Функция кратности непрерывного спектра дифференциального оператора второго порядка
Исследование поведения функции кратности непрерывного спектра самосопряженного дифференциального оператора, порожденного формально самосопряженным дифференциальным выражением в гильбертовом пространстве. Обоснование результатов комплексного анализа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 193,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Функция кратности непрерывного спектра дифференциального оператора второго порядка
Филиппенко Виктор Игнатьевич,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры математики
Института сервисного обслуживания
и предпринимательства (филиала ДГТУ).
Пусть - гильбертово пространство векторов с евклидовым скалярным произведением и нормой . Если векторы и рассматривать как матрицы-столбцы, то .
Обозначим через гильбертово пространство всех - мерных вектор-функций, значения которых принадлежат , а квадрат нормы суммируем, т. е. . Скалярное произведение в пространстве определяется следующим образом: .
Пусть , где - вещественная матричная функция порядка , которая измерима и локально суммируемая в сильном смысле. При каждом . Предположим, что имеет смысл для каждой функции , которая на любом отрезке абсолютно непрерывна вместе со своей первой производной, а . Предполагается, что уравнение имеет ровно решений, принадлежащих . Такая ситуация имеет место, например, если удовлетворяет условиям при любом векторе из пространства , а функция непрерывная, монотонная и .
В этой статье определяется поведение функции кратности непрерывного спектра самосопряженного дифференциального оператора, порожденного формально самосопряженным дифференциальным выражением в гильбертовом пространстве .
Пусть - замкнутый симметрический оператор с минимальной областью определения, порожденный в пространстве операцией . Индекс дефекта оператора предполагается равным . Стандартным образом можно построить формулу обобщенных резольвент оператора , а затем описывается множество всех спектральных функций оператора [1]. кратность непрерывный спектр дифференциальный
1. Пусть и решения матричного уравнения , удовлетворяющие начальным условиям , где и - единичная и нулевая матрицы порядка . Матричные функции и составляют фундаментальную систему решений и являются целыми функциями параметра . Известно, что если уравнение имеет ровно линейно независимых решений, принадлежащих , то в этом и только в этом случае существует единственная симметрическая матрица такая, что все столбцы матрицы принадлежат и , где .
Каждой вектор-функции , для которой имеет смысл, поставим в соответствие вектор-функцию , которую будем рассматривать как матрицу-столбец. Введем в рассмотрение ортогональную кососимметрическую порядка матрицу
.
Для любых вектор-функций и , к которым применима операция , тождество Лагранжа может быть записано в виде
,
где звездочкой отмечен переход к сопряженной матрице, в данном случае - однострочной.
Имеет место Лемма. В верхней полуплоскости комплексной плоскости матричная функция является регулярной, причем .
Доказательство строим по схеме, изложенной в [1]. Рассмотрим самосопряженное расширение оператора , заданное краевым условием . Ортогональная резольвента оператора определяется формулой . Следовательно, является решением уравнения
, (1)
которое принадлежит области определения оператора . Применяя метод вариации произвольных постоянных, получим для любой финитной вектор-функции из пространства решение уравнения (1)
.
Из условия следует, что , а так как , то
.
Следовательно
,
или короче:
,
где
Для функции имеет место соотношение .
Пусть где произвольный вектор из пространства . Согласно последним равенствам при любом и любом является регулярной в верхней полуплоскости функцией параметра с неотрицательной мнимой частью. В силу нормальности семейства таких функций и произвольности вектора регулярной в верхней полуплоскости является и .
Последнее утверждение леммы следует из равенства .
2. Пусть - самосопряженное расширение оператора в пространстве , определяемое разделяющимися краевыми условиями. Эти условия в точке можно представить в виде , где - некоторая прямоугольная матрица, состоящая из линейно независимых строк и столбцов, удовлетворяющих условию . Далее, применяя лемму, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема
Пусть для любого уравнение имеет линейно независимых решений таких, что:
1) ;
2) , какова бы ни была функция ;
3) линейная комбинация удовлетворяет системе краевых условий в точке только в том случае, когда ;
4) вектор-функции удовлетворяют условию Липшица на сегменте . Тогда ранг спектральной матрицы-функции оператора на сегменте не превосходит .
Воспользуемся стандартным определением функции кратности спектра.
Следствие
Если выполняются условия теоремы и , где - постоянная эрмитова матрица с простыми собственными значениями, а - некоторая эрмитова матрица с суммируемыми на промежутке элементами, то функция кратности непрерывного спектра оператора - кусочно-постоянная, ее значение в точке определяется числом собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию
Литература
1. Филиппенко В.И. Резольвенты линейного оператора, порожденного обобщенным квазидифференциальным выражением // В сб.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию. - Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004. - С. 304 - 322.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011- Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
История нестандартного анализа. Линейные операторы. Обратный оператор. Обратимость. Резольвента линейного оператора. Резольвентное множество. Спектр. Введение в нестандартный анализ. Пример неархимедовой числовой системы.
дипломная работа [256,2 K], добавлен 08.08.2007 Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Определение линейного оператора. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента. Операторы: умножения на непрерывную функцию; интегрирования; сдвиг
дипломная работа [267,4 K], добавлен 27.05.2008Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Основные понятия и факты теории линейных операторов. Определение и примеры линейных операторов. Ограниченность и норма линейного оператора. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов.
дипломная работа [240,7 K], добавлен 13.06.2007Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Многочлены над числовыми полями. Теорема о делении с остатком. Основные алгебраические структуры. Понятие линейного пространства, его базис и изоморфизм. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ранг и дефект линейного оператора.
учебное пособие [342,8 K], добавлен 02.03.2009Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори.
курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Действие оператора точечной группы в двух- и трехмерном пространстве. Определение его порядка по матрице Система эквивалентных точек. Возможные порядки осей симметрии в кристаллографическом пространстве. Геометрическая интерпретация сложения операторов.
презентация [107,4 K], добавлен 23.09.2013Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010
