Линеаризациия функций рядами Фурье
Применение рядов Фурье к линеаризации разрывной функции и подбором количества коэффициентов ряда для более точного наложения ряда на функцию. Свойства преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.03.2018 |
| Размер файла | 219,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФГБОУ ВО Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Линеаризациия функций рядами Фурье
Алашеева Е.А. Рогова Н.В. Галдеев В.В.
Аннотация
Возможности приближения рядов Фурье в случае линейного сигнала бывает необходимым для построения функций в случае разрывных периодических элементов. Возможности использования данного метода для построения и разложения их с использованием конечных сумм ряда Фурье использующих при решении многих задач различных наук, таких как физики, сейсмологии и так далее. Процессы океанских приливов, солнечной активности рассматриваются способом разложения колебательных процессов, функций описываемых эти преобразования. С развитием компьютерных технологий ряды Фурье стали применяться для более и более сложных задач, а так же благодаря этому стало возможным использование данных преобразований в косвенных науках, таких как медицина, химия.
Преобразование Фурье описывается как в действительной, так и в комплексной форме, второе распределение дало возможность произвести прорыв в исследовании космического пространства. Результатом данной работы является применение рядов Фурье к линеаризации разрывной функции и подбором количества коэффициентов ряда для более точного наложения ряда на функцию. Причем, при использовании разложения в ряд Фурье, данная функция перестает быть разрывной и уже при достаточно малых, осуществляется хорошее приближение используемой функции.
Представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда называется рядом Фурье. Разложением по ортогональному базису называют данное решение в общем виде. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментом при решении разнообразных задач. Т.к. хорошо известны и изучены свойства данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке [3]. Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. Данное преобразование Фурье очень плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. линеаризация разрывной фурье интегрирование
Ряды Фурье используются при решении многих прикладных задач. Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Такие процессы как океанские приливы и световые волны до циклов солнечной активности относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов в ряд Фурье. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данное преобразование используется для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии [1,5].
С ростом технологий, т.е. появление и развития компьютера, вывело преобразование Фурье на новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Который стал наглядной реализацией роста научного процесса и применения рядов Фурье. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии [5].
Рассмотрим фазовый спектр периодического сигнала определяется из следующего выражения:
где символами и соответственно обозначены мнимая и действительная части величины, заключенной в квадратные скобки.
Если умножить на действительную постоянную величину K, то разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:
Из выражения (1) следует, что фазовый Фурье-спектр обладает следующими свойствами:
1) является функцией , т. е. в отличие от спектра мощности, который не зависит от , , изменяется при сдвиге сигнала вдоль оси времени;
2) не зависит от К, т. е. инвариантен к усилению или ослаблению сигнала, в то время как спектр мощности является функцией К.
3) т. е. является нечетной, функцией n.
Примечание. С учетом геометрической интерпретации приведенных выше рассуждений, можно выразить через спектр мощности и фазовый спектр следующим образом:
или
где
и .
Поскольку
то из (2) и (3) следует, что может быть восстановлен однозначно, если известны амплитудный (или спектр мощности) и фазовый спектры.
Рассмотрим пример. Нам дана функция на промежутке
Общий вид ряда Фурье:
Найдем :
Подставим свои значения и получим:
Найдем :
Подставим свои значения и получим:
Используем замену:
Получаем:
Найдем по формуле:
Подставим свои значения и получим:
Используем замену:
Получаем:
;
Общий вид функции:
Найдем
Максимальное значение суммы считается по формуле:
Несмотря на очень маленькие значения для линейных функций, приближение осуществляется достаточно точно. И чем больше значение , тем точнее график суммы ряда описывает данную функцию.
Литература
1. Алашеева Е.А., Рогова Н.В. Численный метод решения задачи электродинамики в тонкопроволочном приближении. Наука и мир. Международный научный журнал, № 8(12), 2014. Том 1. г. Волгоград. С.17-19.
2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. Изд. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, -408 С.
3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001.
4. Р.Эдвардс Ряды Фурье в современном изложении. Изд. Мир. В 2 томах. Том 1. 1985 год. 362 стр.
5. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Изд. 2-е стереотипное. «Технiка»,1997. - 768 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. Функции и свойства рядов, их физический смысл.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 20.05.2015Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Свойства дискретного преобразования Фурье, представленные в виде математических формул, которые наиболее адекватно соответствуют цифровой технике обработки информации. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), его значение для программирования.
учебное пособие [223,6 K], добавлен 11.02.2014Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Общая характеристика математической модели радиотехнического сигнала. Значение спектрального разложения функций в радиотехнике. Работа вещественных одномерных детерминированных сигналов и система синусоидальных и косинусоидальных гармонических функций.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.08.2011Преобразования Фурье, представление периодической функции суммой отдельных гармонических составляющих. Использование преобразований как для непрерывных функций времени, так и для дискретных. Программа и примеры реализации алгоритмов с прореживанием.
реферат [1,6 M], добавлен 25.05.2010Алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. Дискретное преобразование Фурье. Спектральное представление и спектральные характеристики периодического сигнала, четной непериодической функции и произвольного непериодического сигнала.
курсовая работа [932,9 K], добавлен 23.01.2022Элементарные многоэкстремальные функции, направления их исследования и вычисление основных параметров. Сравнительный анализ ЭМЭФ-преобразования и преобразования Фурье. Механизм и значение обнаружения слабого сигнала на фоне сильной низкочастотной помехи.
статья [126,0 K], добавлен 03.07.2014Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции. Примеры нахождения преобразования Фурье, сверстка и преобразование, спектр, некоторые приложения.
курсовая работа [231,5 K], добавлен 27.08.2012Образование множеством функций системы ортонормированных функций, условия ортогональности для заданной системы. Разложение в тригонометрический и комплексный ряды Фурье пилообразного сигнала. Генерирование программного произвольного дискретного сигнала.
контрольная работа [378,6 K], добавлен 14.01.2016Пространство обобщенных функций. Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях. Преобразования Лапласа и Фурье. Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами. Нахождение решения в математическом пакете Maple.
курсовая работа [516,1 K], добавлен 25.06.2013Рассмотрение задач с двойными и тройными интегралами, применение к ним геометрического и симплекс методов решения; описание теоретической и практической части. Разложение функции в ряд Фурье по синусам и определение наибольшего и наименьшего значения.
курсовая работа [185,1 K], добавлен 28.04.2011Главные особенности вычисления преобразования Фурье, приложения и методы использования их на практике. Решение сложных уравнений физики, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии.
контрольная работа [151,0 K], добавлен 14.12.2013Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Основные понятия и предложения. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Задача о дополняемости. Доказательство замкнутости ядра. Формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число.
дипломная работа [105,7 K], добавлен 08.08.2007
