О разности между последовательными простыми числами
Изучение графического положения разности между последовательными простыми числами при стремлении простых чисел к бесконечности. Доказательство гипотезы Римана без использования комплексных чисел. Теорема Евдокса–Архимеда, Чебышева. Непустые множества.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 339,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
число бесконечность теорема риман
Статья по теме:
О разности между последовательными простыми числами
Лукашов Валерий Леонидович, генеральный директор общества с ограниченной ответственностью «Авеста».
Используя известные математические знания и приемы, исследовать разность между последовательными простыми числами и, доказав гипотезу Римана без использования комплексных чисел, установить минимальное на данный момент значение и графическое место расположение этой разности при стремлении простых чисел к бесконечности.
Ключевые слова: простое число, подмножество простых чисел, прогрессия убывающая, функция.
Изучается графическое положение разности между последовательными простыми числами при стремлении простых чисел к бесконечности.
При любых числах всегда существуют число , множество и объединение множеств . Поэтому и по теореме Чебышева [2, гл.1, c.14], для любого простого числа всегда есть такое число , что . Следовательно, существуют непустые множества:
, , .
Так как множество простых чисел , то для любых последовательных чисел всегда существует число и число . Тогда, при любых числах всегда существуют числа
.
Так как по теореме Чебышева , то - геометрическая убывающая последовательность, где - первый член , а - знаменатель .
Так как , то в любой
, . (1)
Так как логарифмы элементов есть элементы последовательности арифметической, то
, . (2)
Промежуточные результаты.
Если , то существуют убывающая функция и обратная ей убывающая функция :
. (3)
Если , то существуют убывающая функция и обратная ей убывающая функция :
(4)
Согласно свойствам, графики и пересекаются на биссектрисе первого координатного угла в точке . Тогда , откуда
, . (5)
Согласно свойствам, графики и пересекаются на биссектрисе первого координатного угла в точке . Тогда , откуда
, . (6)
Согласно свойствам, график пересекает только раз только ось , график - только ось , а графики и - по разу и , и :
, .
Поэтому и так как (5) и (6) однозначно выражают через и наоборот, то решив любую одну из систем, систему , получим
, . (7)
Так как (2) и (7), то , откуда
. (8)
Так как (2) и (7), то , откуда
, . (9)
Так как (2) и (6), то , откуда .
Применив и (9), получим
.
Применив , получим
. (10)
Доказательство теоремы.
Используя введенные обозначения и полученные результаты, докажем следующие утверждения.
Лемма 1: если , , , то .
Доказательство. Так как (3) и (4), то, откуда .
Так как (8), то , откуда числа , когда .
Тогда и так как , то , откуда . Доказано.
Лемма 2: если , то .
Доказательство - случай 1: .
Если , то , откуда . Поэтому и так как (10), то
. Доказано.
Доказательство - случай 2: .
Если, то и , откуда . И так как (10), то
. Доказано.
Лемма 3: если , то для любого .
Доказательство. Если , то , откуда для любых всегда есть такое , что . Тогда, по теореме Евдокса-Архимеда, [1, гл.I, §2, п.7, сл.3], всегда существует такое число , что
.
Поэтому и так как , то
. (11)
Случай 1: . Пусть , пусть .
Если (11) и Случай 1, то , откуда
.
Следовательно,
. (12)
Если Случай 1 и так как (9), то , откуда. Тогда и так как и при , то всегда существует такое , что
. (13)
Если (12) и (13) и так как , то , откуда
.
Следовательно,
. Доказано.
Случай 2: . Пусть , пусть .
Если (11) и Случай 2, то , откуда
.
Следовательно, , откуда
. (14)
Если Случай 2 и так как (9), то , откуда . Тогда и так как и при , то всегда существует такое , что
. (15)
Если (14) и (15) и так как, то
.
Следовательно, , откуда
. Доказано.
Теорема: если и , то стремиться к биссектрисе первого координатного угла.
Доказательство. Так как Лемма 1 и Лемма 2, то при .
Поэтому и так как (1) и Лемма 3, то. Доказано.
Следствие: если , то и .
Так как (8) и Теорема, то , откуда .
Следовательно, . Доказано.
Если и так как Теорема, то , откуда
. Доказано.
График исследуемых функций и при будет иметь вид:
Рис. 1
Доказана гипотеза Римана.
Литература
1. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Математический анализ. Введение в анализ. Просвещение. М: 1983.
2. Прахар К. Распределение простых чисел. МИР. 1967.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение способа решета Эратосфена для поиска из заданного ряда простых чисел до некоторого целого значения. Рассмотрение проблемы простых чисел-близнецов. Доказательство бесконечности простых чисел-близнецов в исходном многочлене первой степени.
контрольная работа [66,0 K], добавлен 05.10.2010Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
творческая работа [35,4 K], добавлен 25.06.2009Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами. Приклади рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, задач з геометричною інтерпретацією комплексних чисел. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 12.02.2011Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
задача [28,3 K], добавлен 07.06.2009Исторические факты исследования простых чисел в древности, настоящее состояние проблемы. Распределение простых чисел в натуральном ряде чисел, характер и причина их поведения. Анализ распределения простых чисел-близнецов на основе закона обратной связи.
статья [406,8 K], добавлен 28.03.2012Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010Свойства дзета-функции Римана для действительного аргумента. Дзета-функцию как функция мнимого аргумента. Дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе, в теории чисел, в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду.
курсовая работа [263,2 K], добавлен 29.05.2006Доказательство утверждения "Уравнение al+bq=cq (где l и q больше или равно 3) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b и c таких, чтобы a - было четным, b и c - нечетными целыми числами". Частный случай теоремы Ферма.
творческая работа [856,3 K], добавлен 08.08.2010Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.
реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012Расчет значений комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Определение расстояния между точками на комплексной плоскости. Решение уравнения на множестве комплексных чисел. Методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
контрольная работа [152,7 K], добавлен 12.11.2012Свойства делимости целых чисел в алгебре. Особенности деления с остатком. Основные свойства простых и составных чисел. Признаки делимости на ряд чисел. Понятия и способы вычисления наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).
лекция [268,6 K], добавлен 07.05.2013Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.
реферат [75,3 K], добавлен 22.02.2010Поиски и доказательства простоты чисел Мерсенна. Окончание простых чисел Мерсенна на цифру 1 и 7. Вопрос сужения диапазона поиска. Эффективный алгоритм Миллера-Рабина. Разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные. Числа джойнт ряда.
статья [127,5 K], добавлен 28.03.2012Важная роль простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании. Необходимость закономерности распределения ПЧ в ряду натуральных чисел. Цель: найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом закономерность среди
доклад [217,0 K], добавлен 21.01.2009
