Функция, функционал, оператор

Размещено на http://www.allbest.ru

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

РЕФЕРАТ

на тему:

«ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИОНАЛ, ОПЕРАТОР»



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Дискретная математика как наука

2. Функция

2.1 Обратная функция

2.2 Инъекция

2.3 Композиция функций

2.4 Функция суперпозиция

2.5 N-местная функция

2.6 Формы задания функций

3. Примеры

3.1 Инъекция

3.2 Композиция функций

3.3 Формы задания функций (для унарных и бинарных функций)

3.3.1 Рекурсивная вычислительная процедура

3.3.2 Перечень всех значений, представленный строкой

3.3.3 Перечень всех значений, представленный парой строк

3.3.4 Список всех пар "аргумент-значение"

3.3.5 Формула ц( а) = b

3.3.6 Таблица Кэли

3.3.7 Список всех троек (а, b, с)

3.3.8 Префиксное представление

3.3.9 Инфиксное представление

3.3.10 Операция

4. Функционал

5. Примеры

6. Оператор

7. Примеры

Заключение

Список литературы



ВВЕДЕНИЕ

Реферат написан на тему «Функция, функционал, оператор». Основная цель и задача реферата это ознакомиться с понятиями функция, функционал и оператор, применяемыми в дискретной математике, а также научиться применять теоретические знания, полученные в ходе изучения данной темы, на практике при решении поставленных задач.

В реферате приведены примеры применения функции, функционала и оператора. дискретный математика функция функционал оператор



1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА КАК НАУКА

Дискретная (или прерывная) математика представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов. В отличие от дискретной математики классическая математика занимается преимущественно изучением свойств структур непрерывного характера.

Деление на классическую математику и дискретную математику достаточно условно, поскольку, с одной стороны, происходит взаимопроникновение идей и методов, а с другой стороны средства дискретной математики используются для изучения непрерывных моделей.

Бурное развитие дискретной математики было обусловлено прогрессом компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представления различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами.

К разделам дискретной математики относят: теорию множеств, комбинаторику, общую алгебру, теорию графов, математическую логику, теорию алгоритмов, теорию кодирования, теорию автоматов и др.

Функция, функционал и оператор рассматриваются в теории множеств.



2. ФУНКЦИЯ

Функцией f называется однозначное соответствие, т.е. такое соответствие, при котором для пар (a₁, b₁) Є f и (a₂, b₂) Є f из a₂ = a₁ ? b₂ = b_1.

Элемент а это аргумент функции, элемент b это значение функции на а.

Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений (обозначается f (а) = b).

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип А>В (обозначается f : А>В).

Функции f и g будут равны, если верны оба условия:

1) их области определения это одно и то же множество А;

2) для любого а Є A f (a) = g(a).

Функция это соответствие и для неё справедливы понятия обратной функции и композиция функций.

2.1 Обратная функция

Если соответствие, обратное к функции f: А>В является функциональным (однозначным), то оно называется функцией, обратной к f (обозначается f -¹). Обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений, т.е. когда функция инъекция.

2.2 Инъекция

Инъекция в дискретной математике это отображение функции f множества X в множество Y (f: X>Y), при котором разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y, то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы: f(x)=f(y) ? x=y. Инъекция отображает одно множество на другое f: X>Y формулируется как отображение X в Y. Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть, f:X>Y инъективно, если существует g:Y>X, при котором g_f=id_X.

2.3 Композиция функций

Композиция функций - это применение одной функции к результату другой. Пусть даны функции f: А > В и g: В > С. Функция h: A>C называется композицией функций f и g (обозначается f _g или просто fg), если имеет место равенство h(x) = g(f(x)), где х Є А.В этом случае говорят также, что функция h получена подстановкой f в g.

Для многоместных функций f: А^т > В, и g: Вⁿ > С возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов. Например, при т=3 и п=4 функция может иметь вид: h = g (х₁, f (y_l, y₂, y₃), x₃, x₄) В данном случае функция имеет шесть аргументов и следующий тип: BЧA³ЧВ² > С.

2.4 Функция суперпозиция

Функция, полученная из функций f ₁, ..., f_n некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией f ₁, ..., f_n. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов и скобки, называется формулой.

2.5 N-местная функция

Функция типа f : A₁ЧA₂Ч...ЧA_N > B называется п-местной. В этом случае принято считать, что функция имеет п аргументов: f (a ₁, ..., а_п) = b, где (a ₁, ..., а_п) - кортеж, а ₁ Є А ₁,..., а_п Є А_п, b Є В.

Одноместную функцию можно записать как f = {(a,b)ЄAЧB:b = f(a)}. Здесь f - обозначает множество пар (a, b), f (a) - обозначает b, соответствующее данному a.

2.6 Формы задания функций

Функции одного аргумента (унарные функции) могут быть представлены:

1) перечислением пар a, b;

2) формулой b = f(a);

3) графиком в виде точек на плоскости с координатами a и b;

4) рекурсивной вычислительной процедурой;

5) функции могут представляться перечнем всех значений аргумента а и соответствующих им значений функции b, a, b Є M, представленных строкой или парой строк;

6) списком всех пар "аргумент-значение" (a, b) Є ц, a, b Є М, для всех возможных значений аргументов;

7) формулой ц( а) = b;

Для функций двух переменных (бинарных функций) ц: МЧМ> М на конечном множестве М = {a ₁, a₂ ,..., а_п} наиболее часто применяют следующие способы задания:

1) таблицей Кэли;

2) списком всех троек (а, b, с);

3) префиксное представление;

4) инфиксное представление;

5) операция.



3. ПРИМЕРЫ

3.1 Инъекция

Рис.1 Инъективная функция

f: R_>0>R, f(x)=lnx - инъективно

f: R₊>R, f(x)= x² - инъективно

3.2 Композиция функций

Пусть даны две функции f(x)=xІ+1 и g(x)= 1/x, для нахождения их композиции заменим в выражении g(x)= 1/x переменную x на xІ+1. В результате получаем, что (g _ f)(x) = 1/(xІ+1)

3.3 Формы задания функций

Способы представления функций одного аргумента (унарные функции).

3.3.1 Рекурсивная вычислительная процедура:

f (x) = 1·2·3·...·(х -1) х = х!

1) f (0) = 1;

2 ) f ( x + 1) = f(x)(х + 1).

3.3.2 Перечень всех значений аргумента а и соответствующих им значений функции b, a, b Є M, представленный строкой:

ц= ( a₁ > b₁ , а₂ > b₂, ..., а_п > b_п )

3.3.3 Перечень всех значений аргумента а и соответствующих им значений функции b, a, b Є M, представленный парой строк:

3.3.4 Список всех пар "аргумент-значение":

ц = {( a₁, b₁), (а₂, b₂),..., (а_n, b_n)}. Число таких пар |Пр₁ ц| = т < | M | .

3.3.5. Формула ц( а) = b:

lga = b (явное префиксное задание);

а² + b² -- 1 = 0 (неявное задание).

Способы представления функций двух переменных (бинарных функций).

3.3.6 Таблица Кэли

Таблица имеет число строк, равное числу значений аргумента a, и число столбцов, равное числу значений аргумента b. На пересечении строки, соответствующей аргументу а, и столбца, соответствующего аргументу b, записывается результат с выполнения функции ц над а и b.

Таблица Кэли для функции, называемой "сложением по модулю 5" на множестве М= {0, 1, 2, 3, 4} и обозначаемой "+mod 5", или 0₅

(+ MOD 5)	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

3.3.7 Список всех троек (а, b, с)

Соответственно, а и b первый и второй аргументы из М, с результат выполнения функции ц над а и b, a, b, c Є M. Для везде определенной функции число всех троек в списке |М Ч M |= п².

Функция сложения по модулю 3:

?₃ = {(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)}.

3.3.8 Префиксное представление

Формулой ц( а, b) = с;

(а + b)mod 3 = c

3.3.9 Инфиксное представление

Формулой а ц b = с;

a ?₃ b=c, где ?₃ - операция сложения по модулю 3.

и

3.3.10 Операция

Операция это такая функция, у которой значения аргументов и ее собственные значения принадлежат одному и тому же множеству.

Операции обладают следующими свойствами:

Операция * идемпотентна, если x * x = x для любого x Є М, т.е. элемент, сохраняется при умножении самого на себя.

Операция * коммутативна, если x * y = y * x для любых x, y Є М, т.е. обладает свойством переместительности.

Операция * некоммутативна, если x * y = y * x для любых x, y Є М.

Операция * ассоциативна, если x * (y * z) = (x * y) * z для любых x,y, z ЄМ, т.е. обладает сочетательностью. Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления.

Операция * дистрибутивна относительно операции _°, если

x _° (y * z) = (x _° y) * (x _° z) для любых x, y, z Є М, т.е. обладает свойством согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве (распределительный закон).

Операции * и _° называют взаимно обратными, если x * y = z тогда и только тогда, когда z _° y = x для любых x, y, z Є М.

Про операцию * говорят, что она имеет нейтральный элемент, если во множестве М существует элемент (обозначим его e), такой что x * e = x для любого x Є М. Если рассматриваемая операция обозначается знаком +, то нейтральный элемент обычно называют нулём, если знаком * (умножить), то - единицей.



4. ФУНКЦИОНАЛ

Функционамл это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел R или комплексных чисел C. Функционал, устанавливает связь между множеством функций и множеством чисел.



5. ПРИМЕРЫ

1. Определенный интеграл:

где f ( x) - функция, a и b - пределы интегрирования, I - число.

2. Наибольшее значение функции f ( x) на интервале [a, b].



6. ОПЕРАТОР

Оператор определяет еще одну разновидность связи между функциями. Оператор, действующий над пространствами функций, т.е. одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) в другую функцию y(t) имеет вид y(t) =A{x(t)} или y=Ax.



7. ПРИМЕРЫ

1. Оператор дифференцирования:

Пусть f(x)=sin(x),тогда .

2. Умножение на число:



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении ещё раз отметим, что методы дискретной математики находят широкое применение в различных областях, наиболее значимой из которых является область компьютерных технологий. Изучение методов дискретной математики и применение их на практике может быть полезным в каждой профессиональной деятельности.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов А.М. Дискретная математика: Учебное пособие. - М.: МГУПИ, 2014. - 66с.

2. Чередникова А.В. Дискретная математика. Теория и практика / А.В. Чередникова, О.Б. Садовская, Л.А. Каминская. - Кострома: Изд-во КГТУ, 2011. - 74с.

3. Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах: - СПб.: БХВ-Петербург, 2008. - 352 с.:ил.

4. Спирина М.С. Дискретная математика: Учебник. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 368с.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki. Википедия:[Электронный ресурс].

Размещено на Allbest.ru

...