Численное решение дифференциальных уравнений методом Эверхарта
Характеристика и обоснование преимуществ метода численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанного Эверхартом. Исследование алгоритма и основной идеи построения метода Эверхарта на примере решения уравнений разных видов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 141,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Численное решение дифференциальных уравнений методом Эверхарта
Хикматова Рано Артиковна,
старший преподаватель,
Садуллаева Мавжуда Зиёдуллаевна,
ассистент.
Ташкентский автомобильно-дорожный
институт, Республика Узбекистан.
При решении многих прикладных задач (например, в небесной механике) явные многошаговые методы Коуэлла не позволяли существенно расширить интервал интегрирования. Разработанный Эверхартом метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет снять это ограничение, что особенно важно при решении задач динамики.
Метод Эверхарта является одной из разновидностей методов Рунге-Кутты. Он относится к числу неявных одношаговых методов, что обеспечивает его сходимость и устойчивость. Основным достоинством одношаговых методов является то обстоятельство, что для них разработаны надежные оценки локальной погрешности дискретизации. Кроме того, метод Эверхарта показал себя как самый эффективный по точности и быстродействию в эксперименте по исследованию алгоритмов и программ численного прогнозирования движения небесных тел.
Вследствие того, что повышение порядка аппроксимирующей формулы в большинстве случаев улучшает основные свойства методов, разработка группы методов Эверхарта более высокого порядка, по сравнению с существующими, является актуальной задачей с целью создания более точного и эффективного алгоритма численного интегрирования [1].
Алгоритм и программа численного интегрирования методом Эверхарта ранее были разработаны до 27 порядка, однако использование этих алгоритмов свыше 19-го порядка не приводило к повышению точности вычислений. численный интегрирование дифференциальный уравнение
Рассмотрим основную идею построения метода Эверхарта на примере решения уравнения вида
(1)
Представим правую часть в виде временного ряда
(2)
Интегрируя это, получим выражения для определения координат и скоростей:
(3)
(4)
Полиномы (3) и (4) не являются рядами Тейлора, а коэффициенты вычисляются из условия наилучшего приближения и с помощью конечных разложений (3) и (4). Для связи А-значений с F- значениями воспользуемся вспомогательным выражением
(5)
Уравнение (5) усечено по времени . В каждый фиксированный момент времени имеем
(6)
……………………………….
Принимая найдем через разделенные разности:
(7)
……………………………………………………….
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в уравнениях (2) и (5), выразим коэффициенты через :
(8)
…………………………………
Коэффициенты определяются из следующих рекуррентных соотношений:
(9)
для алгоритма интегрирования пятого порядка
(10)
где являются корнями кубического уравнения
+()t+ (11)
Таким образом, нахождение решения уравнения сводится к нахождению узлов разбиения шага h.
Вопрос нахождения узлов разбиения шага h=[0, T] рассмотрим на примере алгоритма интегрирования пятого порядка.
В начальный момент времени известны . Значения x в моменты времени определяются с помощью трех предсказывающих уравнений:
(12)
(13)
(14)
И двух исправляющих уравнений для нахождения положения и скорости на конце шага h :
(15)
(16)
Эта схема является неявной, так как коэффициенты, стоящие в квадратных скобках (12) - (14), неизвестны при первой итерации [2, 3].
Уравнение (12) - (16) обеспечивают пятый порядок точности относительно t . Можно увеличить порядок точности в вычислении x и до седьмого порядка путем специального выбора подшагов . С этой целью увеличим количество разбиений интервала интегрирования, добавив два дополнительных времени . Затем вычислим для и значения и , а также новые значения , и ,
Из уравнения (15) можно найти поправки , улучшающие значения координат:
(17)
Выражая в уравнении (9) через , а также полагая
, и (18)
Выражение (17) может быть записано в виде
Значение в последнем выражении можно обратить в ноль при выполнении следующих условий:
(19)
Проводя подобные рассуждения для скорости, приравнивая к нулю , получим третье условие для определения , . тогда соответствующие данным разбиением коэффициенты будут определяться из системы алгебраических уравнений
(20)
Из решения этой системы
(21)
следует, что значения величин являются корнями следующего полинома третьей степени
(22)
которые имеют следующие значения:
= 0.212340538239…,
= 0.590533135559…, (23)
= 0.91141240488…
Использование этих узлов позволяет получить решение уравнения с точностью до седьмого порядка для обеих компонент x и
Однако при применении метода Эверхарта, к решению уравнений движения небесных объектов, увеличение порядка метода не приводило к повышению точности и эффективности вычислений. Показано, что главная причина заключалась в способе нахождения значений .
Заключение
Рассмотрев различные разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, как универсальные (методы тейлоровских разложений, Рунге-Кутте, Адамса-Бэшфорта, Адамса-Мультона), так и специализированные (Эверхарта, Коуэлла), пришли к следующим выводам.
Сравнение универсальных методов можно проводить на основе нескольких принципов: а) точности; б) надежности; в) непосредственных затрат и г) полных затрат.
Специализированный метод Эверхарта эффективно использовать при решении уравнений движения в задачах небесной механики.
Литература
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. Т. 1. - М.: Бином.ЛЗ, 2003.- 632 с.
2. Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. - М.: Наука, 1984. - 136 с.
3. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПБ.: СП6ГУ, 1998. - 472 с.
4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.
курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.
контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Суть модифицированного метода Эйлера. Определение интерполяционного многочлена. Выведение формулы трапеций из геометрических соображений. Применение для расчетов интерполированного полинома Ньютона. Составление блок-схемы алгоритма решения уравнений.
курсовая работа [252,7 K], добавлен 14.02.2016Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009
