О геометрии Фи-продолженных Би-метрических структур

Размещено на http://www.allbest.ru/

О геометрии ц-продолженных би-метрических структур

Букушева Алия Владимировна

Рассматривается почти контактное метрическое многообразие M с ц-связностью. С помощью ц-связности на распределении D многообразия M как на тотальном пространстве векторного расслоения (D,р,M) определяется почти контактная структура с би-метрикой. Исследуются свойства полученной структуры.

Введение

В работах [1, 2, 7, 8, 11, 12-25] на многообразии M с почти контактной метрической структурой и эндоморфизмом было введено понятие N-продолженной связности ?N=(?,N) где ? - внутренняя связность. В работе [3] N-продолженная связность исследовалась в случае, когда в качестве эндоморфизма был выбран эндоморфизм ц. В настоящей работе мы рассматриваем почти контактное многообразие с ц-связностью ?ц=(?,ц). Используя конструкцию продолжения [3-6, 9, 10] почти контактных метрических структур, мы определяем на тотальном пространстве D векторного расслоения почти контактную структура с Би-метрикой, названную в работе продолженной структурой. Свойства продолженной почти контактной структуры с Би-метрикой существенно зависят от свойств исходного почти контактного метрического многообразия. Почти контактные многообразия с Би-метрикой исследовались в работах [27-38]. В работе [27] предложена классификация таких многообразий в соответствии со свойствами специально определенного для этой цели тензора F типа (0, 3). В соответствии с классификацией Би-метрических многообразий существует одиннадцать классов почти контактных Би-метрических структур. В предлагаемой работе мы ограничиваемся рассмотрением почти контактных метрических многообразий с нулевым тензором Схоутена.

Определение и простейшие свойства ц-связности

?ц=(?,ц).

Пусть M - гладкое многообразие размерности n с заданной на нем структурой почти контактного метрического многообразия. Внутренней линейной связностью ? [24] на многообразии M называется отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ,

3. ,

где - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей [24]. Вот так, например, определяется производная эндоморфизма ц распределения D:

, .

В последние годы на гладком многообразии M с почти контактной метрической структурой все чаще, наряду со связностью Леви-Чивита, исследуются как метрические так и не метрические связности с кручением. В настоящей работе на почти контактном метрическом многообразии рассматривается связность , называемая ц-связностью, однозначно определяемая условиями

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ,

где - кручение связности, - эндоморфизм распределения структуры.

ц-связность может быть отождествлена с парой (?, ц), где ? - внутренняя связность [24], осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых.

На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если [24]. Пусть - проектор, определяемый разложением , и - адаптированная карта. Векторные поля

линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: тензор координата метрический

.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения

.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

,

,

где

Q=I-P,

.

Тензор носит название тензора кривизны субриманова многообразия.

ц-связность может быть определена как связность в векторном расслоении с помощью разложения

таким образом, чтобы

,

где

, , , ,

- вертикальный лифт. Относительно базиса , где

,

поле получает следующее координатное представление:

.

Векторные поля

определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

- соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

.

Продолженные почти контактные Би-метрические структуры

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, , с заданной на нем почти контактной структурой , где ц - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, и - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что:

, , , .

Если почти контактная структура согласована с псевдоримановой метрикой g таким образом, что

,

где - модуль векторных полей на многообразии M, то структура называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M - почти контактным многообразием с Би-метрикой или Би-метрическим многообразием.

Тензорное поле

,

где ? - связность Леви-Чивита, введено и названо в работе [27] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля F выделяются 11 классов почти контактных структур с Би-метрикой.

Определим на многообразии D почти контактную структуру

,

полагая

, .

Здесь - естественная проекция. Определим на многообразии M метрику

.

Предложение 1

Структура

является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J, получаем:,

.

Предложение 2

Пусть - связность Леви-Чивита на Би-метрическом многообразии D, где D - распределение почти контактного метрического многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена, тогда ее коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Доказательство предложения 2 основано на использовании структурных уравнений, а также выражения для коэффициентов связности:

,

где , , , , .

Теорема

Пусть M - многообразие Сасаки с нулевым тензором Схоутена. Тогда продолженная Би-метрическая структура принадлежит классу F10 тогда и только тогда, когда распределение D интегрируемо.

Доказательство теоремы сводится к вычислению фундаментального поля , В случае выполнения условий теоремы мы имеем равенства , , , откуда следует, что выражение для коэффициентов связности примет более простой вид.

Факт принадлежности продолженной Би-метрической структуры классу F10 эквивалентен выполнению равенства

.

Проводя необходимые вычисления, получаем, в частности:

,

что и доказывает теорему.

Заключение

Статья посвящена обсуждению некоторых вопросов, касающихся геометрии распределений почти контактных метрических многообразий. В отличие от пространства касательного расслоения, распределение D как гладкое многообразие имеет нечетную размерность, что и определяет, в частности, специфику его геометрии. Более того, можно показать, что в общем случае определяемая выше продолженная структура Би-метрического многообразия не совпадет с индуцированной структурой, возникающей в случае естественного вложения . Весьма перспективным кажется исследования продолженных структур с точки зрения их использования в теоретической физике. Далее, следует заметить, что, несмотря на частный случай рассматриваемого субриманова многообразия (тензор Схоутена равен нулю), именно такие многообразия представляют особенный интерес с точки зрения их приложения.

Список литературы

1. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

2. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

3. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Издат. центр."Наука", 2016. С. 105-107.

4. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

5. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

6. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

7. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22

8. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

9. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

10. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. №46. С.58-62.

12. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2016. №47. С. 39-47.

13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

15. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

16. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

17. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.

18. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.

19. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

20. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. №2. С. 138-147.

21. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. Т. 46. №6 (255). C. 36-43.

22. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.

23. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.

24. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.

25. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.

26. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.

27. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.) 7 (3-4) (1993) 261-276.

28. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G., On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985) 563-566.

29. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 102 (2015) 133-144.

30. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30 (3) (2015) 341-351.

31. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds. J. Geom. 106 (2015) 229-242.

32. Manev M. Contactly conformal transformations of general type of almost contact manifolds with B-metric. Applications. Math. Balkanica (N.S.) 11 (3-4) (1997) 347-357.

33. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 65 (5) (2012) 283-290.

34. Manev M. Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost contact B-metric structure. Filomat 29 (10) (2015) 2437-2446.

35. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 65 (4) (2012) 429-436.

36. Manev M., Ivanova M. Canonical-type connection on almost contact manifolds with B-metric. Ann. Global Anal. Geom. 43 (4) (2013) 397-408.

37. Manev M., Ivanova M. A classification of the torsion tensors on almost contact manifolds with B-metric. Cent. Eur. J. Math. 12 (10) (2014) 1416-1432.

38. Manev M., Ivanova M. Natural connections with torsion expressed by the metric tensors on almost contact manifolds with Bmetric. Plovdiv Univ. Sci. Works - Math. 38 (3) (2011) 47-58.

Размещено на Allbest.ru

...