Особенности интегрируемости общего уравнения Риккати
Сферы применения общего уравнения Риккати. Мультипликативный интеграл, вычисленный из матрицы коэффициентов как фундаментальное решение системы дифференциальных уравнений. Анализ условий, согласно которым матрица является функционально коммутативной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 166,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
В статье построены некоторые решения общего уравнения Риккати.
Общее уравнение Риккати часто встречается в различных физических приложениях, например, в теории гравитационных волн [1]. Решение общего уравнения:
(1)
известно в случае, когда коэффициенты (1) (предполагается, что связаны некоторыми соотношениями [2].
В [3] доказано, что (1) имеет решение в явном виде, если один из коэффициентов является произвольной функцией, а два других выражаются через него определенным образом.
Докажем, что решение (1) может быть записано в явном виде, если два коэффициента этого уравнения - произвольные функции, а третий - выражается через них. Замена переменных:
(2)
приводит (1) к дифференциальному уравнению второго порядка [4]:
(3)
которое можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка:
(4)
Систему (4) удобно представить в виде матричного уравнения , где с матрицей коэффициентов:
(5)
Известно [5], что фундаментальная матрица решений системы дифференциальных уравнений - это мультипликативный интеграл от матрицы коэффициентов В случае функциональной коммутативности матрицы (матрица называется функционально-коммутативной, если:
мультипликативный риккати интеграл дифференциальный
(6)
мультипликативный интеграл представим матричной экспонентой Матрица (5) не удовлетворяет (6), поэтому разложим ее в сумму двух матриц следующим образом:
(7)
и воспользуемся правилом вычисления мультипликативного интеграла от суммы двух матриц [5]:
(8)
где
Очевидно, в разложении (7) матрица - функционально-коммутативная, поэтому мультипликативный интеграл от нее легко вычисляется: а матрица при этом имеет вид:
(9)
Некоммутативная (в общем случае) матрица удовлетворяет (6), если или:
(10)
где - произвольная постоянная. В этом случае и мультипликативный интеграл от легко вычисляется:
(11)
Следовательно, фундаментальная матрица решений системы (4), вычисленная по соотношению (8), имеет следующую структуру:
Тогда решение (1) можно найти по формуле (2):
(12)
где - произвольная постоянная, которая должна быть определена из начального условия.
Прямой подстановкой (12) в (1) ( в случае, когда коэффициент выражен через по формуле (10)) получаем, что является решением уравнения Риккати вида
Легко вычисляется и фундаментальная матрица решений системы (4) (и, следовательно, решение уравнения (1)) в случае, когда коэффициенты - произвольные функции, а выражается через них. Если положить в (5) функцию вида где - произвольная постоянная, тогда функционально-коммутативная матрица типа (9) будет выглядеть следующим образом: Мультипликативный интеграл от имеет структуру, аналогичную структуре (11) и фундаментальная матрица решений системы (4) при выполнении условия (8) легко вычисляется. Решение уравнения (1) будет иметь вид:
(13)
где - произвольная постоянная.
Подставляя в (1) по формуле (13), убеждаемся, что является решением уравнения (1), которе в данном случае выглядит так:
Аналогично, найдем решение системы (4), если функция выражается через коэффициенты - произвольные функции.
Пусть тогда выражение для записывается следующим образом:
(14)
Поэтому в имеем: С другой стороны, для коэффициента в матрице имеем: . Следовательно, функционально-коммутативная матрица будет такова: и решение уравнения (1), найденное, как и в двух других случаях, по формуле (2), уже не содержит гиперболических функций и имеет только одну произвольную постоянную :
(15)
Таким образом, при условии (14) уравнение (1) принимает следующую форму:
Аналогично, при подстановке (15) в последнее уравнение получаем, что есть его решение.
Итак, общее уравнение Риккати имеет решение в квадратурах, если любой из его коэффициентов выражается через другие два. В случае произвольных решение представимо в виде (12), если же произвольными являются функции , то решение имеет форму (13). Когда коэффициент зависит от произвольных , общее решение уравнения (1) записывается в виде (15). Во всех рассмотренных случаях постоянная определяется начальными условиями, а так как в решения (12) и (13) входят константы то для различных значений получим семейства решений уравнения Риккати.
Литература
1. Фихтенгольц И.Г. ТМФ, т. 105, №2, 1995.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976.
3. Kovalevskaya N.M. On some cases of integrability of a general Riccati equaton, ArXiv: math. CA/0 604243v1 11Apr 2006.
4. Матвеев Н.М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, СПб, изд. СпбГУ, 1995.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 2010.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.
курсовая работа [709,5 K], добавлен 22.11.2014Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Схематическое изображение и краткое описание заданной гидравлической системы, выражение работы данной системы с помощью уравнений. Написание уравнения системы виде входа-выхода, решение задачи в символьном виде. Разложение уравнения в ряд Тейлора.
лабораторная работа [92,4 K], добавлен 11.03.2012Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010
