О сравнении по ненулевому рациональному модулю применительно к теореме Ферма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

О сравнении по ненулевому рациональному модулю применительно к теореме Ферма

Карпунин Иван Иванович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального университета, академик МИА и МАИТ

Теорема 1. Число регулярных простых чисел бесконечно. В литературе имеются данные о том, что количество простых чисел бесконечно [1,2]

Пусть - произвольная конечная система иррегулярных простых чисел. Теорема будет доказана, если мы найдем иррегулярное простое число

,

отличное от . Где - регулярное простое; - сомножитель (дробное число>1); выбрано таким образом, что >. - число числителя чисел Бернулли, - произведение регулярного числа на ;

,

где - целое число, полученное при делении числителя чисел Бернулли на иррегулярное число, т. е.

; (

если не сокращать числитель и знаменатель).

Предположим

.

Так как для числа Бернулли мы имеем [1]

при

теорема натуральный число куммер

то при достаточно большом натуральном рациональное число будет по абсолютной величине >1.

Пусть - простое число, входящее в его числитель (при несократимой записи). Если бы , то по теореме Штаудта [1], число входило бы в знаменатель , а это не по выбору числа . Следовательно, не делит , а поэтому отлично от (и от 2). Обозначим через остаток от деления на , так что . Отсюда следует, что - четное и

Вместе с число также не делится на . Воспользовавшись сравнением Куммера [3-5], получим в кольце - целых рациональных чисел сравнение , поэтому

.

Для обоснования разложения иррегулярного простого числа на произведение двух простых сомножителей регулярного простого числа на сомножитель >1 (дробное число >1). Докажем следующую вспомогательную теорему.

2. Вспомогательная теорема. Если натуральное нечетное составное число является произведением двух простых натуральных чисел и () (1), то оно также является произведением третьего простого натурального нечетного числа на дробное число >1 (). Если или равно 1, то имеем частный случай - простое число ().

Для доказательства заметим, что 1 делит любое натуральное, поэтому достаточно предположить, что >1. Тогда >. Кроме того, также предположим, что равенство (1) выполняется при , т.е.

; ; ,

где s' - простое число .

Поскольку >1, для числа имеется предшествующее. Обозначим его . Оно может удовлетворять или не удовлетворять условию >. Если оно ему удовлетворяет, то для него имеется предшествующее, которое мы обозначим . Тогда условие > может выполняться или не выполняться.

Повторение этого процесса привело бы к бесконечно убывающей последовательности чисел, если бы мы на некотором этапе не получили числа в числителе (как предшествующее предшествующему числу ), для которого не больше . Но >. Таким образом, на основании принципа бесконечного понижения (спуска), такое число найдется. Тогда либо , либо <. Если , то в числителе равно в знаменателе и случай 1 доказан.

Если же <, то для некоторого . Так как > >, то отсюда следует, что >. Наконец, если ; где <, то , иначе < или >. Если (при >) для некоторого ; >, что противоречит предположению. Аналогичным способом приводится к противоречию случай >. Следовательно, и . Видно, что . Случай 2 доказан.

Таким образом доказано, что при любых значениях равенство

не выполняется. Аналогичным образом это относится к случаю, если - простое число (). Это означает, что если и простые числа, которые являются сомножителями составного нечетного числа , то это число может также являться произведением простого нечетного числа на >1. В случае, если бы являлось простым числом, то аналогично (как и в том случае, если бы было составным числом) имеем .

Следовательно, если - иррегулярное простое число, т. е. , разделим один из сомножителей на , а другой умножим на , где выбрано таким образом, что >; >1 () (). Тогда

.

Таким образом, - регулярное простое число.

В случае, если , имеем:

.

Для обоснования общей закономерности делимости чисел, когда есть целое или дробное число (после деления на ) заметим, что любое натуральное число делится на (при ) независимо от того является ли число дробным или целым [6].

Что касается простого целого иррегулярного числа , то это аналогично (что число делится на ), где - всегда дробное число (при ), где - регулярное простое число.

Поэтому на прямой линии (по масштабу) независимо от того является ли число целым или дробным , оно откладывается раз и в результате (по масштабу) на прямой линии образуется целое число .

В этом общее сходство в закономерности делимости делящегося числа на и не делящегося, которым аналогично обладает простое иррегулярное число при делении его на регулярное простое число , что представляет частный случай деления числа на , когда не является целым числом.

Это значит, что, если иррегулярное простое число не делится на регулярное простое число ( - дробное число ), то имеет место сравнение , аналогично тому, как (где - целое число ), либо , если - дробное число, равное (при ). При этом равноценно сравнению c. а?0(mod c).

Известно [3-5], что ; но , где , т. е. делится на .

Допустим не делилось бы на , то и в этом случае (h:h1=h2) Это означает, что независимо от того делится или не делится на (является или не является произведением двух сомножителей числа классов:

,

делилось бы на дробное число >1, которое являлось бы нецелым.

Аналогично, если делится на , то в случае, если - иррегулярно, имеем (где- целое число от деления числителя чисел Бернулли на иррегулярное ).

В случае, если (где - дробное число >1 от деления числителя чисел Бернулли на регулярное , то в обоих случаях независимо от того делит или не делит ) [6].

Из литературы [3-5] известно, что тогда и только тогда делит числитель числа (в нашем случае оно обозначено ), когда , если не делит числители чисел Бернулли , то второй сомножитель в выражении отличен от нуля по модулю (в нашем случае ) в случаях, т. е. , но, где дробное или целое число не зависимо от того или несравнимо.

Как известно [5], - число классов эквивалентности дивизоров. Предел одинаков при суммировании по любому классу. Поэтому , где суммирование происходит по всем классам, и равен числу , умноженному на предел , где суммирование распространено на главный класс.

;

- индекс группы единиц вида: в группе всех единиц. В связи с изложенном выше теорема Ферма соответствует формулировке: «Доказать, что уравнение xр + yр = zр не имеет решений в целых числах при n?3 не зависимо от того делит или не делит простой показатель р числители чисел Бернулли». Теорема Ферма на основании вышеизложенного доказана.

На основе полученных результатов и имеющихся литературных источников предлагается следующее:

1. Доказать, что уравнение xn +yn+zm +sm=tp не имеет решений в целых числах , где x?y?z?s?t?0, m,n,p-простые числа; n,m,p?5; х,y,z,s,t-простые нечетные числа.

2. Доказать, является или не является число 1.2.3.5.7.11…m + 1..3.5.7.11…n степенью целого числа (то есть 1.2.3.5.7.11…m + 1..3.5.7.11…n=zp), где m?n?p?0, m,n,p - простые числа x?y?0.

3. Доказать, что любое простое нечетное число m можно представить в виде 2n + k=m, где n?1, k-простое нечетное число.

Литература

1. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.: Издательство иностранной литературы. Пер. с польского.-1963.- 89 с.

2. Воронин С.М. Простые числа. М.: Знание.-1978.-63 с.

3. Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.-1985.- 368 с.

4. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: - 1980. -Наука- 239 с.

5. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.-1980.- 480 с.

6. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв - 2007. - С. 80.

Размещено на Allbest.ru