Условия существования неподвижных точек операторов вольтерровского типа с периодическими коэффициентами
Равенства, определяющие операторов вольтерровского типа. Исследование вопроса о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтерровского типа на примере случая, когда параметры управляющие эволюцией, являются периодическими функциями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 857,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Условия существования неподвижных точек операторов вольтерровского типа с периодическими коэффициентами
Исмоилов Хамроли Канбарович,
старший преподаватель
Андижанского машиностроительного
института, Узбекистан
Операторы вольтерровского типа определяются равенствами:
(1)
где - непрерывные функции, удовлетворяющие условиям:
а) , для любого ,
б) , для всех .
Легко заметить, что при выполнении этих условий [1].
Интересным с биологической точки зрения является случай, когда - параметры управляющие эволюцией, являются периодическими функциями [2]. вольтерровский оператор точка функция
В настоящей работе изучается вопрос о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтерровского типа с периодическими коэффициентами. В качестве берутся периодические функции
и .
В симплексе рассмотрим семейства квадратичных стохастических операторов вида:
где
Теорема 1. Для любых квадратично-стохастических операторов число всех неподвижных точек равно
Доказательство. Решим систему
Если , то , и, где . Следовательно, и при , получаем неподвижную точку. Очевидно других неподвижных в точек нет.
В симплексе рассмотрим семейство квадратичных стохастических операторов вида:
(2)
где
Очевидно, , кроме того, все точки , неподвижны относительно . Кроме того и квадратично-стохастические операторы имеют единственную внутреннюю отталкивающую неподвижную точку . Легко заметить, что имеет не менее четырех, а не менее семи внутренних неподвижных точек.
Рис. 1. n = 1. Рис. 2. n = 2.
Теорема 2. Если тогда:
1) Все точки неподвижны;
2) -внутренняя отталкивающая неподвижная точка;
3) Существует внутренних неподвижных точек
Доказательство. 1) Очевидно, что все точки неподвижны.
2) Легко заметить, что внутренняя отталкивающая неподвижная точка (рис.1, рис.2, рис.3,…).
3) Решим систему
полученную из (2).
Эта система имеет место при всех комбинациях точки , здесь , и
Число решений уравнения в целых неотрицательных числахи , равно .
Пусть и тогда, -внутренняя отталкивающая неподвижная точка.
Допустим, что центр симплекса является внутренней неподвижной точкой. Тогда верно следующее утверждение.
Утверждение. Если тогда:
1) Все точки неподвижны;
2) Существует внутренних неподвижных точек
Рис. 3. n = 3. Рис. 4. n = 4.
Рис. 5. n = 5. Рис. 6. n = 6.
Рассмотрим семейство квадратичных стохастических операторов вида:
в симплексе , где
Теорема 3. Для любых квадратично-стохастических операторов число всех неподвижных точек равно
Доказательство. Решим систему
Если , то
Здесь . Число целочисленных решений уравнения в нечетных числах и равно . Тогда число неподвижных точек равняется:
и две вершины симплекса и .
Итак, мы показали, что число всех неподвижных точек равно .
В симплексе рассмотрим семейство квадратичных стохастических операторов вида:
(3)
где
Очевидно, , кроме того, вершины и являются неподвижными точками.
Теорема 4. Пусть тогда:
1) -внутренняя отталкивающая неподвижная точка;
2) Существует неподвижных точек которые лежат на ребрах симплекса .
Доказательство. 1) Из рис.7, рис.8, рис.9 и рис.10 видно, что траектория точек имеет спиральный вид. Это означает, что внутренняя отталкивающая неподвижная точка.
2) Решим систему
полученную из (3).
Эта система имеет место при всех комбинациях точки , ,, здесь , и
Из видно, что по теореме 3 существует равно неподвижных точек принадлежащих ребру симплекса .
Отсюда находим, что число неподвижных точек находящихся на ребрах равно .
Рис. 7. n = 1. Рис. 8. n = 2.
Рис. 9. n = 3. Рис. 10. n = 4.
Литература
1. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры. Математический сборник, 1992 г., т.183, №8 с.129-141.
2. Ганиходжаев Р.Н. Исследования по теории квадратичных стохастических операторов // Автореф. доктор. дис.., Ташкент, 1994 г.
3. Курганов К.А. Асимптотическое поведение траекторий дискретных динамических систем, порожденных квадратичными стохастическими операторами вольтеровского типа // Автореф. канд. дис., Ташкент,1994 г.
4. Г.Полиа, Г.Сеге. «Теорема и задачи в анализе» том I,II, Москва: Наука, 1978 г.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные понятия и факты теории линейных операторов. Определение и примеры линейных операторов. Ограниченность и норма линейного оператора. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов.
дипломная работа [240,7 K], добавлен 13.06.2007Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014Действие оператора точечной группы в двух- и трехмерном пространстве. Определение его порядка по матрице Система эквивалентных точек. Возможные порядки осей симметрии в кристаллографическом пространстве. Геометрическая интерпретация сложения операторов.
презентация [107,4 K], добавлен 23.09.2013Операция умножения матриц на примере. Сложение линейных операторов, главные свойства. Определение групп Ли, линейные и индуцированные представления. Сущность понятия "унитарный трюк". Ассоциативная алгебра с полимиальным тождеством. Радикал Джекобсона.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 17.07.2016Понятия пространств в изучении компактных операторов. Линейный оператор и линейный функционал, сопряженный оператор, компактный множество. Основные свойства компактного операторов. Компактность оператора Вольтерра. Примеры некомпактного оператора.
реферат [173,1 K], добавлен 27.05.2008Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Полухарактеры и характеры. Принцип двойственности Понтрягина. Функциональная характеристика показательной функции. Исследование полугрупп, возникающих в статистических вычислениях. Введение в них инвариантной меры. Операторы Ганкеля и его свойства.
курсовая работа [241,3 K], добавлен 08.01.2013Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 06.05.2011Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Современные качественные исследования устойчивости. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
реферат [70,3 K], добавлен 19.10.2005Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
реферат [197,7 K], добавлен 03.08.2010Классификация различных точек поверхности. Омбилические точки поверхности. Строение поверхности вблизи эллиптической, параболической и гиперболической точек. Линии кривизны поверхности и омбилические точки. Поверхность, состоящая из омбилических точек.
дипломная работа [956,7 K], добавлен 24.06.2015Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Понятие и основные свойства вложимой системы, необходимые условия вложимости и методы решения системы. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
курсовая работа [97,7 K], добавлен 21.08.2009Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
контрольная работа [457,9 K], добавлен 23.09.2010Определение минимальной и максимальной точек для функции, имеющей на отрезке [a; b] конечное число критических точек. Ознакомление с примерами нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратической, кубической, логарифмической и иных функций.
презентация [355,9 K], добавлен 20.12.2011
