ). Для любых и при и любых , имеет место ключевая лемма типа , где

при этом - некоторая постоянная.

Отметим, что доказательство ключевой леммы для случая даже простейшего однополостного гиперболоида, довольно сложно (см. исследования Б.Ф. Скубенко о циклах приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм), что значительно затрудняло применение ДЭМ к произвольным изотропным тернарным квадратичным формам. Ввиду этого и в связи с полным решением в гл. III с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой мы будем использовать новый вариант ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка, полученный А.В. Малышевым и Б.М. Широковым и охватывающий оба случая гиперболоидов.

Основной результат главы II представляет собой полученное в [11] уточнение ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка.

В кольце целых матриц второго порядка рассматриваем матричные равенства

, (9)

,

- все приведенные собственно примитивные вектор-матрицы нормы ; - нечетное число; - целая примитивная матрица, а  - целая матрица.

Тогда имеет место:

Теорема 2.3. (об уточнении ключевой леммы). Пусть среди матричных равенств (9) произвольно выбраны равенств

, (10)

где - целое число с условием

,

причем , где - нечетное число; - целое число, для которого

,

здесь .

Пусть w - число неассоциированных справа матриц , которые встретятся в равенствах (10). Тогда, если

,

где - некоторая постоянная, то при

, (11)

где ; постоянные, входящие в (11), зависят только от и .

Основные результаты диссертации содержатся в гл. III и IV.

Глава III диссертации, состоящая из краткого введения и четырех параграфов и написанная на базе статей [1, 9], посвящена полному решению с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой (см. ниже теоремы 3.5 и 3.6).

Первый основной результат диссертации представляет собой эргодическая теорема 3.3 для потоков целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде, на которой базируется полное решение вопроса о представлении целых чисел изотропными неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Теорема 3.3 даёт полное обобщение результатов Ю.В. Линника (гл. 5 и 6), Б.Ф. Скубенко, А.В. Малышева и самого автора [9]. Сформулируем эту теорему, чтобы сопоставить её с результатами перечисленных авторов.

Теорема 3.3 (эргодическая теорема для потоков целых точек на изотропном гиперболоиде)

Пусть - род примитивной изотропной тернарной квадратичной формы =, имеющей вид

,

где , , - целое число, причем принадлежит набору представителей рода ; .

Пусть - простое число, , , - целые числа, удовлетворяющие условиям

Н.О.Д.,



,

.

Пусть - ограниченная квадрируемая область на поверхности гиперболоида

, (12)

с -гиперболической площадью . Рассмотрим часть потока примитивных точек поверхности (3.18), состоящую из цепочек длины .

Тогда, если при , где - число примитивных приведенных бинарных квадратичных форм определителя , то цепочки

, (13)

() можно разбить на две категории:

а) «хорошие» эргодические цепочки, для которых

=#, (14)



где - число решений сравнения ; - полный -гиперболический телесный угол на поверхности гиперболоида (12) б) «плохие» цепочки в количестве , для которых не выполняется (14); постоянные, входящие в (14), зависят только от и

Эргодическая теорема 3.3 для целых точек на изотропном гиперболоиде в частных случаях при и и дает соответствующие результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко, а при и когда форма имеет сигнатуру [1, 2] (случай двуполостного гиперболоида) из нее получается результат А.В. Малышева.

На важность рассмотрения эргодических теорем в аналитической теории чисел указывал еще Ю.В. Линник, поскольку помимо их самостоятельного интереса из них как частный случай следуют теоремы об асимптотически равномерном распределении целых точек в смысле соответствующей меры на алгебраических многообразиях, а в применениях к алгебраическим числовым полям такие теоремы дают представление об эргодическом поведении идеалов последовательности алгебраических полей данной степени.

Теорема 3.3 обобщает также результат автора [11], опубликованный в кн. «Актуальные проблемы теории чисел», МГУ, 2002 на случай изотропных тернарных форм произвольного рода, используя при этом построение потока точек не на отдельном гиперболоиде, а на роде изотропных гиперболоидов.

Из эргодической теоремы 3.3 следует так называемая теорема перемешивания для целых точек, занимающая промежуточное положение между эргодической теоремой и теоремой об асимптотической равномерной распределенности целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.

Более того, теорема перемешивания дает усиление теоремы об асимптотическом равномерном распределении целых точек как по областям на поверхности изотропного гиперболоида, так и по классам вычетов по заданному модулю.

В подтверждение сказанного приведем формулировку этого второго основного результата диссертации.

Теорема 3.4. (теорема о перемешивании)

В обозначениях и условиях теоремы 3.3 индексы в цепочках (3.19) можно разбить на две категории:

а) “хорошо перемешивающие” индексы , для которых

#~, (15)

б) “плохие” индексы в количестве , для которых не выполняется (15).

Смысл теоремы 3.4 состоит в том, что число целых точек на изотропном гиперболоиде, содержащихся в j-ом «сечении» цепочек (13) пропорционально числу цепочек в этом потоке, если (коэффициент пропорциональности указывается в (15)).

Теорема 3.4 о перемешивании является более общей теоремой распределения целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде, т.к. из нее уже непосредственно выводится теорема об асимптотически равномерном распределении целых точек на таком гиперболоиде как по областям на его поверхности, так и по классам вычетов по заданному модулю. Действительно, фиксируя в теореме 3.4 «хорошо перемешивающий» индекс , и применяя ее к потоку (13) и к множеству примитивных точек изотропного гиперболоида, отображающихся в область приведения на простейшем гиперболоиде и обозначая , то с учетом инвариантности множества относительно операции Т, производящей повороты целых примитивных точек в цепочках потока (13), получаем следующие основные результаты (теоремы 3.5 и 3.6) об асимптотически равномерном распределении целых точек на изотропном гиперболоиде из статьи [1].

Теорема 3.5. (о равномерном распределении целых точек на изотропном гиперболоиде).

В условиях теорем 3.3 и 3.4 пусть - число всех целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде , удовлетворяющих условиям

.

Тогда при

~ , (16)

где - -гиперболическая мера (площадь) области ; - полный -гиперболический телесный угол; - число решений сравнения ; ; постоянные, входящие в асимптотическую формулу (16), зависят только от и



Теорема 3.5 обобщает результаты Ю.В. Линника (случай , , , ), Б.Ф. Скубенко (случай , , , ), А.В. Малышева (случай , двуполостный гиперболоид, - любое нечетное число, взаимно простое с ) и его учеников Нгуен Нгор Гой и Карпова А.Н. (случай , т.е. только двуполостного гиперболоида).

Успех в получении полного решения вопроса о представлении целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами общего вида связан в первую очередь с использованием соотношения, характеризующего любую изотропную форму, а также с нашим построением потока примитивных точек на наборе гиперболоидов рода изотропной тернарной квадратичной формы и наконец, с использованием ключевой леммы дискретного эргодического метода (ДЭМ) для вектор-матриц второго порядка любой нормы , охватывающей оба случая простейших гиперболоидов.

Другой вариант теоремы 3.5, имеющий более развернутый вид, получен нами также независимо от рассуждений, использованных в доказательстве теоремы 3.5 (см. [1]).

Теорема 3.6. В условиях теорем 3.3 и 3.4 пусть - число всех целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде , удовлетворяющих условиям

. (17)

Тогда при 

~ , (18)

где равно числу решений сравнения

,

для которых точки различны , - число приведенных примитивных бинарных квадратичных форм определителя ; постоянные, входящие в (18), зависят только от и

.

Эти две основные теоремы 3.5 и 3.6, результаты которых содержатся в статье [1], дают полное решение вопроса об асимптотике числа примитивных представлений целых чисел произвольной целой изотропной формой как по областям на соответствующей гиперболической поверхности так и по классам вычетов по заданному модулю (исследованного другими специалистами не в самом полном виде).

Из зарубежных специалистов по квадратичным формам исследования по представлению чисел неопределёнными тернарными квадратичными формами проводил американский математик W. Duke который, опираясь на результаты H.Iwaniec получил степенное понижение остаточного члена в асимптотической формуле для распределения целых точек только на простейшем двуполостном гиперболоиде , . Но как показано в работе Е.П. Голубевой из результатов W. Duke невозможно вывести такой же закон распределения целых точек даже на простейшем однополостном гиперболоиде. При этом отметим также, что в работе W. Duke не рассматривалось распределение целых точек простейшего гиперболоида по арифметическим прогрессиям.

Всё это свидетельствует в пользу того, что ДЭМ ещё не исчерпал своих возможностей.

Перейдём теперь к описанию основных результатов главы IV диссертации, в которой содержатся новые применения ДЭМ к аналитической арифметике бинарных квадратичных форм. Что касается основных результатов главы IV, то такие асимптотические результаты не были получены или нашими, или зарубежными специалистами.

Первый основной результат этой главы представляет собой теорема перемешивания для гауссовых родов положительных бинарных квадратичных форм заданного определителя m. Чтобы ее получить строим поток классов гауссового рода через поток соответствующих им вектор-матриц нормы m >0:

, (19)

где , - число классов положительных бинарных квадратичных форм определителя ; - число гауссовых родов.

Сделаем нужные обозначения, прежде чем сформулировать основной результат второго параграфа главы IV.

Обозначим через множество всех приведенных собственно примитивных вектор-матриц второго порядка нормы , образы которых лежат в гауссовом роде бинарных квадратичных форм определителя . Тогда под потоком , отвечающим числам и множеству , понимаем совокупность последовательностей (цепочек) (19) длины целых приведенных вектор-матриц второго порядка нормы , которые строятся тем же способом, что и в главе III, но с той лишь разницей, что используемое вспомогательное число считается квадратом нечетного числа. Введем в рассмотрение функцию

,

где - некоторая функция, зависящая от - функции Дирихле , определяемой рядом

, .

(точный вид функции дается равенством (2.22) гл. II).

Сначала доказывается эргодическая теорема 4.1 для классов гауссового рода, из которой выводится следующий основной результат §2, гл. IV (см. [5]).

Теорема 4.2 (о перемешивании для гауссовых родов). Пусть - неубывающая функция такая, что и - множество приведенных собственно примитивных вектор-матриц нормы m (соответствующих приведенным формам гауссового рода) с числом элементов



. (20)

где - заданное число.

Тогда индексы в цепочках потока (19) можно разбить на две категории:

а) «хорошо перемешивающие» индексы , для которых

#

, (21)

б) «плохие» индексы j, общее число которых

, (22)

для которых не выполняется (21); постоянные, входящие в (21 и 22), зависят от q и e.

Как частный случай из теоремы 4.2 о перемешивании получается асимптотическая формула с остаточным членом для числа классов гауссового рода G бинарных квадратичных форм определителя m, представители которых удовлетворяют условиям



, .

Полученная формула для обобщает часто цитируемый зарубежными специалистами результат Ю.В. Линника для случая g=1.

Следующим основным результатом главы IV является теорема 4.4, описывающая асимптотическое поведение числа классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (см. [3]).

Теорема 4.4. Пусть и - целые числа, причем НОД и

, (23)

для всех простых делителей числа q.

Обозначим через число классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм гауссового рода G определителя m, арифметический минимум которых делится на .

Тогда при

~ , (24)

где - число различных простых делителей числа q; постоянные, входящие в асимптотическую формулу (24), зависят только от q.

Частный случай нашего результата при , где - простое число, был ранее получен Ю.В. Линником. Результат теоремы 4.4 относится к малоизученному интересному на наш взгляд вопросу о величине , когда арифметический минимум классов гауссового рода G делятся на произвольное заданное нечетное число q.

Предполагаем, что в общем случае будет иметь место асимптотика

~

при любом нечетном .

Вполне возможно, что теорему 4.4 не удастся доказать другими аналитическими методами, используемыми в арифметике квадратичных форм.

Следующий основной результат диссертации, опубликованный в [4], значительно расширяет возможности приложения ДЭМ к арифметике бинарных квадратичных форм. Он касается асимптотического поведения числа бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов на заданное нечётное число (см. [4]).

Теорема 4.7. Пусть - целое число, - взаимно простые нечетные числа, НОД, - целые числа, удовлетворяющие условиям , НОД,

для всех .

Пусть - ограниченная квадрируемая область на поверхности двуполостного гиперболоида , с -гиперболическим телесным углом. Обозначим через число классов собственно примитивных положительных бинарных квадратичных форм определителя , представители которых удовлетворяют условиям

, , .

Тогда при

~ , (25)

где - число делителей числа ;

постоянные, входящие в асимптотическую формулу (25), зависят только от , и центральной проекции

области на нормированный гиперболоид.

Результат теоремы 4.7 дает решение в частном случае n=2 поставленного Ю.В. Линником общего вопроса о существовании решений одной системы диофантовых уравнений специального вида, удовлетворяющих предписанным сравнениям по модулю q.

Наконец, в § 5 главы IV подводится итог изучению асимптотического поведения числа приведённых целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (основные результаты опубликованы в [2]).

Впервые исследования по асимптотическому подсчёту числа классов положительных бинарных квадратичных форм с указанным условием были проведены Ю.В. Линником в связи с приложениями ДЭМ к вопросу о представлении целых чисел неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Основными результатами главы IV являются теоремы 4.11 - 4.13, которые обобщают и уточняют результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко.

Теорема 4.11. Пусть - целое число, , - целое число, причем НОД, для всех .

Обозначим через число целочисленных приведенных бинарных квадратичных форм определителя m, первые коэффициенты которых делятся на заданное нечетное число q.

Тогда при

(26)

где - число различных простых делителей числа ; постоянная входящая в символ O, зависит только от .

Частным случаем теоремы 4.11 являются результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко при , где - нечетное простое число.

Следующие два основных результата для величины с остаточными членами основаны на гипотезах о поведении -функции Дирихле.

Теорема 4.12. В условиях теоремы 4.11 пусть выполнена гипотеза (K), т.е. . Тогда при

, (27)

постоянные, входящие в (27), зависят только от .

Теорема 4.13. Пусть в условиях теоремы 4.11 выполнена гипотеза (Y ), т.е. в области комплексной переменной нет нулей . Тогда при

, (28)

постоянные, входящие в (28), зависят только от .

Используемые в этих теоремах гипотезы, представляют собой ослабления расширенной гипотезы Римана для L-функции Дирихле.

Заметим также, что безусловные оценки остаточных членов для , если не считать оценки (26), до сих пор не установлены, хотя в работе W. Duke получена безусловная оценка остаточного члена со степенным понижением в асимптотической формуле для числа целых точек на простейшем двуполостном гиперболоиде.

Но до сих пор результат Дьюка не распространён на .



ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами [Текст] // Известия РАН, Серия Математическая. -2006. -Т. 70. -№3. -С. 167-184.- 1,12 п. л.

2. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Сибирский математический журнал. -2007. -Т. 48. -№2. -С. 376-388.- 0,81 п. л.

3. Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа [Текст] // Математические заметки. -1994.-Т. 55. -№2. -С. 118-127.- 0,62 п. л.

4. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости коэффициентов [Текст] //Фундаментальная и прикладная математика. -2005. -Т. 11. -№6. -С. 123-130.- 0,5 п. л.

5. Пачев У. М. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах [Текст] // Записки научных семинаров. ПОМИ РАН. - 1997. -Т. 236. -С. 149-161. - 1,2 п. л.

6. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Текст] // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1980. -Т. 83. - С 87-141.- 4,3 п. л.

7. Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1980. -Т. 83. -С. 41-86. - 3,6 п. л. (авт. вклад 70%).

8. Пачев У. М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эргодического метода) [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1979. -Т. 82. - С. 33-87.- 3,4 п. л. (авт. вклад 50%).

9. Пачев У. М. Эргодические теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых точек на некоторых изотропных гиперболоидах [Текст] // Актуальные проблемы теории чисел. -2002. -ч.III. -МГУ. - С. 133-151 - 1,2 п. л.

10. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Чебышевский сборник. -2003. -Т. 4. -№3(7). - С. 92-105. - 0,8 п. л.

11. Пачев У. М. Об уточнении ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка [Текст] // Чебышевский сборник. -2004. -Т. 5. -№2(10). -С. 89-97.- 0,5 п. л.

12. Пачев У. М. Асимптотическое распределение гауссовых родов [Текст] // Автоморфные функции и теория чисел. Межвузовский сборник. -1987. -С. 32-40. - 0,5 п. л.

13. Пачев У. М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Алгебра и теория чисел. -1979. -№4. -С. 53-67. - 0,95 п. л. (авт. вклад 70%).

14. Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Аналитическая теория чисел, Межвузовский сборник. -1986. -С. 32-40.- 0,32 п. л. (авт. вклад 80%).

15. Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для потоков в гауссовых родах [Рукопис.] // Деп. ВИНИТИ. -1992. -№ 3246. -С. 29. - 1,8 п.л.

16. Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Рукопис.] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Деп. ВИНИТИ. -1984. -№6127. - С. 43.- 2,7 п. л. (авт. вклад 80%).

17. Пачев У. М. Эргодическая теорема для целых точек на двуполостных гиперболоидах [Текст] // Структурные свойства алгебраических систем. -1981. - С. 84-90. - 0,4 п. л.

18. Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на двуполостных гиперболоидах рода [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Тезисы докладов всесоюзной конференции. - Тбилиси: 1985. -С. 147-149.- 0,19 п.л. (авт. вклад 50%).

19. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам [Текст] // Тезисы докладов всесоюзной конференции. - Тбилиси: 1985. -С. 197-198. - 0,12 п. л.

20. Пачев У. М. Об остаточном члене в асимптотической формуле для гауссовых родов [Текст] // Тезисы докладов всесоюзной школы. - Минск: 1989. - С. 118.- 0,06 п. л.

21. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков классов бинарных квадратичных форм в гауссовых родах [Текст] // Тезисы докладов международной конференции. - Тула: 1993. - С. 126. - 0,06 п.л.

22. Пачев У. М. Теорема о перемешивании для гауссовых родов [Текст] // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. - Казань: 1994. -С. 74-75. - 0,12 п. л.

23. Пачев У. М. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм с некоторым условием делимости коэффициентов [Текст] // Тезисы докладов III международной конференции. - Тула: 1996. -С. 113. - 0,06 п.л.

24. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков целых точек на некоторых гиперболоидах [Текст] // Тезисы докладов IV международной конференции, посвященной 180-летию П.Л. Чебышева и 110-летию И.М. Виноградова. - Тула: 2001. -С. 91-92. - 0,13 п. л.

25. Пачев У. М. О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Тезисы докладов V международной конференции. - Тула: 2003. -С. 176-177. - 0,13 п. л

Размещено на Allbest.ru

...