О делимости чисел применительно к теореме Ферма

Размещено на http://www.allbest.ru/

О делимости чисел применительно к теореме Ферма

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор

Белорусского национального технического университета,

академик Международной инженерной академии,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник

ЧУО «БИП - институт правоведения», г. Минск

Теорема 1. Число регулярных простых чисел бесконечно.

Пусть - произвольная конечная система иррегулярных простых чисел. Теорема будет доказана, если мы найдем иррегулярное простое число

,

отличное от . Где - регулярное простое; - сомножитель (дробное число>1). выбрано таким образом, что >. - число числителя чисел Бернулли, - произведение регулярного числа на ; , где - целое число, полученное при делении числителя чисел Бернулли на иррегулярное число, т. е. ; ( если не сокращать числитель и знаменатель).

Предположим .

Так как для числа Бернулли мы имеем [1]

при

то при достаточно большом натуральном рациональное число будет по абсолютной величине >1.

Пусть - простое число, входящее в его числитель (при несократимой записи). Если бы , то по теореме Штаудта [1], число входило бы в знаменатель , а это не по выбору числа . Следовательно, , а поэтому отлично от (и от 2). Обозначим через остаток от деления на , так что . Следует, что - четное и .

Вместе с число также не делится на . Воспользовавшись сравнением Куммера [1], получим в кольце - целых рациональных чисел сравнение

Используя сравнение по ненулевому рациональному модулю, доказано, что число простых регулярных чисел бесконечно.

Доказав вспомогательную теорему (1), «Если натуральное нечетное составное число является произведением двух простых чисел и , то оно также является произведением третьего простого числа натурального числа на дробное число при или имеется частный случай (-простое число)» показано, что

и .

Доказанная вспомогательная теорема (1) является подтверждением постулата Бертрана, означавшего, что для двух простых чисел найдется третье, которое больше обоих сомножителей, но меньше их произведения.

Для обоснования общей закономерности делимости чисел, когда есть целое или дробное число (после деления на ) заметим, что любое натуральное число делится на (при ) независимо от того является ли число дробным или целым .

Что касается простого целого иррегулярного числа , то это аналогично (что число делится на ), где - всегда дробное число (при ), где - регулярное простое число. Число сравнимо по рациональному ненулевому модулю.

Известно, что [1-4]; но , где , т. е. делится на и .

Допустим, не делилось бы на , то и в этом случае . Это означает, что независимо от того, делится или не делится на (является или не является произведением двух сомножителей числа классов), делилось бы на дробное число >1, которое было бы нецелым.

Аналогично, что если делится на , то в случае, если - иррегулярно, имеем (где - целое число от деления числителя чисел Бернулли на иррегулярное число ). В случае, если (где - дробное число >1 от деления чисел Бернулли на , если оно было бы регулярным, то в обоих случаях независимо от того, делит или не делит. ().

Теорема 2. Если - иррегулярное простое число, равное , то между и содержится, по меньшей мере, одно регулярное число , равное .

Доказательство. Из литературы [1-4] известно, что число иррегулярных простых чисел бесконечно. Докажем, что число регулярных простых чисел также бесконечно.

Так как ,… то целое (где , - числители чисел Бернулли, - целые числа после деления на ), очевидно >1.

Предложение. Если делится на , то независимо от того дробное или целое число >1, деление на это число дает целое число.

Итак, имеем II случая: может быть целым или дробным числом: - целым, дробным большим 1.

Частный случай I: - целое число. Итак имеем . Если делится на , то получается целое число, допустим . Тогда , где .

Частный случай II. Здесь , - дробное число >1. Представим дробное число следующим образом . Тогда , .

В связи с тем, что (независимо от того - дробное или целое число >1, как частные случаи деления на ), оно (число ) имеет делитель , который <, а следовательно, и <. Если допустить, что , то будет одним из сомножителей произведения: (где может быть целым, или дробным числом (в нашем случае - дробное число >1) как частный случай ) и значит будет делителем произведения . Но будучи делителем также числа , будет делителем разности этих чисел, или числа , что невозможно, так как и . Следовательно, , а так как уже выяснено, что , то имеем .

Так как , , …, (где , ,…, - также делители чисел ) и последовательность иррегулярных простых чисел бесконечна, то получим последовательность простых регулярных чисел: количество которых также бесконечно. Это означает, что теорема доказана.

Таким образом, для каждого иррегулярного числа существует регулярное большее его. Отсюда следует, что простых регулярных чисел бесконечное множество.

На основании выше изложенного, так как , поэтому и . Так как здесь равно одному из чисел (; ; ; ) и так как (где делится на независимо от того дробное или целое число >1 и по следствию теоремы [1] число - иррегулярное и их число бесконечно, то на основании того, что , где ; , - целое число, - число с остатком после деления на и , и теоремы 2 доказано, что число регулярных простых чисел также бесконечно. Этим все сказано как о подлинности теоремы П. Ферма, так и о бесконечности регулярных простых чисел. На основании полученных результатов и имеющихся литературных источников предлагается следующее.

1. Доказать, что не найдется таких значений x, y,m, n, где х?у?0. m?n, при которых равенство х^m =yⁿ выполняется, m,n?5, x, y, m, n - простые нечетные числа.

2. Доказать, что числа 2ⁿ-1 и 2ⁿ+1 не могут оба быть одновременно простыми при простом n, где n?3.

3. Доказать, может ли число 2ⁿ+1 быть простым при простом n, где n?11 (при n=11 число 2ⁿ +1 делится на 3).

4. Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение nxⁿ +my^m=z^p, если х?у?0,m?n?p, m,n,p?3, m,n,p-простые числа.

5. Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение nxⁿ +my^m=рz^p, если х?у?0,m?n?p, m,n,p?3, m,n,p-простые числа.

6. Доказать, делятся ли о числа 2ⁿ-1 и 2ⁿ+1 (при определенном значении n) на n, где n-простое число, n?5.

7. Доказать, является ли число 2^m+2ⁿ+1 простым при простых m,n (m?n).

8. Доказать, является ли число 1+2+2³+2⁵+2⁷+2¹¹+….+2ⁿ простым, где n-простое нечетное число.

теорема ферма доказательство делимость простой

Литература

1. Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.-1985.- 368 с.

2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: - 1980. -Наука- 239 с.

3. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.-1980.- 480 с.

4. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв - 2007. - С. 80.

Размещено на Allbest.ru